數(shù)學(xué)八年級(jí)上：一元一次不等式 學(xué)習(xí)要點(diǎn)

“一元一次不等式”學(xué)習(xí)要點(diǎn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)基本性質(zhì)移項(xiàng)法則基本性質(zhì)移項(xiàng)法則不等式不等式一元一次不等式組的應(yīng)用解一元一次不等式組一元一次不等式組的應(yīng)用解一元一次不等式組一元一次不等式組一元一次不等式組的解集二、復(fù)習(xí)要點(diǎn)提示本章的內(nèi)容是在掌握了有理數(shù)大小比較，等式及其性質(zhì)和解一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，不等式（組）的知識(shí)體系安排和方程（組）的知識(shí)體系的安排相類似，并使其相應(yīng)的內(nèi)容在各自的范圍內(nèi)處于同等的地位。在學(xué)習(xí)中要注意比較不等式（組）與方程（組）這兩部分知識(shí)，從內(nèi)容、性質(zhì)、解與解集及解法上比較它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，特別要注意它們各自的特殊性。只有掌握了各自的特殊性，才能更好地認(rèn)識(shí)和區(qū)別這兩部分內(nèi)容，也才能夠加深對(duì)不等式知識(shí)的深入理解。一元一次不等式是表示不等關(guān)系的最基本的工具，又是學(xué)習(xí)其它不等式的基礎(chǔ)，同時(shí)也是以后學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。（一）不等式和它的基本性質(zhì)1、不等式表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式，就是含有不等號(hào)“≠”的式子，或含有“＞”、“＜”、“≥”、“≤”的式子。*原載于《教學(xué)同步解析訓(xùn)練新視窗》（初一代數(shù)下）長征出版社，2003年12月，收入本書時(shí)有刪改。2、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有相似之處，也有不同之處，特別是不等式的基本性質(zhì)3，不等式兩邊同乘以（或同除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變，這一點(diǎn)要尤為引起重視，這一性質(zhì)的運(yùn)用，也是本章的難點(diǎn)之一。下面將不等式的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)的比較，用下表表示出來。等式不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一整式，所得結(jié)果仍是等式。兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一整式，不等號(hào)的方向不變。兩邊都乘（或除以）同一數(shù)（除數(shù)不能是0），所得結(jié)果仍是等式。兩邊都乘（或除以）同一正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式方向改變。（二）不等式的解集不等式的解使不等式成立的未知數(shù)的取值叫不等式的解。不等式的解集一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式解的集合，簡稱這個(gè)不等式的解集。解不等式求不等式的解集的過程，叫解不等式，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來。在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要注意“空心”和“實(shí)心”的含義和用法。（三）一元一次不等式和它的解法一元一次不等式可化為只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不為0的不等式叫一元一次不等式。同方程類似，我們把a(bǔ)x+b≠0，(a≠0)叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，那么ax+b＜0、ax+b＞0(a≠0)ax+b≥0（a≠0），ax+b≤0（a≠0）也叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式。2、解一元一次不等式解一元一次不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，它的解法步驟和解的情況與一元一次方程的解法步驟相同。但要注意的是，在解不等式的過程中，如果在不等式兩邊同乘以或同除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，要改變不等號(hào)的方向。