-特殊函數常微分方程本征值問題繆國慶教授教學課課件

特殊函數及其應用1特殊函數及其應用1●分離變量法的基本思想：將解偏微的問題化為解常微的問題●分離變量法的核心問題：◆能否得到本征值問題變量能分離的條件方程及邊界條件必須為齊次的，并且在合適的坐標系下！本課程所得到的本征值問題均有解，且本征函數均構成完備正交系?！舯菊髦祮栴}能否得到完滿解決2●分離變量法的基本思想：將解偏微的問題化為解常微的問題●分離只有選擇合適的坐標系，才能將邊界條件中的變數分離選擇坐標系的原則：使所研究問題的區(qū)域邊界面與所選坐標系的一個或幾個坐標面相重合。例如，球形區(qū)域與柱形區(qū)域需要分別選擇球坐標系與柱坐標系3只有選擇合適的坐標系，才能將邊界選擇坐標系的原則：使所研究問§9.1特殊函數常微分方程§9.2常點鄰域上的級數解法§9.3正則奇點鄰域上的級數解法§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題§10.1軸對稱球函數第九章 特殊函數常微分方程

本征值問題第十章 球函數4第九章 特殊函數常微分方程

§10.2連帶Legendre函數§10.3一般的球函數§11.1三類柱函數§11.2貝塞爾方程§11.3虛宗量貝塞爾方程§11.4球貝塞爾方程第十一章柱函數5§10.2連帶Legendre函數第十一章§9.1特殊函數常微分方程

本節(jié)內容：◆導致特殊函數常微分方程的物理問題

波動問題，輸運問題，穩(wěn)定場問題◆特殊函數常微分方程的導出第九章 特殊函數常微分方程

本征值問題6第九章 特殊函數常微分方程

●球坐標中分離變量：徑向方程球函數方程方向角部分：7●球坐標中徑向方程球函數方程方向角部分：7令

得連帶Legendre方程Legendre方程8令●柱坐標中Bessel方程或虛宗量Bessel方程●球坐標中

徑向9●柱坐標中§9.2常點鄰域上的級數解法本節(jié)內容：◆微分方程解析理論的基本定理◆常點鄰域上的級數解法◆Legendre方程在常點x=0鄰域上的級數解

10§9.2常點鄰域上的級數解法10本節(jié)要求：了解（or掌握）◆微分方程在其常點鄰域上解的基本定理◆常點鄰域上的級數解法◆Legendre方程在常點x=0鄰域上的級數解法掌握

◆Legendre

方程在常點x=0鄰域上解的結果11本節(jié)要求：11二階常微分方程的標準形式：

其中,p(z)和q(z)為方程的系數，是已知的復變函數。要求在一定的條件，例如初始條件：

下，一定區(qū)域內方程的解。12二階常微分方程的標準形式：12方程解的性質完全由p(z)和q(z)的解析性質決定。（一）方程的常點和奇點

設p(z)和q(z)在一定區(qū)域中，除若干個孤立奇點外，是z的單值解析函數。區(qū)域中的點可分為兩類：常點：若系數p(z)和q(z)都在某點z0

及其鄰域內解析，則z0

點稱為方程的常點。奇點：若系數p(z)和q(z)中只要有一個在z0

點不解析，則z0

點稱為方程的奇點。13方程解的性質完全由p(z)和q(z)的解析性質決定。13(二)常點鄰域上的級數解

微分方程解析理論的基本定理:如果p(z)和q(z)在圓內是單值解析的,則方程在這圓內有唯一的一個解w(z)滿足初值條件

C0和C1是任意常數,并且w(z)在這圓內是單值解析的.?z0R14(二)常點鄰域上的級數解 ?z0R14在常點z0

的鄰域|z-z0|<R內，w(z)是解析 函數，故可展開成Taylor級數：

因此只要求出系數ak，方程的解即求得。15在常點z0的鄰域|z-z0|<R內，w(z)是解析1——系數遞推公式利用系數遞推公式可從開始逐一將所有系數用表示出來。為兩個任意常數，正是兩個積分常數16——系數遞推公式利用系數遞推公式可從開始逐一（三）Legendre方程的級數解:

