正整數(shù)乘法問題解題策略之研究

1、科學(xué)教育研究與發(fā)展第二十二期正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國(guó)小二年級(jí)學(xué)童為例PAGE 108PAGE 107正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國(guó)小二年級(jí)學(xué)童為例PAGE 1正整數(shù)乘法問題解題策略之研究以國(guó)小二年級(jí)學(xué)童為例 許美美華1 劉曼麗麗21臺(tái)南市安安慶國(guó)民民小學(xué)2屏東師範(fàn)範(fàn)學(xué)院數(shù)數(shù)理教育育研究所所（投稿日期期：900年1月6日日；修正正日期：90年11月199日；接接受日期期：900年2月6日日）摘要本研究目的的在探討討國(guó)小二二年級(jí)學(xué)學(xué)童正整整數(shù)乘法法問題的的解題策策略。研研究對(duì)象象來自南南部某國(guó)國(guó)小的55班學(xué)童童共1882人。評(píng)評(píng)量工具具為自編編的筆試試試卷。資資料蒐集集是以乘乘法教學(xué)學(xué)前

2、後各各兩次筆筆試為主主。資料料分析則則以文件件分析法法為主。研究結(jié)果發(fā)發(fā)現(xiàn)：國(guó)國(guó)小二年年級(jí)學(xué)童童常用的的乘法解解題策略略有100種、並並非所有有學(xué)童都都能在乘乘法教學(xué)學(xué)後改用用乘法、不不同類型型的乘法法問題（等等組型、直直積型與與比較型型問題）與與不同位位數(shù)的數(shù)數(shù)字（一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)、一位位數(shù)二位數(shù)數(shù)與二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)）對(duì)學(xué)學(xué)童的解解題都會(huì)會(huì)造成影影響。關(guān)鍵詞：正正整數(shù)乘乘法問題題、解題題策略、國(guó)國(guó)小二年年級(jí)學(xué)童童 HYPERLINK .科研季季刊目錄錄目目錄222.httm 回回22期期目錄 壹、研研究動(dòng)機(jī)機(jī)與目的的筆者從乘法法相關(guān)的的研究（李李俊仁，119922；林碧碧珍，119911；林

3、慧慧麗，119911；Annghiilerri, 19889; Kouuba, 19989; Muulliigann, 119922; MMullligaan & Miitchhelmmoree, 119977）與自自身的教教學(xué)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)童童正整數(shù)數(shù)乘法問問題的解解題策略略雖然很很多，但但是使用用情形會(huì)會(huì)因個(gè)別別差異而而有不同同，例如如，有些些學(xué)童會(huì)會(huì)使用一一些較節(jié)節(jié)省運(yùn)算算步驟的的過渡型型解法來來解決數(shù)數(shù)字超過過10的的乘法問問題，但但同時(shí)也也有學(xué)童童是以連連加法來來解決此此類問題題，更有有學(xué)童直直到乘法法啟蒙教教學(xué)後仍仍無法使使用乘法法來解題題。此外外，國(guó)內(nèi)內(nèi)的研究究大多以以國(guó)小中

4、中、高年年級(jí)學(xué)童童的乘、除除法概念念為研究究重點(diǎn)，較較缺乏對(duì)對(duì)低年級(jí)級(jí)剛接觸觸乘法的的學(xué)童進(jìn)進(jìn)行乘法法解題方方面的報(bào)報(bào)告，因因此本研研究以國(guó)國(guó)小二年年級(jí)學(xué)童童為對(duì)象象、以正正整數(shù)乘乘法問題題為範(fàn)圍圍，來探探討國(guó)小小二年級(jí)級(jí)學(xué)童在在乘法啟啟蒙教學(xué)學(xué)前、後後所使用用的解題題策略。同同時(shí)，由由於乘法法問題的的設(shè)計(jì)牽牽涉到問問題的類類型與數(shù)數(shù)字的大大小，所所以本研研究也會(huì)會(huì)連帶探探討這些些因素對(duì)對(duì)學(xué)童解解題的影影響，期期盼本研研究能讓讓國(guó)小數(shù)數(shù)學(xué)教師師更加了了解學(xué)童童的乘法法解題策策略，進(jìn)進(jìn)而對(duì)乘乘法教學(xué)學(xué)有所助助益。貳、文獻(xiàn)探探討一、乘法問問題解題題策略的的分類與與發(fā)展順順序Anghiilerri(

