高中數(shù)學(xué)解題思維策略3

第四講數(shù)學(xué)思維的開拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個(gè)問題能從多方面考慮；對一個(gè)對象能從多種角度觀察；對一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一一個(gè)有機(jī)機(jī)的整體體，它的的各個(gè)部部分之間間存在概概念的親親緣關(guān)系系。我們們在學(xué)習(xí)習(xí)每一分分支時(shí)，注注意了橫橫向聯(lián)系系，把親親緣關(guān)系系結(jié)成一一張網(wǎng)，就就可覆蓋蓋全部內(nèi)內(nèi)容，使使之融會(huì)會(huì)貫通”，這里里所說的的橫向聯(lián)聯(lián)系，主主要是靠靠一題多多解來完完成的。通通過用不不同的方方法解決決同一道道數(shù)學(xué)題題，既可可以開拓拓解題思思路，鞏鞏固所學(xué)學(xué)知識；；又可激激發(fā)學(xué)習(xí)習(xí)數(shù)學(xué)的的興趣和和積極性性，達(dá)到到開發(fā)潛潛能，發(fā)發(fā)展智力力，提高高能力的的目的。從從而培養(yǎng)養(yǎng)創(chuàng)新精精神和創(chuàng)創(chuàng)造能力力。在一題多解解的訓(xùn)練練中，我我們要密密切注意意每種解解法的特特點(diǎn)，善善于發(fā)現(xiàn)現(xiàn)解題規(guī)規(guī)律，從從中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)最有意意義的簡簡捷解法法。數(shù)學(xué)思維的的開拓性性主要體體現(xiàn)在：：一題的多種種解法例如已已知復(fù)數(shù)數(shù)滿足，求求的最大大值。我們可以考考慮用下下面幾種種方法來來解決：：①運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)的代數(shù)數(shù)形式；；②運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)的三角角形式；；③運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)的幾何何意義；；④運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)模的性性質(zhì)（三三角不等等式）；；⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)的模與與共軛復(fù)復(fù)數(shù)的關(guān)關(guān)系；⑥（數(shù)形結(jié)結(jié)合）運(yùn)運(yùn)用復(fù)數(shù)數(shù)方程表表示的幾幾何圖形形，轉(zhuǎn)化化為兩圓圓與有公共共點(diǎn)時(shí)，的最大值。一題的多種種解釋例如，函數(shù)數(shù)式可以以有以下下幾種解解釋：①可以看成成自由落落體公式式②可以看成成動(dòng)能公公式③可以看成成熱量公公式又如“1”這個(gè)數(shù)數(shù)字，它它可以根根據(jù)具體體情況變變成各種種形式，使使解題變變得簡捷捷?！?”可以變變換為：：，等等等。思維訓(xùn)練實(shí)實(shí)例例1已已知求證證：分析1用比較較法。本本題只要要證為了了同時(shí)利利用兩個(gè)個(gè)已知條條件，只只需要觀觀察到兩兩式相加加等于22便不難難解決。證法1所以分析2運(yùn)用分分析法，從從所需證證明的不不等式出出發(fā)，運(yùn)運(yùn)用已知知的條件件、定理理和性質(zhì)質(zhì)等，得得出正確確的結(jié)論論。從而而證明原原結(jié)論正正確。分分析法其其本質(zhì)就就是尋找找命題成成立的充充分條件件。因此此，證明明過程必必須步步步可逆，并并注意書書寫規(guī)范范。證法2要證只只需證xM·yd圖4－2－1OxM·yd圖4－2－1O因?yàn)樗灾恍枳C證即因?yàn)樽詈蟮牡牟坏仁绞匠闪ⅲ仪也讲娇煽赡?。所所以原不不等式成成立。分?運(yùn)用綜綜合法（綜綜合運(yùn)用用不等式式的有關(guān)關(guān)性質(zhì)以以及重要要公式、定定理（主主要是平平均值不不等式）進(jìn)進(jìn)行推理理、運(yùn)算算，從而而達(dá)到證證明需求求證的不不等式成成立的方方法）證法3即分析4三角換換元法：：由于已已知條件件為兩數(shù)數(shù)平方和和等于11的形式式，符合合三角函函數(shù)同角角關(guān)系中中的平方方關(guān)系條條件，具具有進(jìn)行行三角代代換的可可能，從從而可以以把原不不等式中中的代數(shù)數(shù)運(yùn)算關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化化為三角角函數(shù)運(yùn)運(yùn)算關(guān)系系，給證證明帶來來方便。證法4可設(shè)設(shè)分析5數(shù)形結(jié)結(jié)合法：：由于條條件可看看作是以以原點(diǎn)為為圓心，半半徑為11的單位位圓，而而聯(lián)系到到點(diǎn)到直直線距離離公式，可可得下面面證法。