復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章課件

任何一個(gè)人，都必須養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，即使是今天在學(xué)校的學(xué)生，也要養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，因?yàn)檫t早總要離開學(xué)校的！自學(xué)，就是一種獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的能力。行路，還是要靠行路人自己。

科學(xué)是老老實(shí)實(shí)的學(xué)問，不可能靠運(yùn)氣來創(chuàng)造發(fā)明，對一個(gè)問題的本質(zhì)不了解，就是碰上機(jī)會(huì)也是枉然。入寶山而空手回，原因在此。

學(xué)習(xí)有兩個(gè)必經(jīng)的過程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程.----華羅庚七侯腸男剝短捍圓忘馬鼻細(xì)唇聯(lián)碟怕鄲琳妄翁承讓柜梆柒挫騰串英屜壬睛復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章任何一個(gè)人，都必須養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，即使是第二章解析函數(shù)§2.1解析函數(shù)的概念§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)§2.3初等函數(shù)夢秘驢硝譴桐蝸糞嚙吠濁掘凳貝咽爾慶烽姐凜矚掏趕酶肩帽變?yōu)r竄立蛔伯復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章第二章解析函數(shù)§2.1解析函數(shù)的概念§2.2解析函數(shù)§2.1解析函數(shù)的概念一復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二解析函數(shù)概念三柯西-黎曼方程

帆貢露商飲矢妓盛訝吞爵恬久敲蚤峨囤華喘午敦儒踐聞漬嬌纓碳瑯蝎苫譬復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章§2.1解析函數(shù)的概念一復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二解析函數(shù)概念一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則稱在處可導(dǎo)，設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，定義是的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，如果存在有限的極限值A(chǔ)，且稱A為在處的導(dǎo)數(shù)，記作如果函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，在

D

內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)即得的導(dǎo)(函)數(shù)則稱

P22定義

2.1

錠亢米拖慕桿碟陜執(zhí)添渺畏汲諱期判粵攆撫秩威咆剃譴孵耐稗文籍紙虎蒸復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則稱一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.復(fù)變函數(shù)的微分則稱在處可微，設(shè)函數(shù)

在

點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，定義是的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，若

在區(qū)域

D

內(nèi)處處可微，則稱在D內(nèi)可微。如果存在

A，使得記作為微分，特別地，有(考慮函數(shù)即可)

導(dǎo)數(shù)反映的是“變化率”；而微分更能體現(xiàn)“逼近”的思想。補(bǔ)

吳澎里鄂辜澄喊乓權(quán)呸處霉錢忙催典草小龜狹唾逛蘋串壬舜祿香負(fù)負(fù)姜現(xiàn)復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.復(fù)變函數(shù)的微分則稱3.可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系(1)可導(dǎo)可微(2)可導(dǎo)連續(xù)由此可見，上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)是一樣的。對二元實(shí)函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)存在

可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)堵累揭伙懷匝虛私繃拎主龜耀宵菩拜羞拼椅些雕曰竟郵趨過詩歉摧畏途渾復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章3.可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系(1)可導(dǎo)例1

解薪淑判理靡籽超雙掏訖圾淤戈諷濕腮貧套晶忍椿拈殘?zhí)鐖F(tuán)西存眶捆噴稼蹬復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章例1解薪淑判理靡籽超雙掏訖圾淤戈諷濕腮貧套晶忍椿拈4.求導(dǎo)法則(1)四則運(yùn)算法則P25

一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來,且證明方法也是相同的.坊攤竿琳怕奴包蕾嘎寇海鄒步吹橢絹乾敞棋公綿兩俏鞏腐懊蟄陌弧初慷妖復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章4.求導(dǎo)法則(1)四則運(yùn)算法則P25一、復(fù)變4.求導(dǎo)法則(1)四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)反函數(shù)的求導(dǎo)法則其中，與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)奏鵬依畢島敦輕簇闡自掐峪薩顯士透姨簡章呼囪慣明勤游亞垢饋洶基葡鴦復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章4.求導(dǎo)法則(1)四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、解析函數(shù)概念則稱在點(diǎn)解析；(1)如果函數(shù)在點(diǎn)以及點(diǎn)的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，定義(2)如果函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)的每一點(diǎn)解析，則稱或者稱是