一元一次不等式和一元一次方程的解法步驟的對(duì)比見下表。解一元一次方程解一元一次不等式解法步驟(1)去分母(1)去分母(2)去括號(hào)(2)去括號(hào)(3)移項(xiàng)(3)移項(xiàng)(4)合并同類項(xiàng)(4)合并同類項(xiàng)(5)系數(shù)化成1(5)系數(shù)化成1在上面的步驟(1)和步驟(5)中,如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù),要把不等號(hào)改變方向解的情況一般情況下,一元一次方程只有一個(gè)解一般情況下,一元一次不等式的解集含有無限多個(gè)數(shù)(四)一元一次不等式組和它的解法一元一次不等式組將幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組的解集幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。解不等式組求不等式組的解集的過程叫做解不等式組。解一元一次不等式組可以分為以下兩個(gè)步驟（1）求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集；（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即求出了這個(gè)不等式組的解集。三、思想方法簡析（一）“類比”的數(shù)學(xué)思想把兩個(gè)（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾愃浦?，那么就推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾愃浦?，這種數(shù)學(xué)思想常稱為“類比”。它體現(xiàn)了“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點(diǎn)，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解題的重要手段之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用。1、不等式與等式的性質(zhì)類比初學(xué)不等式（例如a＞b或a＜b)時(shí),我們對(duì)它的性質(zhì)一無所知，但對(duì)等式（例如a=b）的性質(zhì)，我們倒比較熟悉，雖然不等式與等式是不同的式子，表達(dá)的是不同的數(shù)量關(guān)系，但它們?cè)谛问缴巷@然有某些相同或類似之處，這就是“類比”思想的一種運(yùn)用，它是探索不等式性質(zhì)的基本途徑。2、不等式與方程的解的類比從形式上看，含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的，按“類比”的思想考慮問題，我們以仿效方程的解的意義，來明確不等式的解的意義。我們知道，當(dāng)x=2時(shí)，方程x+3=5兩邊的值相等，即方程x+3=5成立，2是方程x+3=5的解；當(dāng)x=3時(shí)，方程x+3=5兩邊的值不相等，即方程x+3=5不成立，3不是x+3=5的解。類似地，當(dāng)x=1時(shí)，不等式x+3＜5成立，我們說，1是不等式x+3＜5的解；當(dāng)x=2時(shí)，不等式x+3＜5不成立，我們說，2不是不等式x+3＜5的解。3、不等式的解法與方程的解法類比從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的，我們知道，利用等式的兩條基本性質(zhì)，可以求得一元一次方程的解。按“類比”的思想考慮問題，我們自然會(huì)推斷：利用不等式的三條基本性質(zhì)，采用與解一元一次方程相類似的步驟，便可以求得一元一次不等式的解集。（二）“分析”與“綜合”的數(shù)學(xué)思維方法“分析”和“綜合”是兩種基本的思維方法，在數(shù)學(xué)中有著特別重要的作用?！胺治觥本褪窃谒季S中把事物的整體分解成若干個(gè)組成部分，并對(duì)各個(gè)部分分別進(jìn)行考察；“綜合”就是在思想中把事物的各個(gè)部分聯(lián)結(jié)成一個(gè)整體，并從整體上加以研究，“先分析后綜合”，這是人們認(rèn)識(shí)事物的一條基本途徑，也是解數(shù)學(xué)題的一種常用手段。1、解“判斷題”的分析與綜合我們知道，如果一個(gè)不等式經(jīng)過變形化簡以后，它只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0，那么這個(gè)不等式叫做一元一次不等式。因此，當(dāng)我們判定一個(gè)式子是不是一元一次不等式時(shí)，就要先對(duì)這個(gè)式子作如下“分析”。①它是不是一個(gè)不等式？②把它化簡以后，它是不是只含有一個(gè)未知數(shù)？③化簡后未知數(shù)的次數(shù)是不是1？④化簡后未知數(shù)的系數(shù)是不是等于零？然后，再把以上“分析”得到的結(jié)果“綜合”起來，就可以作出正確的判斷了。