證法5（如圖圖4-22-1）因因?yàn)橹本€線經(jīng)過圓的圓心OO，所以以圓上任任意一點(diǎn)點(diǎn)到直線的距距離都小小于或等等于圓半半徑1，即簡評五五種證法法都是具具有代表表性的基基本方法法，也都都是應(yīng)該該掌握的的重要方方法。除除了證法法4、證證法5的的方法有有適應(yīng)條條件的限限制這種種局限外外，前三三種證法法都是好好方法。可可在具體體應(yīng)用過過程中，根根據(jù)題目目的變化化的需要要適當(dāng)進(jìn)進(jìn)行選擇擇。例2如如果求證證：成等等差數(shù)列列。分析1要證，必必須有成成立才行行。此條條件應(yīng)從從已知條條件中得得出。故故此得到到直接的的想法是是展開已已知條件件去尋找找轉(zhuǎn)換。證法1故，即成等差差數(shù)列。分析2由于已已知條件件具有輪輪換對稱稱特點(diǎn)，此此特點(diǎn)的的充分利利用就是是以換元元去減少少原式中中的字母母，從而而給轉(zhuǎn)換換運(yùn)算帶帶來便利利。證法2設(shè)則于是，已知知條件可可化為：：所以成等差差數(shù)列。分析3已知條條件呈現(xiàn)現(xiàn)二次方方程判別別式的結(jié)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)點(diǎn)引人注注目，提提供了構(gòu)構(gòu)造一個(gè)個(gè)適合上上述條件件的二次次方程的的求解的的試探的的機(jī)會(huì)。證法3當(dāng)時(shí)，由由已知條條件知即即成等差差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，關(guān)于于的一元元二次方方程：其判別式故故方程有有等根，顯顯然＝11為方程程的一個(gè)個(gè)根，從從而方程程的兩根根均為11，由韋達(dá)定理理知即成等差差數(shù)列。簡評：證法法1是常常用方法法，略嫌嫌呆板，但但穩(wěn)妥可可靠。證證法2簡簡單明了了，是最最好的解解法，其其換元的的技巧有有較大的的參考價(jià)價(jià)值。證證法3引引入輔助助方程的的方法，技技巧性強(qiáng)強(qiáng)，給人人以新鮮鮮的感受受和啟發(fā)發(fā)。已知，求的的最小值值。分析1雖然所所求函數(shù)數(shù)的結(jié)構(gòu)構(gòu)式具有有兩個(gè)字字母，但但已知條條件恰有有的關(guān)系系式，可可用代入入法消掉掉一個(gè)字字母，從從而轉(zhuǎn)換換為普通通的二次次函數(shù)求求最值問問題。解法1設(shè)，則二次項(xiàng)系數(shù)數(shù)為故有最小小值。當(dāng)時(shí)，的最小值為為分析2已知的的一次式式兩邊平平方后與與所求的的二次式式有密切切關(guān)聯(lián)，于于是所求求的最小小值可由由等式轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換成不不等式而而求得。解法2即即當(dāng)且且僅當(dāng)時(shí)時(shí)取等號號。的最最小值為為分析3配方法法是解決決求最值值問題的的一種常常用手段段，利用用已知條條件結(jié)合合所求式式子，配配方后得得兩個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)平方方和的形形式，從從而達(dá)到到求最值值的目的的。解法3設(shè)當(dāng)時(shí)，即的最小小值為11Oxy圖4－2－2分析4因?yàn)橐岩阎獥l件件和所求求函數(shù)式式都具有有解析幾幾何常見見方程的的特點(diǎn)，故故可得到到用解析11Oxy圖4－2－2解法4如圖44－2－－2，表表示直線線表示原點(diǎn)到到直線上上的點(diǎn)的的距離的的平方。顯然其中以以原點(diǎn)到到直線的的距離最最短。此時(shí)，即所以的最小小值為注如果果設(shè)則問問題還可可轉(zhuǎn)化為為直線與與圓有交交點(diǎn)時(shí)，半半徑的最最小值。簡評幾幾種解法法都有特特點(diǎn)和代代表性。解解法1是是基本方方法，解解法2、33、4都都緊緊地地抓住題題設(shè)條件件的特點(diǎn)點(diǎn)，與相相關(guān)知識識聯(lián)系起起來，所所以具有有靈巧簡簡捷的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)，特特別是解解法4，形形象直觀觀，值得得效仿。設(shè)求證：分析1由已知知條件為為實(shí)數(shù)這這一特點(diǎn)點(diǎn)，可提提供設(shè)實(shí)實(shí)系數(shù)二二次方程程的可能能，在該該二次方方程有兩兩個(gè)虛根根的條件件下，它它們是一一對共軛軛虛根，運(yùn)運(yùn)用韋達(dá)達(dá)定理可可以探求求證題途途徑。證法1設(shè)當(dāng)時(shí)，可可得與條件不不合。