知識(shí)拓展：帶你走進(jìn)法向量

1、PAGE6帶你走進(jìn)法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量的有向線段所在的直線垂直于平面，那么稱向量垂直于平面，記作，此時(shí)，我們把向量叫做平面的法向量特別提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一個(gè)平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量是平面的一個(gè)法向量，向量與平面平行或在平面內(nèi)，則；（4）因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，所以，已知平面內(nèi)一點(diǎn)和平面的法向量，則這個(gè)平面是唯一確定的二、法向量求解步驟若要求出一個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解一般步驟：（1）設(shè)出平面的法向量為；（2）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)

2、，；（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于、的方程組；（4）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量（通常取其中一個(gè)未知數(shù)為或）三、用法向量可以解決的問(wèn)題1直線與平面成角直線與平面所成的角為，是直線的方向向量與平面的法向量的夾角（銳角）的余角，故有注意：求出直線的方向向量與平面的法向量的夾角（銳角）并不是直線與平面所成角，應(yīng)取其余角2平面與平面成角設(shè)，分別是二面角的面的法向量，則就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小且有注意：通過(guò)平面的法向量求二面角時(shí)，若二面角的兩個(gè)面的法向量、方向相反時(shí)，則二面角的大小等于，若兩個(gè)面的法向量、方向相同時(shí)，則二面角大小為3求點(diǎn)面距離點(diǎn)面距離的具體求解步驟是：（1）求出該平面

3、的一個(gè)法向量；（2）求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；（3）求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即得要求的點(diǎn)面距離其中設(shè)是直線上的一個(gè)單位方向向量，線段在上的投影是，則有，是求點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離問(wèn)題重要公式四、法向量的具體應(yīng)用例1如圖，四邊形是直角梯形，又，直線與直線ACBMACBMP（1）求證：平面平面；（2）求二面角余弦值的大小解：（1），又平面平面（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，建立空間直角坐標(biāo)系由題意有，設(shè)，則，由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得（正方向），平面的法向量取為（正方向），設(shè)與所成的角為，則，二面角的大小為的補(bǔ)角，

4、故二面角的余弦值的大小為評(píng)注：設(shè)，分別是二面角的面的法向量，則就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小何時(shí)就是二面角的平面角何時(shí)又是其補(bǔ)角資料上（包括高考試題的答案上）如是說(shuō)：由圖形不難（顯然）得出就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小，說(shuō)的含糊其辭，毫無(wú)判斷依據(jù)，讓同學(xué)們辨別不清，對(duì)結(jié)果的處理困惑不解，往往導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，走入了解題的一個(gè)個(gè)誤區(qū)為了讓同學(xué)們思維走入清淅化，能得到一個(gè)正確的結(jié)果在此介紹“穿入法”確定法向量的方向求解二面角所謂“穿入法”就是穿入二面角內(nèi)部的平面的法向量（如右圖所示）方向?yàn)檎较?，穿出二面角的平面的法向量方向?yàn)樨?fù)方向根據(jù)二面角的定義，只要取二面角兩個(gè)平面的法向量中的一個(gè)正方向，一個(gè)負(fù)方向，則兩法向量所夾角即為二面角的平面角，由公式便可輕松求出如果兩個(gè)法向量都取正方向（或負(fù)方向），則即為所求二面角的補(bǔ)角例2如圖，是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為已知，（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求二面角的大??；解：（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，易知，是平面的一個(gè)法向量因?yàn)?，平面，所以平面?），設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則則，得：取，（負(fù)方向）顯然，為平面的一個(gè)法向量（正方向）所以大小即為二面角的大小，而，所以二面角的大小是評(píng)注：用“穿入法”確定法向量方向求解二面角，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，淡化了傳統(tǒng)立體中