2、“解不等式組”的分析與綜合我們知道，不等式組是由幾個(gè)不等式構(gòu)成的一個(gè)整體，這幾個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)不等式組的解集。因此，當(dāng)我們解不等式組時(shí)，就要先把它分解成幾個(gè)單獨(dú)的不等式，并分別求出這幾個(gè)不等式的解集（這實(shí)際上是一個(gè)“分析”過程）；然后，又把這幾個(gè)不等式看作一個(gè)整體，找出它的解集的公共部分，便得到不等式組的解集（這實(shí)際上是一個(gè)“綜合”過程）。3、解“綜合題”的分析與綜合數(shù)學(xué)綜合題，可以看成是由幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的“小題目”組成的一個(gè)“大題目”，解數(shù)學(xué)綜合題時(shí)，應(yīng)當(dāng)先對(duì)綜合題進(jìn)行“分析”——把它分解成幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的“小題目”，并逐一解答這些“小題目”；然后，再把“分析”所得的結(jié)果“綜合”起來，從而求得綜合題的解答。因此，解數(shù)學(xué)綜合題的過程，通常也是一個(gè)“先分析后綜合”的過程。四、綜合題例分析例1求滿足不等式5＜1-4x＜17的整數(shù)解[思路點(diǎn)撥]求不等式的整數(shù)解，即要先確定不等式的解集，然后在求出的解集中，再確定整數(shù)解。一方面，從提供的不等式的意義上看，它可以轉(zhuǎn)化成不等組，從而將原問題轉(zhuǎn)化成求不等式組的整數(shù)解的問題。另一方面也可根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形求解。[解]解法一（將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組）原不等式可化為由①，得x＜-1由②，得x＞-4則不等式組的解集為-4＜x＜-1,∴原不等式的解集也為-4＜x＜-1則滿足原不等式5＜1-4x＜17的整數(shù)解為-3,-2.解法二(根據(jù)不等式性質(zhì)變形求解)5＜1-4x＜17,將原不等同減去1,得4＜-4x＜16將4＜-4x＜16同除以-4(或乘以-),得-1＞x＞-4即-4＜x＜-1∴滿足不等式5＜1-4x＜17的整數(shù)解為-3,-2.[評(píng)注]該類不等式求解集問題,既可按不等式性質(zhì)變形求解，又可將原不等式轉(zhuǎn)化成不等式組來求解。例2已知|2a-b+7|+(a+2)2=0，解關(guān)于x的不等式[思路點(diǎn)撥]已知的不等式組是一個(gè)含有參數(shù)a，b的不等式組，顯然它的解集是由參數(shù)a，b的取值而確定的。因此解決本題的關(guān)鍵是求出參數(shù)a，b的值，而參數(shù)a，b又出現(xiàn)在等式|2a-b+7|+(a+2)2=0之中，故可根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)，確定參數(shù)a，b的值。[解]∵|2a-b+7|+(a+2)2=0∴解得①，得x＞-1，由②，得x＜.∴原不等式組的解集為-1＜x＜.[評(píng)注]本題事實(shí)上是一道關(guān)于方程組和一元一次不等式組的小綜合題，不等式組中的參數(shù)a、b的取值，由特殊的等式?jīng)Q定，而這個(gè)特殊的等式又可轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，這樣一來確定a，b的值就不成問題了。因此，我們?cè)诮忸}中，要善于運(yùn)用已有的知識(shí)貯備，將新知識(shí)與舊知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，在解決具體問題中，要仔細(xì)分析題目中已知與未知的關(guān)系，活化自己的思維，在困難面前，尋求突破。例3若方程組的解x，y滿足，求m的取值范圍。[思路點(diǎn)撥]首先解關(guān)于x、y的方程組，然后根據(jù)x＞0,y＜0的條件，列出關(guān)于m的不等式組，最后求不等式組的解，即可求出m之值。[解]①＋②，得3(x+y)=2mx+y=m③將③代入①，得m+y=m-1.y=-1④將④代入③，得x=+1.∴∵∴解得-3＜m＜3.則m的取值范圍為-3＜m＜3.[評(píng)注]將方程組的有關(guān)問題與不等式組聯(lián)合起來組成小綜合題,是考查運(yùn)用方程(組)與不等式(組)有關(guān)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題最主要題型。解決此類綜合題主要是從方程（組）與不等式（組）的解的關(guān)聯(lián)上尋求解題的突破口，通常是借助于它，求出題目中的參數(shù)的值，從而達(dá)到解決全題的目的。例4若不等式組,的解集為-3＜x＜5,求不等式mx-n＜0的解集。