在x=0的鄰域上求Legendre方程的解： 因

當x=0,有限，因此是方程的常點。

注意：當x=±1,p(x),q(x)為無限大，因此x=±1是Legendre方程的奇點。17（三）Legendre方程的級數解:注意：當x=±1,在x=0鄰域內，Taylor級數形式的解為：代入Legendre方程：合并后：18在x=0鄰域內，Taylor級數形式的解為：18因此系數的遞推關系為(9.2.5)根據(9.2.5),可將所有下標為偶數的系數用a0表示，而將所有下標為奇數的系數用a1表示，這樣，Legendre方程的通解可表示為：

19因此系數的遞推關系為19

級數的收斂半徑：

因為x=±1是離x=0最近的奇點，因此級數的收斂半徑R=1。

問題：在x=±1（即方向角為=0和=，亦即x-y平面上）端點，級數的收斂性如何？yOxy(,,)20 級數的收斂半徑：問題：在x=±1（即方向角為yOxy(事實上:

y0(x)和y1(x)在x=±1是發(fā)散的級數（見附錄四，以高斯判別法證明），而且不存在在x=±1二點都收斂的無窮級數滿足Legendre方程21事實上:y0(x)和y1(x)在x=±1是發(fā)散的級數（§9.3正則奇點鄰域上的級數解法本節(jié)內容：◆微分方程在其正則奇點鄰域上解的基本定理◆正則奇點鄰域上的級數解法◆Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上的級數解22§9.3正則奇點鄰域上的級數解法22本節(jié)要求：了解（or掌握）◆微分方程在其正則奇點鄰域上解的基本定理◆正則奇點鄰域上的級數解法◆Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上的級數解法掌握Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上解的結果23本節(jié)要求：23（一）奇點鄰域上的級數解:

系數p(z)和q(z)中只要有一個在z0

點不解析，則z0

點稱為方程的奇點。方程的奇點則可能同時也是解的奇點.因此，在z0點鄰域的級數解應該是Laurent展開。

24（一）奇點鄰域上的級數解:24

定理1若點z0為方程（9.3.1）的奇點，則在p(z)和q(z)都解析的環(huán)形區(qū)域0<|z-z0|<R內,這方程的兩個線性無關解是其中是常數.25定理1若點z0為方程（9.3.1）的奇點，則在p(z一般情況下,級數的系數是無限聯(lián)立的代數方程，得不到系數的遞推公式；但在一定的條件下，方程的二個線性獨立解的級數中沒有負冪項，這樣的解稱為正則解。在這種情況下,可得到系數遞推公式。

定理2：方程(9.3.1)在他的奇點z0的鄰域0<|z-z0|<R內有兩個正則解的充要條件是:(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在內解析，即z0至多是p(z)的一階極點、同時至多是q(z)的二階極點。滿足這一條件的奇點稱為方程的正則奇點，否則稱為非正則奇點。26一般情況下,級數的系數是無限聯(lián)立的代數方程，得不到系數的遞這時方程的二個線性獨立解為：

27這時方程的二個線性獨立解為： 27將代入方程,得最低次冪項之和為若m>1,或n>2,則第二項或第三項為最低次冪項28將28令其系數為零,只能有若則最低次冪項為第一項，或加上第二、第三項。令其系數為零。（當m=1,n=2）

——判定（指標）方程29令其系數為零,29

（三）Bessel方程的級數解 在x=0的鄰域上求

階Bessel方程的解

注意：

是任意實數。

x=0是p(x)的一階極點，q(x)的二階極點。因此x=0是Bessel方程的正則奇點。

30（三）Bessel方程的 級數形式解： 代入方程（1），得到即31 級數形式解：31x0的系數方程——判定方程：

解得

下面，按的數值，分兩種情形討論。(要說明何以要按2v的數值劃分！)(I)

32x0的系數方程——判定方程：32(II)