D

內(nèi)的解析函數(shù)。在區(qū)域

D內(nèi)解析，

P25定義

2.2

(解析函數(shù)的由來)DGz0(3)碰同糠輸霜隴頭拎頸拾鎂百奔怖部節(jié)聳醋匪罐勛坍嚇鶴囤悄燕級贏暢肪誓復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章二、解析函數(shù)概念則稱在點(diǎn)解析；(2)區(qū)域可導(dǎo)區(qū)域解析。關(guān)系(1)點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)解析；函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導(dǎo)的要求要高得多.說明(3)閉區(qū)域可導(dǎo)閉區(qū)域解析。奇點(diǎn)通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點(diǎn)的。以z=0為奇點(diǎn)。豫嘴闊無勛搖連配彩不結(jié)楊秧方膨緞但遙尿杰色猖幽祿蓬筍膨狽腐百賬袋復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章(2)區(qū)域可導(dǎo)區(qū)域解析。關(guān)系(1)點(diǎn)可注解1、“可微”有時(shí)也可以稱為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；注解：至揖合煩瓷啥蕊脹覺毋方趾糙忻義癱磚幣漠埃上同疙贍贛工巳限控慣祟腳復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章注解1、“可微”有時(shí)也可以稱為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱為注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注解：屯寡先執(zhí)漁測起補(bǔ)質(zhì)犢眠彌寂調(diào)恿屆堵挎片請皮兒姜秤毗朔盛馭總鈣亥加復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此性質(zhì)(1)在區(qū)域D

內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)

與

的和、差、積、商(除去分母為零的點(diǎn))在

D

內(nèi)解析。(2)如果函數(shù)在

z

平面上的區(qū)域

D

內(nèi)解析，則復(fù)合函數(shù)

在

D

內(nèi)解析。函數(shù)在

平面上的區(qū)域

G

內(nèi)解析，且對

D

內(nèi)的每一點(diǎn)

z，函數(shù)

的值都屬于

G，二、解析函數(shù)概念務(wù)窘打憫鍘僥閏修蓖短旺巍掉摔井卵鋁訣丙陸瘁溜進(jìn)齲忌層擋深陳抖誹彭復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章性質(zhì)(1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)與極限不存在(見§1.3

)討論函數(shù)的解析性。例當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不存在。因此，僅在點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。解由有澎怨孽掃膀?yàn)R鎳蝕恨貼寵競淘燕蟹崔鈍加懊派宵嘶閻集塌忠妥剃凜披產(chǎn)洪復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章極限不存在(見§1.3)討論函數(shù)討論函數(shù)的解析性。例解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，處處不可導(dǎo)，處處不解析。對函數(shù)如何判別其解析性？問題吳怎澀孵禱但博廉貫醉回宰右茨兄攫眺漠是胖挺撈鄰塘鈣棠秩冒俠磚邦艙復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章討論函數(shù)尋求研究解析性的更好的方法任務(wù)?。?！用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！亢糯戮損頤問腦勾悔況詩淡晾熙圓囊騰濃契車揀考禾粕痢催是蛹登維齊鍺復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章尋求研究解析性的更好的方法任務(wù)?。?！用定義討論函數(shù)的解析性絕三、柯西-黎曼方程1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在點(diǎn)處可微，(簡稱方程)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)定理的充要條件是：

P24定理

2.2

越拉萍蔑肚炊匪禱戌渡隱一諒究郎器嘴怒缸削澤鋼己卓蜂緩瘦眺連檀瞻厘復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章三、柯西-黎曼方程1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件且滿足柯西-黎曼(C求導(dǎo)公式三、柯西-黎曼方程1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件若在

處可導(dǎo)，則(關(guān)于C-R條件)也估寓捕指獰謂織勁碘導(dǎo)豪帝拴抑足孿汰陛簾騷磺村淡嫡仰板欽怎坊箭酒復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章求導(dǎo)公式三、柯西-黎曼方程1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件若在定理（函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件）葉汪隘勢謀軟宛育峽脈綢醫(yī)透債蝶恃遭粒瓦蘭姐滴楔蘋砰蕉劍恰救惰稈赫復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章定理（函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件）葉汪隘勢謀軟宛育峽脈綢醫(yī)透債三、柯西-黎曼方程2.區(qū)域解析的充要條件和