[思路點(diǎn)撥]由不等式組的解集可求m,n，再求出不等式mx-n＜0的解集。[解]由①，得x＞n-m.由②，得x＞n+m.∵不等式組的解集為-3＜x＜5∴解得當(dāng)m=-4,n=1時(shí)，不等式mx-n＜0為-4x-1＜0.∴x＞-.[評(píng)注]本題由不等式的解集,確定參數(shù)m,n的值,對(duì)于初學(xué)者有一定的難度,解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，借助于數(shù)軸，把不等式組的解集轉(zhuǎn)化成求關(guān)于m,n的方程組的解問題，從而突破全題。例5若關(guān)于x的不等式組,有解，則m的范圍為：A、m≤2B、m＜2C、m＜-1D、-1≤m＜2[思路點(diǎn)撥]不等式組有解，說明不等式-1≤x＜2，與x＞m的解集有公共部分，則可用數(shù)軸表示兩個(gè)不等式的解集，其中-1,2將數(shù)軸分成于三段，把m分別放入這三段中進(jìn)行分析，看是否有公共部分，從而得出m的范圍。m1-1m22m[解]B[點(diǎn)評(píng)]要注意若m=2，則兩不等式的解集無公共部分，本題較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。因此解決此類問題要特別注意討論“臨界值”的取舍問題。例6某園林的門票每張10元，一次使用?？紤]到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個(gè)人年票”的售票方法（個(gè)人年票從購買日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三類：A類年票每張120元，持票者進(jìn)入園林時(shí)，無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需再購買門票，每次2元，C類門票每張40元，持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需再購買門票，每次3元。(1)如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計(jì)劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計(jì)算，找出可使進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購票方式。(2)求一年中進(jìn)入該園林至少超過多少次時(shí)，購買A類年票比較合算？（2001年蘇州市中考題）[思路點(diǎn)撥](1)問可根據(jù)問題的情境直接作出解答。（2）問要將原來售票的方法和年票中B、C二類這三種情形，分別討論加以限制，若設(shè)至少超過x次，購買A類年票合算，則對(duì)于原來零售方法有10x＞120，對(duì)于年票B類方式有60+2x＞120，對(duì)于年票C類方式有40+3x＞120，然后將三不等式組成不等式組，求解集即可。解：（1）不可能選A類年票故選B類年票，則若選C類年票，則若不購買年票，則所以計(jì)劃用80元花在該園林的門票上時(shí)，選擇購買C類年票的方法進(jìn)入園林的次數(shù)最多為13次。(2)設(shè)至少超過x次時(shí)，購買A類年票比較合算，依題意，得解之，得所以，一年中進(jìn)入該園林至少超過30次時(shí)，購買A類年票比較合算。[點(diǎn)評(píng)]本題是運(yùn)用不等式組解決實(shí)際問題的范例。用不等式組解應(yīng)用題和用方程組解應(yīng)用題一樣，就是要將應(yīng)用題中全部不等量（包括隱形的不等量）表示出來，否則會(huì)發(fā)生擴(kuò)大解集的錯(cuò)誤，導(dǎo)致擴(kuò)大應(yīng)用問題的范圍的局面發(fā)生。例7聊城市委、市政府為進(jìn)一步改善投資環(huán)境和居民的生活環(huán)境，并吸收更多的人來聊城觀光旅游，決定對(duì)古運(yùn)河城區(qū)實(shí)施二期開發(fā)工程，現(xiàn)需要A、B兩種花磚共50萬塊，全部由某磚瓦廠完成此項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)，該廠現(xiàn)有甲種原料180萬千克，乙種原料145萬千克，已知生產(chǎn)1萬塊A磚，用甲種原料4.5萬千克，乙種原料1.5萬千克，造價(jià)1.2萬元；生產(chǎn)1萬塊B磚，用甲種原料2萬千克，乙種原料5萬千克，造價(jià)1.8(1)利用現(xiàn)有原料，該廠是否能按要求完成任務(wù)？若能，按A、B兩種花磚的生產(chǎn)塊數(shù)，有哪幾種生產(chǎn)方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來（以萬塊的1個(gè)單位且取整數(shù)）；(2)試分析你設(shè)計(jì)的哪種生產(chǎn)方案造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？