自k=2v起失效!需改用第二形式的解第一個解仍為Jv(x)，但第二個解，其系數遞推公式i）2=2m(m=1,2,3,….)ii)2=2l+1

(l=0,1,2,3,….)

iii)2=2m=0,33(II)自k=2v起失效!需改用第二形式的解第一個解§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題本節(jié)內容：◆施圖姆-劉維爾本征值問題的提出◆施圖姆-劉維爾本征值問題的性質本節(jié)起著承上啟下的作用，對分離變數法作總結，同時為特殊函數的學習作準備。34§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題34本節(jié)要求：

掌握施—劉本征值問題及其性質。

35本節(jié)要求：35I.

施-劉方程及本征值問題-----Sturm-Liouville本征問題以乘上式得:---Sturm-Liouville方程36I.施-劉方程及本征值問題以乘上式得:---Sturm-①②

——Legendre方程的本征值問題

本征函數：本征值：

●本征問題例：37①本征函數：③

——Bessel方程的本征值問題作變換方程成為標準Bessel方程

38③38

i)若區(qū)間[a,b]有界，在[a,b]上，k(x)>0,k(x),k’(x),

q(x)及連續(xù)——非奇異(正則)斯劉本征問題ii)

如果區(qū)間[a,b]為無界或半無界，或有界區(qū)間端點

x=aand/orx=b是k(x)的零點,則x=aand/orx=b是方程的奇點，在

x=aand/orx=b處一定存在自然邊界條件！——奇異斯劉本征問題iii)——周期斯劉本征問題●本征值問題的提法：39i)若區(qū)間[a,b]有界，在[a,b]上，k(x)II.施-劉本征值問題的基本性質

（1）、如果p(x),q(x)連續(xù)或者至多端點為一階極點，則存在無限個本征值： 相應的本征函數為：當本征值按上述次序排列時，則在上相應本征函數的零點個數按從少到多的次序排列。 在量子力學中，y1(x)和1稱為基態(tài)波函數和基態(tài)本征值（一般為能量）。

40II.施-劉本征值問題的基本性質40例：41例：41（2）所有本征值

（3）對應于不同本征值m,n

的本征函數ym(x),yn(x)帶權(x)正交：（4）本征函數{y1(x),y2(x),.…}是完備的。[a,b]上平方可積的函數f(x)可展成廣義Fourier級數： 其中： 是yn(x)模：42（2）所有本征值42

關于函數系的完備性：

如果對定義在[a,b]上的任意函數f(x)，在平均收斂的意義上：

則稱函數系{y1(x),y2(x),.…}是定義在[a,b]上的完備集。43 關于函數系的完備性：43

例：對應同一本征值=m2，有兩個本征函數：

簡并問題：對應于同一個本征值，有兩個或兩個以上的線性無關的本征函數。44 簡并問題：44本章基本要求：1．掌握球坐標、柱坐標系中三類方程分離變數的方法，以及分離變數后得到的勒讓德方程及貝塞爾方程。2．了解勒讓德方程及貝塞爾方程的級數解法，掌握解的結果。3．掌握施圖姆—劉維爾本征值問題及其性質。45本章基本要求：45特殊函數及其應用46特殊函數及其應用1●分離變量法的基本思想：將解偏微的問題化為解常微的問題●分離變量法的核心問題：◆能否得到本征值問題變量能分離的條件方程及邊界條件必須為齊次的，并且在合適的坐標系下！本課程所得到的本征值問題均有解，且本征函數均構成完備正交系?！舯菊髦祮栴}能否得到完滿解決47●分離變量法的基本思想：將解偏微的問題化為解常微的問題●分離只有選擇合適的坐標系，才能將邊界條件中的變數分離選擇坐標系的原則：使所研究問題的區(qū)域邊界面與所選坐標系的一個或幾個坐標面相重合。例如，球形區(qū)域與柱形區(qū)域需要分別選擇球坐標系與柱坐標系48只有選擇合適的坐標系，才能將邊界選擇坐標系的原則：使所研究問§9.1特殊函數常微分方程§9.2常點鄰域上的級數解法§9.3正則奇點鄰域上的級數解法§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題§10.1軸對稱球函數第九章 特殊函數常微分方程