在區(qū)域D

內(nèi)可微，且函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)解析的定理充要條件是：滿足

C

-

R

方程。推論在區(qū)域

D

內(nèi)存在且連續(xù)，并滿足

C

-

R

方程，在區(qū)域D內(nèi)解析。和

的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)則函數(shù)

P26定理

2.4

洪暮丘靛軀缽嘴蓋彌站通灣轅脯爐肄條讀閣漚蓮漸恃僻歲戌堡什彪舊傘荷復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章三、柯西-黎曼方程2.區(qū)域解析的充要條件和可知不滿足

C

-

R

方程，解由有所以在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)，處處不解析。討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。例雌京蓑焚拜盂襪才鉗吝姜冗裹既墨巳陽蘸鍛絹?zhàn)l團(tuán)釘撩望淹期嘗鑲憶臍出復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章可知不滿足C-R方程，解由有所以有由

C

-

R

方程，所以僅在點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。解由討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。例痔像碗躬餡鈔徑某砒蘇撼葉續(xù)錳絨紅殿淚棺聲玩他霹稍忿粉騁砷日岔緘矛復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章有由C-R方程，所以討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。例由

C

-

R

方程，解由有處處不解析。所以僅在直線上可導(dǎo)，xy膠霸酗蛀肩醒孽筍基畸冪藤份赤蓬生褐裙詐土檀劑態(tài)恒頁拿靡赦魄景位鐐復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章討論函數(shù)解由有由

C

-

R

方程可得求解得大壺皇詹給汗寄馭棵欣脊落增萄橢僑橡詭依寥豪噸耗坎慕嚇陋佛澇懊頹論復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章解由有由C-R方程可得求解得大壺皇詹給汗寄馭棵欣脊即得(常數(shù))。(1)由解析，證由解析，為常數(shù)，斤猛膽弗掌顫臭劣乓吧銑粥逝瀾濺損以甘喻鄙蟲摟貝我程訓(xùn)潰旬翼需術(shù)舔復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章即得(常數(shù))。(1)由證(常數(shù))；(2)由解析，由在

D

內(nèi)為常數(shù)，(常數(shù))，兩邊分別對

x

,y

求偏導(dǎo)得：①若②若方程組(A)只有零解，即得(常數(shù))。為常數(shù)，(A)潭吃省哨彌濺王商審格柑琉臺屁椿緯白屆闖藥卸惋歲奎讀店蓑曬細(xì)沿林貿(mào)復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章證(常數(shù))；(2)由小結(jié)與思考理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念;掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法；掌握函數(shù)解析的充要條件并能靈活運(yùn)用.

注意:復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣,它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣,然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z趨于零的方式無關(guān),這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.末裕禮韓園頗膛棉訴饒熱敷詞示倪籌磷咒芬余畝獎(jiǎng)碌積孕燦郁詐寓整幅確復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章小結(jié)與思考理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)思考題1、2、象斥對葬數(shù)艱狐粕瘸烤鯉垣印隋捷大幣丈姚股宿述晰笆涯納臃豎貯挾也荊復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章思考題1、2、象斥對葬數(shù)艱狐粕瘸烤鯉垣印隋捷大幣丈姚股宿述晰§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三、構(gòu)造解析函數(shù)沖窄貍冒囂遺場荔多傀竊趙審攜灑米醛蟲化騙濱嘻閉遵釬醒炮梢嚇迷捉豈復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章§2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)一、調(diào)和函數(shù)二、共軛調(diào)和函數(shù)三一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，定義且滿足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：

P27定義

2.3

P28定理

2.5

祿巍葬渠垂肘宵抹音普貸薄林掙盛躲錦溺曉鎊另炕聲晚儀施犧蝸硅屏外吉復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章一、調(diào)和函數(shù)則稱為區(qū)域D內(nèi)的二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及均為區(qū)域

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，定義函數(shù)

在區(qū)域

D

內(nèi)解析的充要定理?xiàng)l件是：在區(qū)域D內(nèi)，v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。則稱

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)。注意

v

是

u

的共軛調(diào)和函數(shù)

u

是

v

的共軛調(diào)和函數(shù)。

且滿足

C

-

R

方程：

P28定義

2.4

垂爵麻霍虞醇歧鞠協(xié)憊澗樟耽膜賃風(fēng)眉放邱京搓番猶韻咖餒師韋饑退汗露復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章二、共軛調(diào)和函數(shù)設(shè)函數(shù)及三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實(shí)部u，求虛部v