（2001年山東省聊城市中考題）解：(1)∵(4.5+1.5)×50=300，（2+5）×50=350，180+145=325。而300＜325＜350因此,利用現(xiàn)有原料該廠能按要求完成任務(wù)設(shè)需要生產(chǎn)A種花磚x萬塊，則生產(chǎn)B種花磚（50-x）萬塊，根據(jù)題意，得解得30≤x≤32.∵x為正整數(shù)，∴x=30,31,32.相應(yīng)地50-x取20,19,18.∴生產(chǎn)方案有三種：第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種花磚30萬塊，B種花磚20萬塊；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種花磚31萬塊，B種花磚19萬塊；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種花磚32萬塊，B種花磚18萬塊；(2)第一種生產(chǎn)方案的造價(jià)為：1.2×30+1.8×20=72(萬元)第二種生產(chǎn)方案的造價(jià)為：1.2×31+1.8×19=71.4(萬元)第三種生產(chǎn)方案的造價(jià)為：1.2×32+1.8×18=70.8(萬元)答：第三種生產(chǎn)方案的總造價(jià)最低，最低造價(jià)是70.8萬元。例8在雙休日，某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園，公司先派一人去了解船只的租金情況，這個(gè)人看到的租金價(jià)格表如下：船型每只限載人數(shù)（人）租金（元）大船53小船32那么，怎樣設(shè)計(jì)租船方案才能使所付租金最少？（嚴(yán)禁超載）（2001年荊州市中考題）解：方案（1）：如果只租大船，則需租船只數(shù)為，因?yàn)椴荒艹d，故需租大船10只，則所付租金為3×10=30（元）。方案（2）：如果只租小船，則需租船只數(shù)為=16，故需租小船16只，所付租金為16×2=32（元）。方案（3）：如果既租大船又租小船設(shè)租用x只大船，y只小船，所付租金為A元，依題意，得由①，②得A=-x+32.由③及x為正整數(shù)，可得x=9時(shí)，A最小=29。即租用9只大船時(shí)，所付租金最少，最少租金為29元，此時(shí)有9×5=45人坐大船，有3人坐小船。比較上述三個(gè)方案可知，采用方案（3）租船所付的租金最少。[評(píng)注]用方程與不等式混合組來解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)服務(wù)于生活實(shí)際的具體體現(xiàn)。我們過去研究的不定方程(組)的求解問題，就是通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程和不等式混和組來求解。如我國古代“白雞問題”、“孫子定理”、“雞兔同籠”等都屬這一類問題。五、解題方法指南將新問題歸結(jié)到已經(jīng)解決了的問題去研究，這種方法就是轉(zhuǎn)化的思想方法，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)往往就是在不停地“轉(zhuǎn)化”。例1解不等式＜0[思路點(diǎn)撥]題目給出的不等式是我們沒有學(xué)習(xí)過的一個(gè)“新”的問題，但是我們從“式結(jié)構(gòu)”上看，不等式左邊是一個(gè)分式，右邊是常數(shù)0，原不等式就是說明分式的值是一個(gè)負(fù)數(shù)，從而可得到結(jié)論(4x-3)與(5x+1)的值只能是一正一負(fù)，那么就可以把原不等式（新問題）“轉(zhuǎn)化”成兩個(gè)不等式組(1)(2)((1)和(2)是我們熟悉的舊問題)來解決。[解]原不等式可以轉(zhuǎn)化成以下兩個(gè)不等式組：(1)或（2）由（1），得空集。由（2），得-＜x＜.則原不等式的解集為-＜x＜.[點(diǎn)評(píng)]化未知為已知是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)之一，事實(shí)上轉(zhuǎn)化的思想方法還體現(xiàn)在：化繁為簡，化難為易，化不同為相同等等。例13解不等式|2-3x|≤2.[思路點(diǎn)撥]這是一個(gè)絕對(duì)值不等式，對(duì)于絕對(duì)值這個(gè)問題，我們一方面可運(yùn)用分類的思想將絕對(duì)值脫去，將之轉(zhuǎn)化為不含有絕對(duì)的問題來解決（這一過程仍有轉(zhuǎn)化的思想，不過也有分類的數(shù)學(xué)思想）。另一方面，我們還可以根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，把絕對(duì)值脫去，使之轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問題，從而達(dá)到解決該問題的目的。[解]