本征值問題第十章 球函數49第九章 特殊函數常微分方程

§10.2連帶Legendre函數§10.3一般的球函數§11.1三類柱函數§11.2貝塞爾方程§11.3虛宗量貝塞爾方程§11.4球貝塞爾方程第十一章柱函數50§10.2連帶Legendre函數第十一章§9.1特殊函數常微分方程

本節(jié)內容：◆導致特殊函數常微分方程的物理問題

波動問題，輸運問題，穩(wěn)定場問題◆特殊函數常微分方程的導出第九章 特殊函數常微分方程

本征值問題51第九章 特殊函數常微分方程

●球坐標中分離變量：徑向方程球函數方程方向角部分：52●球坐標中徑向方程球函數方程方向角部分：7令

得連帶Legendre方程Legendre方程53令●柱坐標中Bessel方程或虛宗量Bessel方程●球坐標中

徑向54●柱坐標中§9.2常點鄰域上的級數解法本節(jié)內容：◆微分方程解析理論的基本定理◆常點鄰域上的級數解法◆Legendre方程在常點x=0鄰域上的級數解

55§9.2常點鄰域上的級數解法10本節(jié)要求：了解（or掌握）◆微分方程在其常點鄰域上解的基本定理◆常點鄰域上的級數解法◆Legendre方程在常點x=0鄰域上的級數解法掌握

◆Legendre

方程在常點x=0鄰域上解的結果56本節(jié)要求：11二階常微分方程的標準形式：

其中,p(z)和q(z)為方程的系數，是已知的復變函數。要求在一定的條件，例如初始條件：

下，一定區(qū)域內方程的解。57二階常微分方程的標準形式：12方程解的性質完全由p(z)和q(z)的解析性質決定。（一）方程的常點和奇點

設p(z)和q(z)在一定區(qū)域中，除若干個孤立奇點外，是z的單值解析函數。區(qū)域中的點可分為兩類：常點：若系數p(z)和q(z)都在某點z0

及其鄰域內解析，則z0

點稱為方程的常點。奇點：若系數p(z)和q(z)中只要有一個在z0

點不解析，則z0

點稱為方程的奇點。58方程解的性質完全由p(z)和q(z)的解析性質決定。13(二)常點鄰域上的級數解

微分方程解析理論的基本定理:如果p(z)和q(z)在圓內是單值解析的,則方程在這圓內有唯一的一個解w(z)滿足初值條件

C0和C1是任意常數,并且w(z)在這圓內是單值解析的.?z0R59(二)常點鄰域上的級數解 ?z0R14在常點z0

的鄰域|z-z0|<R內，w(z)是解析 函數，故可展開成Taylor級數：

因此只要求出系數ak，方程的解即求得。60在常點z0的鄰域|z-z0|<R內，w(z)是解析1——系數遞推公式利用系數遞推公式可從開始逐一將所有系數用表示出來。為兩個任意常數，正是兩個積分常數61——系數遞推公式利用系數遞推公式可從開始逐一（三）Legendre方程的級數解:

在x=0的鄰域上求Legendre方程的解： 因

當x=0,有限，因此是方程的常點。

注意：當x=±1,p(x),q(x)為無限大，因此x=±1是Legendre方程的奇點。62（三）Legendre方程的級數解:注意：當x=±1,在x=0鄰域內，Taylor級數形式的解為：代入Legendre方程：合并后：63在x=0鄰域內，Taylor級數形式的解為：18因此系數的遞推關系為(9.2.5)根據(9.2.5),可將所有下標為偶數的系數用a0表示，而將所有下標為奇數的系數用a1表示，這樣，Legendre方程的通解可表示為：