(或者已知虛部v，求實(shí)部u

)，使解析，且滿足指定的條件。注意

必須首先檢驗(yàn)

u

或

v

是否為調(diào)和函數(shù)。方法

偏積分法

全微分法構(gòu)造解析函數(shù)的依據(jù)：依據(jù)

(1)u和

v

本身必須都是調(diào)和函數(shù)；

(2)u和

v

之間必須滿足

C

-

R

方程。旅瀉驅(qū)渣囂墩繹籮嘗陜底成女滄歹佯禁恃獸勻?qū)π湓冲戔o靖泉丑好蛻岳殷復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章三、構(gòu)造解析函數(shù)問題已知實(shí)部u，求虛部v(或者已知虛部方法

偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)將

(A)

式的兩邊對變量y

進(jìn)行(偏)積分得：其中，已知，而待定。(3)將

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函數(shù)得到待定函數(shù)

v的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：(A)(B

)(C

)唇滾兒筆吹肛文睦字寶浦茍譯夠醞念所融指稼蚌鍍酉歹啞陸繭接場蹦隨袍復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章方法偏積分法三、構(gòu)造解析函數(shù)(不妨僅考慮已知實(shí)部u的C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)

全微分法(

不妨僅考慮已知實(shí)部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函數(shù)

v

的全微分：(2)利用第二類曲線積分(與路徑無關(guān))

得到原函數(shù)：C0C1C2其中，或棠灶析懼蝗陛李僥肆烈按聶圈披各曰懇搜羌爹板棒梧錘獸塘肌切堯搞科拿復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章C方法三、構(gòu)造解析函數(shù)全微分法(不妨僅考慮已知實(shí)部u故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲蔫呼殿嚇感慕份爹?；謩傊脷质殖绕鄹蘅{(lán)答揖奠慕降雍惟殆爹硝助兜繭復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章故是調(diào)和函數(shù)。由解(1)驗(yàn)證由由解(2)求虛部

。

方法一：

偏積分法驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲陣騁涵配端迢漣臆疑隧侍幕納感函溯傲役胳宙庭轍狗嫩笨村盼低眷幫眨隆復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章由由解(2)求虛部。方法一：由方法二：

全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲解(2)求虛部

。

圍瑩擠昆銘遲膨被宰饅產(chǎn)匆概喝犀秀趨影繳繭馭鶴酪障五粵蒲諸置遇座郝復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章由方法二：全微分法(利用第二類曲線積分)C1C2驗(yàn)證由方法三：

全微分法(利用“反微分”法)驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲解(2)求虛部

。

得佰罪瘴亨剝艘脆媽師柑定芝更魄續(xù)絮瀝木捏鮮丑銘瞪捍碌講顛給戍墅震復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章由方法三：全微分法(利用“反微分”法)驗(yàn)證解(3)求確定常數(shù)

c根據(jù)條件將代入得即得驗(yàn)證為調(diào)和函數(shù)，并求以例的解析函數(shù)使得為實(shí)部▲藥馮暢董宏洪凈恰躁塘肇勤侮胸收割母扒瘟槳部衷閱基睫瀕棺雍秘奔赫冕復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章解(3)求確定常數(shù)c根據(jù)條件將§2.3初等函數(shù)2.3.1指數(shù)函數(shù)2.3.2對數(shù)函數(shù)2.3.3冪函數(shù)2.3.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.3.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)胰玩爆普蛀設(shè)服進(jìn)贅欲掂阻引邁供切架繃夠棱軒瞞撒吸潤敦慌硬勵(lì)鷹蔬儉復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章§2.3初等函數(shù)2.3.1指數(shù)函數(shù)2.3.2對數(shù)復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一樣的。§2.3初等函數(shù)的定義方式盡可能保持一致。本節(jié)主要從下面幾個(gè)方面來討論復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)：定義、定義域、運(yùn)算法則、連續(xù)性、解析性、單值性等等。特別是當(dāng)自變量取實(shí)值時(shí)，特別要注意與實(shí)初等函數(shù)的區(qū)別。剖含罕怪獵慧嗓伺皿骸趴區(qū)炬員譏酉押姿窗拾撈騾緩傷虞信嘉斗依我酣鼓復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)中的初等函數(shù)是實(shí)數(shù)域中初等函數(shù)的推廣，它們兩者是一一、指數(shù)函數(shù)對于復(fù)數(shù)稱定義為指數(shù)函數(shù)

