2023學年度 等比數(shù)列教學設計

（一）教學目標1．知識與技能：通過實例理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式；理解這種數(shù)列的模型應用，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．２．過程與方法：通過豐富實例抽象出等比數(shù)列模型，經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個具體數(shù)列的等比關(guān)系，歸納出等比數(shù)列的定義；通過與等差數(shù)列的通項公式的推導類比，探索等比數(shù)列的通項公式；通過與指數(shù)函數(shù)的圖象比較，探索等比數(shù)列的通項公式的圖象特征及與與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。通過例題體會通項公式與方程、方程組之間的聯(lián)系。３．情態(tài)與價值：感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活，并應用于現(xiàn)實生活的，培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力．（二）教學重、難點重點：等比數(shù)列的定義和通項公式難點：等比數(shù)列通項公式的推導過程（三）學法與教學用具學法：首先由幾個具體實例抽象出等比數(shù)列的模型，從而歸納出等比數(shù)列的定義；與等差數(shù)列通項公式的推導類比，推導等比數(shù)列通項公式，通過與指數(shù)函數(shù)的圖象比較，探索等比數(shù)列的通項公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。教學用具：投影儀（四）教學設想首先先創(chuàng)設情境，從具體四個實例引入新課，得到四組數(shù)列；通過類比等差數(shù)列得出等比數(shù)列的定義；類比等差中項得出等比中項；探究首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件；類比等差數(shù)列的通項公式得出等比數(shù)列通項公式；例題鞏固；等比數(shù)列的對稱性；探究等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，小結(jié)。（五）教學過程Ⅰ.課題導入1、復習：等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差；公差通常用字母d表示?－=d，（n≥2，n∈N）等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實生活中，除了等差數(shù)列，我們還會遇到下面一類特殊的數(shù)列。2、[創(chuàng)設情景]解答下列問題（課本P41頁的4個例子）：【多媒體展示4個問題】①觀察圖書P54，細胞的分裂有什么規(guī)律，你能寫出一個數(shù)列來表示細胞的分裂的個數(shù)嗎？【1，2，4，8，16，…】②《莊子》中有這樣的論述“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！蹦隳苡矛F(xiàn)代語言敘述這段話嗎？若把“一尺之錘”看成單位“1”，那么“日取其半”會得到一個怎樣的數(shù)列？【1，，，，，…】③一種計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依次類推。假設每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機，那么在不重復的情況下，你能寫出一個數(shù)列描述這種病毒每一輪感染的計算機數(shù)嗎？【1，20，，，，…】④我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式除了單利，還有一種支付利息的方式――復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”。學生觀察書上的表格，列出5年內(nèi)各年末本利和，說說它們是怎樣得到的？【，，，，，……】3、[探索研究]問題：【多媒體展示問題】（1）、請同學們回憶數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義，并仔細觀察一下，以上①、②、③、④四個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若不是，看看它們有什么共同特征？該叫什么數(shù)列呢？【共同特點：從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)。即具有等比關(guān)系】（2）、如果我們將具有這樣特點的數(shù)列稱之為等比數(shù)列，那么你能給出等比數(shù)列一個什么樣的定義？可類比等差數(shù)列完成。Ⅱ.講授新課1．等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）。與等差數(shù)列定義區(qū)別在哪里？1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q)｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）2°隱含：任一項3°q=1時，{an}為常數(shù)。2、類比等差中項的定義【多媒體展示定義】，得等比中項若三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項。且，或A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列類比等差中項的概念，請學生自己給出等比中項的概念。如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等差中項。這時a、b的符號有什么特點？你能用a與b表示G嗎？這時,a,b一定同號,G2=ab與等差數(shù)列等差中項區(qū)別在哪里？3、探究【多媒體展示問題】：決定一個等比數(shù)列的必要條件（1）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？（2）寫出一個首項為1的等比數(shù)列的前5項，同桌的互相比較是否相同？寫出一個公比為2的等比數(shù)列的前5項，同桌的互相比較是否相同？（3）兩個數(shù)列的任一項｛an｝及公比q相同，則這兩個數(shù)列相同嗎？（4）若兩個等比數(shù)列相同，需要什么條件？【學生先完成，討論交流，解答完成】探究目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件，為等比數(shù)列的通項公式的推導做準備。4.問題：回顧等差數(shù)列的通項公式的推導過程【多媒體展示推導過程】，你能推導等比數(shù)列的通項公式嗎？【學生分三組分別就三種方法完成，學生上臺板書過程】等比數(shù)列的通項公式1:方法1：由等比數(shù)列的定義，有：；；；…方法2：由===…==q,得觀察上式，每一道式子里，項的下標與q的指數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征嗎？【項的下標與q的指數(shù)的和都是n】等比數(shù)列的通項公式2:方法3：由===…==q,得：=q，=q,=q,…==q?????=qn-1等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式區(qū)別在哪里？5、[范例講解]例1P58例3【多媒體展示例題】一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項。解：設這個等比數(shù)列的第一項是a1，公比q，那么a1q2=12,a1q3=18解得：a1=q=∴a2=8例2、課本P57例1、【多媒體展示例題】某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84％。這種物質(zhì)的的半衰期為多少（精確到1年）？解：設這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是。由條件可得，數(shù)列｛｝是一個等比數(shù)列，其中：a1=,q=.設an=,則=.兩邊取對數(shù)，得=.n≈4.答：這種物質(zhì)的的半衰期為4年。6.課堂練習課本P59練習1、已知是一個等比數(shù)列，在下表中填入恰當?shù)臄?shù)： q2 8 2 7．[補充練習]【多媒體展示練習】2.（1）一個等比數(shù)列的第9項是，公比是－，求它的第1項（答案：=2916）（2）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項（答案：==5,=q=40）8、類比等差數(shù)列的對稱性【多媒體展示】，得等比數(shù)列的對稱性對于等差數(shù)列來說，與數(shù)列中任一項等距離的兩項之和等于該項的2倍，即類比等差數(shù)列的對稱性，請寫出等比數(shù)列類似的性質(zhì)？與等差數(shù)列的對稱性區(qū)別在哪里？9、探究：課本P56頁的探究活動——等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【多媒體展示問題】1、回顧《數(shù)學必修1》中也有“P64細胞分裂”、“P110計算機病毒傳播”、“P66復利計算”的練習或習題，那里我們是用什么方法來研究問題的？如：某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，設本利和為y元，存期為x。（1）寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）若存入本金為10000元，每期利率為％，試計算5期后的本利和為多少？解：（1）（2）當a=10000,r=%,x=5時，比較必修1與必修5的兩種方法，思考它們的異同，兩者有何關(guān)系？2、借助幾何畫板做出P56探究（2）、（3）圖形，觀察圖形之間的關(guān)系。探究歸納等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系。等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：【多媒體展示結(jié)論】等比數(shù)列｛｝的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點，等比數(shù)列是特殊的指數(shù)函數(shù)。Ⅲ.課時小結(jié)本節(jié)學習內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式。從定義、通項公式與函數(shù)3個角度類比等差數(shù)列與等比數(shù)列，并填下表：【多媒體展示問題】 等差數(shù)列 等比數(shù)列