2022-2023學年新教材高中數(shù)學第四章對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)2對數(shù)的運算2.1對數(shù)的運算性質(zhì)2.2換底公式課件北師大版必修第一冊

2.1對數(shù)的運算性質(zhì)2.2換底公式第四章課標要求1.理解對數(shù)的運算性質(zhì),并能運用運算性質(zhì)化簡、求值.2.能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).3.能用對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式進行一些簡單的化簡和證明.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

對數(shù)的運算性質(zhì)

可以推廣到真數(shù)為有限多個正因數(shù)相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+)條件a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R性質(zhì)(1)loga(M·N)=logaM+logaN(2)loga=logaM-logaN(3)logaMb=blogaM名師點睛1.會用語言準確地敘述運算性質(zhì),如loga(M·N)=logaM+logaN敘述為“兩個正數(shù)乘積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)同底的對數(shù)之和”或“兩個正數(shù)同底的對數(shù)之和等于這兩個正數(shù)乘積的對數(shù)”.2.熟練掌握對數(shù)運算性質(zhì)的逆向使用:逆向應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì),可將幾個對數(shù)式化為一個對數(shù)式,有利于化簡求值.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)logaxy=logax+logay(a>0,且a≠1).(

)(2)log2(-4)2=2log2(-4).(

)(3)logaxy=logax·logay(a>0,且a≠1).(

)×××2.若MN>0,運算法則“l(fā)oga(MN)=logaM+logaN”還成立嗎?提示不一定成立.例如對于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),因為loga(-2)和loga(-3)沒有意義.知識點2

換底公式一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,則logab=.這個結(jié)論稱為對數(shù)的換底公式.名師點睛1.換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進行化簡、計算和證明.換底公式在實際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來確定,一般換成以10為底的常用對數(shù).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)√√√√×2.(多選題)下列等式正確的是(

)ABC重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】

計算下列各式的值:(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.規(guī)律方法

對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡、求值常用的方法

收將同底的兩個對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)拆將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差).對數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習慣.lg

2+lg

5=1在計算對數(shù)值時會經(jīng)常用到,同時注意各部分變形要化到最簡形式變式訓練1計算:探究點二換底公式的應(yīng)用【例2】

計算下列各式的值:(1)log89·log2732;規(guī)律方法

1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),解決一般對數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計算、化簡、求值的一般思路:變式訓練2計算:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).探究點三有附加條件的對數(shù)求值問題(2)設(shè)ax=by=cz=k(k>0,且k≠1).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴x=logak,y=logbk,z=logck.即logk(abc)=0.∴abc=1.規(guī)律方法

條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對已知條件和所求式子進行化簡轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對數(shù),以便利用對數(shù)的運算性質(zhì).要整體把握對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運用指數(shù)式與對數(shù)式互化進行解題.變式訓練3(1)解∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436.(2)證明設(shè)3x=4y=6z=m(m>0,且m≠1),則x=log3m,y=log4m,z=log6m.探究點四解對數(shù)方程【例4】

解下列方程:(1)lgx2-lg(x+2)=0;(2)lgx-lg3=2lg5-lg(x-10).所以x1=2,x2=-1.經(jīng)檢驗x1=2,x2=-1均為原方程的解.即x>10.又lg

x-lg

3=lg

25-lg(x-10),解得x=15或x=-5.經(jīng)檢驗x=15是原方程的解.規(guī)律方法

對數(shù)方程的類型與解法(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法為將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式f(x)=ab,解出x,注意檢驗.(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法為將對數(shù)式化為指數(shù)式[f(x)]b=n,解出x,注意檢驗.(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法為轉(zhuǎn)化為f(x)=φ(x)求解,注意檢驗.(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法為換元,令t=logax,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意檢驗.變式訓練4解下列方程:(1)log3(x2-10)=1+log3x;(2)lgx+2log(10x)x=2.原方程可化為log3(x2-10)=log33x.所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.檢驗知,方程的解為x=5.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用;(2)換底公式的應(yīng)用;(3)對數(shù)方程的求解.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū):要注意對數(shù)的運算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)形式及公式使用的條件.學以致用?隨堂檢測全達標1.log248-log23=(

)A.log244 B.2 C.4 D.-2答案C

2.log52·log425等于(

)A.-1 B. C.1 D.2答案C

答案B

解析

∵4a=9b=12,∴a=log412,b=log912,答案

2

5.已知方程x2+xlog26+log23=0的兩根為α和β,則α+β=

,答案

-log26

36

(2)(lg2)2+lg2·lg500+lg125.解(1)原式=log78-log79+