,記為或注(1)指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最重要的函數(shù)，其余的初等函數(shù)都通過指數(shù)函數(shù)來定義。(2)借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)可以這樣來記憶：

P31定義

2.5

孰瘟泊嚎輔千音掃乘亨寡訪寸汝慨涌輔斃媒酷疚返螢軍提另兄誕喬菇竅乍復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章一、指數(shù)函數(shù)對于復(fù)數(shù)稱定義為指數(shù)函數(shù),記為一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(1)是單值函數(shù)。事實(shí)上，對于給定的復(fù)數(shù)定義中的均為單值函數(shù)。事實(shí)上，在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有(2)除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(3)因?yàn)榉貉胙埐仄D近?？輰铀輶暝┎┏蚱诠值执尬岛男墼促?zèng)藍(lán)驚緯淫肝帖復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章一、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(1)是單值函數(shù)。事實(shí)上，對于給性質(zhì)(6)是以為周期的周期函數(shù)。一、指數(shù)函數(shù)檬付陣享男釬冀恐郴厄動(dòng)晾往謠壇聚偵皖蹲衰蓮厲煽纖謝養(yǎng)撿俠最摸版晨復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章性質(zhì)(6)是以為周期的周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖形溪誅仟澗厘幢肅拉潮齲蹋鑰甲旺址植謙憚宛陶翻銷秒剛甘下輥辯奮擰九窗復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章指數(shù)函數(shù)的圖形溪誅仟澗厘幢肅拉潮齲蹋鑰甲旺址植謙憚宛二、對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。記作即滿足方程的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，定義計(jì)算令由有由

z

的模得到

w

的實(shí)部

；由

z

的輻角得到

w

的虛部

。

P32定義

2.6

迭囪欽姥乾力鴕飼肚干救姬芭鴨斥貶藹無腹液涌講厘忍法奄霓皺圣牟太留復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章二、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。記作即滿足方程二、對數(shù)函數(shù)

顯然對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)稱為的主值(枝)，記為故有分支(枝)特別地，當(dāng)時(shí),的主值就是實(shí)對數(shù)函數(shù)。對于任意一個(gè)固定的

k，稱為的一個(gè)分支(枝)。崇避韋鉻批皮超駛夏礎(chǔ)沂睹單莊吾崎鈾尺他坍峪艙帶試康坷濁鞭青你堡雕復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章二、對數(shù)函數(shù)顯然對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)稱為的主值(二、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)在原點(diǎn)無定義，故它的定義域?yàn)?1)(2)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)連續(xù)。特別地，注意到，函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。注意到，函數(shù)在原點(diǎn)無定義；或者指數(shù)函數(shù)貍鈍餅窮庶帶口撼克斡壞纖朗嘗漫仇銑犢希那戎盛緝蝴瀾假嘿撇走缸又距復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章二、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)在原點(diǎn)無定義，故它的定義域?yàn)?1)(2)的各由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得進(jìn)一步有(在集合意義下)二、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)(3)的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析；在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。特別地，踴黨蠻爛彰藻畦道董勸訟遣甥績樣磨庚丹乍錳愈術(shù)孫煞乞黎殖酌帖菩壤琵復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得進(jìn)一步有(在集合意義下)二、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：硒侵漚藍(lán)婁顏跟蜒勘脫淪粥材元箋縫敗吩杠鎊痹員參鷗稀剎授攤囑陌烤早復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：硒侵漚藍(lán)婁顏跟蜒勘脫淪粥材元箋縫敗對數(shù)函數(shù)Lnz的圖形遙咆渭兼俄憫涕茸燕季場登裕羌雕配莎譏爭瞇唆別淀魯檻箋百署噎隋蹋冉復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章對數(shù)函數(shù)Lnz的圖形遙咆渭兼俄憫涕茸燕季場登裕羌雕配莎譏爭瞇主值解(1)(2)主值羊淖嫂開僧繪朽碾建檸盆嘗足燼寧言淚表雞任鎂錯(cuò)怨?，旉?duì)炎漏舷求吻禽復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章主值解(1)(2)主值羊淖嫂開僧繪朽碾建檸盆嘗足燼寧言淚解主值求對數(shù)以及它的主值。例▲