64因此系數的遞推關系為19

級數的收斂半徑：

因為x=±1是離x=0最近的奇點，因此級數的收斂半徑R=1。

問題：在x=±1（即方向角為=0和=，亦即x-y平面上）端點，級數的收斂性如何？yOxy(,,)65 級數的收斂半徑：問題：在x=±1（即方向角為yOxy(事實上:

y0(x)和y1(x)在x=±1是發(fā)散的級數（見附錄四，以高斯判別法證明），而且不存在在x=±1二點都收斂的無窮級數滿足Legendre方程66事實上:y0(x)和y1(x)在x=±1是發(fā)散的級數（§9.3正則奇點鄰域上的級數解法本節(jié)內容：◆微分方程在其正則奇點鄰域上解的基本定理◆正則奇點鄰域上的級數解法◆Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上的級數解67§9.3正則奇點鄰域上的級數解法22本節(jié)要求：了解（or掌握）◆微分方程在其正則奇點鄰域上解的基本定理◆正則奇點鄰域上的級數解法◆Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上的級數解法掌握Bessel方程在正則奇點x=0鄰域上解的結果68本節(jié)要求：23（一）奇點鄰域上的級數解:

系數p(z)和q(z)中只要有一個在z0

點不解析，則z0

點稱為方程的奇點。方程的奇點則可能同時也是解的奇點.因此，在z0點鄰域的級數解應該是Laurent展開。

69（一）奇點鄰域上的級數解:24

定理1若點z0為方程（9.3.1）的奇點，則在p(z)和q(z)都解析的環(huán)形區(qū)域0<|z-z0|<R內,這方程的兩個線性無關解是其中是常數.70定理1若點z0為方程（9.3.1）的奇點，則在p(z一般情況下,級數的系數是無限聯(lián)立的代數方程，得不到系數的遞推公式；但在一定的條件下，方程的二個線性獨立解的級數中沒有負冪項，這樣的解稱為正則解。在這種情況下,可得到系數遞推公式。

定理2：方程(9.3.1)在他的奇點z0的鄰域0<|z-z0|<R內有兩個正則解的充要條件是:(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在內解析，即z0至多是p(z)的一階極點、同時至多是q(z)的二階極點。滿足這一條件的奇點稱為方程的正則奇點，否則稱為非正則奇點。71一般情況下,級數的系數是無限聯(lián)立的代數方程，得不到系數的遞這時方程的二個線性獨立解為：

72這時方程的二個線性獨立解為： 27將代入方程,得最低次冪項之和為若m>1,或n>2,則第二項或第三項為最低次冪項73將28令其系數為零,只能有若則最低次冪項為第一項，或加上第二、第三項。令其系數為零。（當m=1,n=2）

——判定（指標）方程74令其系數為零,29

（三）Bessel方程的級數解 在x=0的鄰域上求

階Bessel方程的解

注意：

是任意實數。

x=0是p(x)的一階極點，q(x)的二階極點。因此x=0是Bessel方程的正則奇點。

75（三）Bessel方程的 級數形式解： 代入方程（1），得到即76 級數形式解：31x0的系數方程——判定方程：

解得

下面，按的數值，分兩種情形討論。(要說明何以要按2v的數值劃分！)(I)

77x0的系數方程——判定方程：32(II)

自k=2v起失效!需改用第二形式的解第一個解仍為Jv(x)，但第二個解，其系數遞推公式i）2=2m(m=1,2,3,….)ii)2=2l+1

(l=0,1,2,3,….)

iii)2=2m=0,78(II)自k=2v起失效!需改用第二形式的解第一個解§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題本節(jié)內容：◆施圖姆-劉維爾本征值問題的提出◆施圖姆-劉維爾本征值問題的性質本節(jié)起著承上啟下的作用，對分離變數法作總結，同時為特殊函數的學習作準備。79§9.4施圖姆-劉維爾本征值問題34本節(jié)要求：

掌握施—劉本征值問題及其性質。

80本節(jié)要求：35I.

施-劉方程及本征值問題-----Sturm-Liouville本征問題以乘上式得:---Sturm-Liouville方程81I.施-劉方程及本征值問題以乘上式得:---Sturm-①②

——Legendre方程的本征值問題

本征函數：本征值：

●本征問題例：82①本征函數：③