數(shù)值模擬第六講平面問(wèn)題（三）載荷等效移植課件

5.3單元載荷移置1)什么是單元載荷？分布在單元內(nèi)部區(qū)域或邊界上的載荷、作用在單元的非節(jié)點(diǎn)位置上的集中力稱為單元載荷。2)為什么單元載荷需要移置？有限元模型中單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接形成離散結(jié)構(gòu)；通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞位移和力。單元和整體結(jié)構(gòu)的特性主要是節(jié)點(diǎn)力學(xué)量之間的關(guān)系。因此邊界條件必須對(duì)節(jié)點(diǎn)給出，所有載荷必須等效作用在節(jié)點(diǎn)上，這也是連續(xù)模型離散化的要求。載荷移置的原則：虛功等效原單元載荷與等效節(jié)點(diǎn)載荷在單元虛位移上的虛功相等。5.3.1概述載荷移置是以單元為單位進(jìn)行的。首先將作用于各單元上的體力、面力及未直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中力移置到單元的節(jié)點(diǎn)上，成為作用于節(jié)點(diǎn)上的集中力，從而得到單元節(jié)點(diǎn)載荷的列向量(矩陣){R}e；然后將相關(guān)單元移置到同一節(jié)點(diǎn)的載荷進(jìn)行疊加，就可以得到單元集合體的節(jié)點(diǎn)載荷列矩陣。5.3.2載荷移置的方法5.3.3載荷移置的原則——虛功等效

對(duì)于變形體，虛功等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上的虛功都應(yīng)相等。虛功等效包含了剛體體系的靜力等效，當(dāng)虛位移是剛體位移時(shí)，虛功等效即為靜力等效，所以靜力等效是虛功等效的特例。在按虛功等效原則移置單元載荷時(shí)，假設(shè)單元的虛位移與單元的實(shí)際位移具有同樣的位移模式，因此，當(dāng)位移模式確定之后，載荷移置的結(jié)果是唯一的。

作用在單元上的載荷一般有三種：

（1）集中力（2）體力（3）面力在作單元?jiǎng)澐謺r(shí)，通常將集中力的作用點(diǎn)設(shè)置為單元的節(jié)點(diǎn)，所以說(shuō)一般情況下沒(méi)有集中力移置的問(wèn)題。但為了便于面力、體力移置公式的推導(dǎo)，下面還是從集中力移置開(kāi)始闡述。5.3.4載荷的種類(lèi)

設(shè)單元內(nèi)坐標(biāo)為xb、yb的任一點(diǎn)b處受一集中力P作用，其分量為Px、Py，即{P}=[Px,Py]T。

將其移置到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷列向量為{Rp}e。5.3.5集中力的等效移置

（1）虛位移

設(shè)單元發(fā)生了虛位移，如圖所示。單元上各節(jié)點(diǎn)的虛位移為：

單元內(nèi)任一點(diǎn)

b(xb，yb)處的虛位移為：（2）虛功方程根據(jù)虛功原理，有：由于虛位移與實(shí)際位移有同樣的位移模式，即：節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)等效載荷設(shè)單元的ij邊上受到分布集度為q的表面力作用。其分量為qx、qy，則面力的列陣為：

{q}=[qx

qy]T單元厚度為t，在ij邊上取微元tds，則該微元上所受的表面力可表示為{q}tds。5.3.6表面力的等效移置

當(dāng)上述微元tds取得足夠小時(shí)，可將其上所受的面力作為集中力看待，則根據(jù)集中力等效移置公式可得該微元上面力等效移置后的節(jié)點(diǎn)載荷為：通過(guò)積分可以得到ij邊上面力移置后的等效節(jié)點(diǎn)載荷{Rq}e為

上式便是表面力移置的普遍式。設(shè)ij邊長(zhǎng)為l，邊上任一點(diǎn)A距節(jié)點(diǎn)i的距離為s，則由面積坐標(biāo)的定義，此A點(diǎn)處三個(gè)形函數(shù)如下：

將A點(diǎn)形函數(shù)代入表面力等效移置的普遍式中，可以得到：若其它邊上也受面力作用，也可導(dǎo)出相應(yīng)的移置公式。由上式可以看出，作用在單元某一邊界上的載荷，只需移置到該邊界上的節(jié)點(diǎn)處，對(duì)不在此邊上的節(jié)點(diǎn)則不作移置。討論——（1）表面力線性分布可見(jiàn)，簡(jiǎn)單三角形邊界上線性分布面力的等效移置是將該面力合力的2/3移置到該邊界上集度最大的節(jié)點(diǎn)處，另1/3則移置到該邊界上集度為零的節(jié)點(diǎn)處。

討論——（2）表面力為常量由上式可以看出，當(dāng)表面力為常量時(shí)，該邊界上的節(jié)點(diǎn)均勻分擔(dān)此表面力。

特例——均布正壓力如氣體壓力、液體壓力

單元體積內(nèi)連續(xù)分布有體積力作用，設(shè)其單位體積力為{g}，坐標(biāo)方向的分量為gx、gy，則體積力列陣為：

{g}=[gx

gy]T在單元內(nèi)任取微元體積tdxdy，則該微元上所受的體積力為：{g}tdxdy。當(dāng)上述微元tdxdy取得足夠小時(shí)，可將其上所受的體積力視作為集中力，則應(yīng)用集中力等效移置公式可得到體積力移置后的等效節(jié)點(diǎn)載荷{Rg}e

：5.3.7體積力的等效移置

上式便是體積力移置的普遍式。體力特例——自重

設(shè)重力方向沿y軸負(fù)向，其單位體積力為ρ(即材料的體密度——比重)，則：按節(jié)點(diǎn)分塊形式可將上式展開(kāi)為如下三式，