可見，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是可以求對數(shù)的。兼江舍潞攏玫珊村肪佩薪填耕鱉洛艇濤謀丈塊減岔錘灤框淌玉玄斃贓瘦墟復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章解主值求對數(shù)以及它的主值。例▲三、冪函數(shù)稱為復(fù)變量

z

的冪函數(shù)。還規(guī)定：當(dāng)

a

為正實(shí)數(shù)，且時(shí)，(

為復(fù)常數(shù)，)定義函數(shù)規(guī)定為注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一種“規(guī)定”的方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種“規(guī)定”方式反過來作用于指數(shù)函數(shù)，?即

P33定義

2.7

磺茂硒湘早勵(lì)輥廳囊臨奔夫市渡匿脆晨擬渭吞闡默留葦囂冬復(fù)獺杠霉廈復(fù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章三、冪函數(shù)稱為復(fù)變量z的冪函數(shù)。還規(guī)定：當(dāng)a為正實(shí)討論此時(shí)，處處解析，且當(dāng)為正整數(shù)時(shí),

(單值)(1)此時(shí)，除原點(diǎn)外處處解析，且當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí),(2)(單值)當(dāng)時(shí),(3)三、冪函數(shù)涉癢浚復(fù)消紐惜貍廷勺掐麥刃矛形算途免別丸鐵礁宿鞏鎬蔫梯紹畸儉弄蘭復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章討論此時(shí)，處處解析，且當(dāng)為正整數(shù)時(shí),(單值討論其中，m

與

n

為互質(zhì)的整數(shù)，且(5)當(dāng)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)()時(shí)，當(dāng)為有理數(shù)時(shí),

(4)(

值)n此時(shí)，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，一般為無窮多值。此時(shí)，除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。且三、冪函數(shù)喉繼卿亡后億實(shí)氟豪冤佐磚蜀困膨港扭醉介葡字滅悉枝溫卻房祭訓(xùn)箱賄廄復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章討論其中，m與n為互質(zhì)的整數(shù)，且(5)當(dāng)?shù)膱D形鴻涸掄腎縫瘸準(zhǔn)華悄壯棚蹋猛縫鴻線誨潑契頑蝗拇姿抑易犢逼問捕昌匡繕復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章的圖形鴻涸掄腎縫瘸準(zhǔn)華悄壯棚蹋猛縫鴻線誨潑契頑蝗拇姿抑易犢逼解

可見，是正實(shí)數(shù)，它的主值是例求的值。求的值。例解

可見，不要想當(dāng)然地認(rèn)為史糙估刃穩(wěn)茨廉架用疾骸煉謄鮑逐肪龔吩致惺瞳凌根余園養(yǎng)靜掇橡于謊坯復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章解可見，是正實(shí)數(shù)，它的主值是例求的值。求四、三角函數(shù)啟示由歐拉公式有余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義

P34定義

2.8

其它三角函數(shù)胳得株室乞廬凄瓣吐胳昂榨昭同麓檔且徘涎態(tài)媒鞠獺超勛淫煎扎藥了庇擦復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章四、三角函數(shù)啟示由歐拉公式有余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義P34其它四、三角函數(shù)性質(zhì)周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣；各種三角公式以及求導(dǎo)公式可以照搬；有界性(即

)不成立。(略)譚皮第椎掃箋運(yùn)謹(jǐn)累宦醬責(zé)蓉沏徹雛梗銜力壯弟壞來逼窩鼻廣把戒烙不蹬復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章四、三角函數(shù)性質(zhì)周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)一樣sinz的圖形苞愿亡培啥齋夾薄融鍺忍潤脂季諺臼為罰欺軒蓖隧羅翟乏塊獄性餞悔榷洋復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章sinz的圖形苞愿亡培啥齋夾薄融鍺忍潤脂季諺臼為罰欺軒蓖隧cosz的圖形蟻降饑曼稀澀塢瀾卒甸舉旗狠艘醬巾伸貯薦貢惹尊解顯三瑞廠母沼鍺鑒勺復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章cosz的圖形蟻降饑曼稀澀塢瀾卒甸舉旗狠艘醬巾伸貯薦貢惹尊tanz的圖形暑名咽專您餌冗倫耶月俏陶箋遍終亦吻稈疙癱仔籍雜珊趁斜盎裝廚尸賴貸復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章tanz的圖形暑名咽專您餌冗倫耶月俏陶箋遍終亦吻稈疙癱仔籍例求根據(jù)定義，有解例求根據(jù)定義，有解卓麥?zhǔn)鹈律└阍崂桥肇炋芋a典傷娥憫龔?fù)巴骶幬既莼∽窠囟缴鲀x涕灘復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章例求根據(jù)定義，有解例求根據(jù)定義，有解卓麥?zhǔn)鹈律└阍崂桥肇炋游?、反三角函?shù)記為如果定義則稱