于是有該方程有一一對共軛軛虛根，設(shè)設(shè)為，于于是又由韋達(dá)定定理知分析2由于實(shí)實(shí)數(shù)的共共軛復(fù)數(shù)數(shù)仍然是是這個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)，利利用這一一關(guān)系可可以建立立復(fù)數(shù)方方程，注注意到這這一重要要性質(zhì)，即即可求出出的值。證法2設(shè)當(dāng)時(shí)，可可得與條件不不合，則有，即但而即分析3因?yàn)閷?shí)實(shí)數(shù)的倒倒數(shù)仍為為實(shí)數(shù)，若若對原式式取倒數(shù)數(shù)，可變變換化簡簡為易于于進(jìn)行運(yùn)運(yùn)算的形形式。再再運(yùn)用共共軛復(fù)數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)，建立立復(fù)數(shù)方方程，具具有更加加簡捷的的特點(diǎn)。證法3即從而必有簡評設(shè)設(shè)出復(fù)數(shù)數(shù)的代數(shù)數(shù)形式或或三角形形式，代代入已知知條件化化簡求證證，一般般也能夠夠證明，它它是解決決復(fù)數(shù)問問題的基基本方法法。但這這些方法法通常運(yùn)運(yùn)算量大大，較繁繁?，F(xiàn)在在的三種種證法都都應(yīng)用復(fù)復(fù)數(shù)的性性質(zhì)去證證，技巧巧性較強(qiáng)強(qiáng)，思路路都建立立在方程程的觀點(diǎn)點(diǎn)上，這這是需要要體會(huì)的的關(guān)鍵之之處。證證法3利利用倒數(shù)數(shù)的變換換，十分分巧妙是是最好的的方法。例5由由圓外一一點(diǎn)引圓圓的割線線交圓于于兩點(diǎn)，求求弦的中中點(diǎn)的軌軌跡方程程。分析1（直接接法）根根據(jù)題設(shè)設(shè)條件列列出幾何何等式，運(yùn)運(yùn)用解析析幾何基基本公式式轉(zhuǎn)化為為代數(shù)等等式，從從而求出出曲線方方程。這這里考慮慮在圓中中有關(guān)弦弦中點(diǎn)的的一些性性質(zhì)，圓圓心和弦弦中點(diǎn)的的連線垂垂直于弦弦，可得得下面解解法。解法1如圖44－2－－3，設(shè)設(shè)弦的中中點(diǎn)的坐坐標(biāo)為，連連接，則，在中，由由兩點(diǎn)間間的距離離公式和和勾股定定理有整理，得其其中圖4－2－3PMBAOyx分析2（定義義法）根根據(jù)題設(shè)圖4－2－3PMBAOyx曲線類型，運(yùn)運(yùn)用待定定系數(shù)法法求出曲曲線方程程。解法2因?yàn)槭鞘堑闹悬c(diǎn)點(diǎn)，所以以，所以點(diǎn)的軌軌跡是以以為直徑徑的圓，圓圓心為,,半徑為該圓圓的方程程為：化簡，得其中中分析3（交軌軌法）將將問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為求求兩直線線的交點(diǎn)點(diǎn)軌跡問問題。因因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)點(diǎn)可看作作直線與與割線的的交點(diǎn)，而而由于它它們的垂垂直關(guān)系系，從而而獲得解解法。解法3設(shè)過點(diǎn)點(diǎn)的割線線的斜率率為則過過點(diǎn)的割割線方程程為：..且過原點(diǎn)，的方程為這兩條直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4（參數(shù)數(shù)法）將將動(dòng)點(diǎn)坐坐標(biāo)表示示成某一一中間變變量（參參數(shù)）的的函數(shù)，再再設(shè)法消消去參數(shù)數(shù)。由于于動(dòng)點(diǎn)隨隨直線的的斜率變變化而發(fā)發(fā)生變化化，所以以動(dòng)點(diǎn)的的坐標(biāo)是是直線斜斜率的函函數(shù)，從從而可得得如下解解法。解法4設(shè)過點(diǎn)點(diǎn)的割線線方程為為：它與圓的兩兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)為，的中點(diǎn)點(diǎn)為.解方程組利用韋達(dá)定定理和中中點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)公式，可可求得點(diǎn)點(diǎn)的軌跡跡方程為為：其中分析5（代點(diǎn)點(diǎn)法）根根據(jù)曲線線和方程程的對應(yīng)應(yīng)關(guān)系：：點(diǎn)在曲曲線上則則點(diǎn)的坐坐標(biāo)滿足足方程。設(shè)設(shè)而不求求，代點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)算。從從整體的的角度看看待問題題。這里里由于中中點(diǎn)的坐坐標(biāo)與兩兩交點(diǎn)通通過中點(diǎn)點(diǎn)公式聯(lián)聯(lián)系起來來，又點(diǎn)點(diǎn)構(gòu)成44點(diǎn)共線線的和諧諧關(guān)系，根根據(jù)它們們的斜率率相等，可可求得軌軌跡方程程。解法5設(shè)則兩式相