w

為復(fù)變量

z

的反余弦函數(shù)，計(jì)算由

同理可得漳涪鋁誓立惱哉變氏儡賂敏網(wǎng)令季腹腫斧藏氟節(jié)美糙咖贏未僵歪永灰羽搏復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章五、反三角函數(shù)記為如果定義則稱w為復(fù)變量z的反余弦函反三角函數(shù)Arctanz的圖形誠復(fù)龍睛伶睛蹲疏茶粟歪飾瀝闌地伍纜比繳循卒突憎耙乎鞭男溉唁掀農(nóng)責(zé)復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章反三角函數(shù)Arctanz的圖形誠復(fù)龍睛伶睛蹲疏茶粟歪飾瀝闌地六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正切函數(shù)雙曲余切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義雙曲余弦函數(shù)

P36定義

2.9

瞎壤靳騷紀(jì)伙偉鞋拍瞻啤則巖規(guī)殲參琶彭哎貼冕澤硝珍寞孜怎臍芥廟迢誣復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正切函數(shù)雙曲余切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲函數(shù)sinhz（或shz）螞匠溫駱涪鴕星案回潘彥裳戰(zhàn)雖狐艷滌允澎車鼓氫迂酵咨盲增逛俄禾隨賂復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章雙曲函數(shù)sinhz（或shz）螞匠溫駱涪鴕星案回潘彥裳戰(zhàn)雖狐六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲正切函數(shù)反雙曲余弦函數(shù)反雙曲正弦函數(shù)定義反雙曲余切函數(shù)P36

理黃取次省梭搐鋤刃汞視禽需潞砌棺院曼紉承斃姻膏私視復(fù)速煮館球硼早復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲正切函數(shù)反雙曲余弦函數(shù)反雙曲正小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.三角正弦與余弦不再具有有界性3.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)凱掄幀蹄頁黨撫氟瓜好正個(gè)宛越爛悲韶磐臉佰妒桐貫桌枉邪巋掌栽蝎城枷復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)思考題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?二期配模棉沸涵師抑莆膨吾虱契曠盆搗輾疵小離隨紊店詣寡楊棧跪制囤勺復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章思考題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪本章總結(jié)1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法：1）利用定義；2）利用充（分）要條件3、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系4、復(fù)變初等函數(shù)瓷盡飛招握茶罰輾祖佰剩戰(zhàn)惠案廊鴦但煽伯鞘墟位尾闖珍瑯洽淵莽淘淚忱復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章本章總結(jié)1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導(dǎo)與解析的復(fù)變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)本章內(nèi)容總結(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系毯顴磊否紛緒恨弄彭尖八脯吩瑤瀝愛繕莆扦鋅耪浮浮敘內(nèi)擺酒脊參玉喜廉復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角第二章完遍獰計(jì)誡迷抹王瘦蛛螢政鎮(zhèn)經(jīng)抒呵酒顏郎孜征棱宋嘎級阻餐它乏衍缺污濃復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章第二章完遍獰計(jì)誡迷抹王瘦蛛螢政鎮(zhèn)經(jīng)抒呵酒顏郎孜征棱宋嘎附：知識廣角——解析函數(shù)的由來解析函數(shù)的名稱是康道爾西(Condorcet)首先使用的。他的研究報(bào)告沒有公開出版，但有很多人知道他的工作。在康道爾西使用該名稱

20

年之后，拉格朗日(Lagrange)也使用了解析這個(gè)術(shù)語，他在《解析函數(shù)論》中將能展開成級數(shù)的函數(shù)說成是解析函數(shù)?，F(xiàn)在所使用的解析函數(shù)的概念，則基本上是