5、119899)按照照計(jì)數(shù)程程序的複複雜程度度，將1152位位學(xué)童的的乘法解解題策略略分成四四種：?jiǎn)螁我皇接?jì)計(jì)數(shù)（uunittaryy coounttingg）、節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（rrhytthmiic ccounntinng in grooupss）、數(shù)數(shù)字模式式（usse oof nnumbber pattterrn）和和乘法事事實(shí)的使使用（uuse of mulltippliccatiion faccts），並並在研究究結(jié)果中中發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童是從從單一式式計(jì)數(shù)、節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)，發(fā)發(fā)展到乘乘法事實(shí)實(shí)的使用用。Koubaa(19989) 從研研究中發(fā)發(fā)現(xiàn)，1128位位學(xué)童的的乘法文文字題解解題策略

6、略依據(jù)抽抽象程度度可分成成：直接接表徵法法（diirecct rreprreseentaatioon）、過過渡型數(shù)數(shù)數(shù)法（transitional counting）、加法（additive）和背誦乘法事實(shí)（recalled number fact），並從統(tǒng)計(jì)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，越低年級(jí)的學(xué)童使用的策略就越具體，因而策略的發(fā)展順序是從直接表徵法、過渡型數(shù)數(shù)法、加法，發(fā)展到背誦乘法事實(shí)。Mulliigann(19992) 從770位學(xué)學(xué)童長(zhǎng)達(dá)達(dá)二年的的訪談中中發(fā)現(xiàn)，乘乘法解題題策略的的表現(xiàn)層層次有三三：直接接表徵後後點(diǎn)數(shù)、無無直接表表徵之計(jì)計(jì)數(shù)或相相加、使使用已知知或?qū)С龀龅募臃ǚɑ虺朔ǚㄊ聦?shí)。此此外，

7、MMullligaan進(jìn)一一步將學(xué)學(xué)童所使使用的解解題策略略細(xì)分成成九種：全數(shù)（counting all）、雙倍數(shù)（double counting）、跳數(shù)（skip counting）、連加法（repeated addition）、重複相加（additive doubling）、折半相加（additive halving）、已知的加法事實(shí)（known addition fact）、已知的乘法事實(shí)（known multiplication fact）和導(dǎo)出的乘法事實(shí)（derived multiplication fact）。Mulliigann 和Mittcheelmoore(19997)按按照

8、計(jì)算算策略（也也稱為抽抽象程度度）將其其他研究究者所提提出的乘乘法解題題策略分分成五種種，並形形成發(fā)展展的順序序?yàn)橹苯咏佑?jì)數(shù)、節(jié)節(jié)奏式計(jì)計(jì)數(shù)、跳跳數(shù)、加加法式計(jì)計(jì)數(shù)和乘乘法式計(jì)計(jì)數(shù)。從從研究結(jié)結(jié)果（770位學(xué)學(xué)童的表表現(xiàn)）中中發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童的解解題策略略有七：?jiǎn)我皇绞接?jì)數(shù)（unitary counting）、向前節(jié)奏式數(shù)數(shù)（rhythmic counting forward）、向前跳數(shù)（skip counting forward）、連加（repeated addition）、重複相加（additive doubling）、已知的乘法事實(shí)（known multiplication fact）與導(dǎo)出

9、的乘法事實(shí)（derived multiplication fact）。林慧麗（119911）依抽抽象程度度將1220位幼幼兒的乘乘法解題題策略分分成六種種：直接接表徵法法、加法法、跳數(shù)數(shù)法、回回憶法、數(shù)數(shù)數(shù)法和和未知法法，並從從不同年年紀(jì)學(xué)童童的表現(xiàn)現(xiàn)中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，解題題策略的的發(fā)展順順序?yàn)橹敝苯颖磲玑绶?、?shù)數(shù)數(shù)法、跳跳數(shù)法、加加法和回回憶法（未未知法因因?qū)W童不不能清楚楚說明解解答產(chǎn)生生的歷程程，因而而無法決決定其發(fā)發(fā)展順序序）。由上面的說說明中可可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，不同同的研究究者所提提出的乘乘法解題題策略在在名稱上上有混用用的情形形，經(jīng)過過筆者分分析、歸歸納後發(fā)發(fā)現(xiàn)，已已經(jīng)被提提出說明明的乘法法解題策

10、策略有以以下111種（見見表2-1）：表2-1 乘法法解題策策略之分分類提出者解題策略Anghiilerri(19899)Koubaa(19899)Mulliigann(19922)Mulliigann & Mittcheelmoore(19997)林慧麗（民80）直接表徵法法單一式計(jì)數(shù)數(shù)（全數(shù)）雙倍數(shù)（向前節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)）跳數(shù)（節(jié)奏式式點(diǎn)數(shù)）（向前跳跳數(shù)）過渡型數(shù)數(shù)數(shù)法（數(shù)字模模式）（數(shù)數(shù)法法）連加法（加法）（加法）重複相加折半相加已知的加法法事實(shí)已知的乘法法事實(shí)（使用乘乘法事實(shí)實(shí)）（背誦乘乘法事實(shí)實(shí)）（回憶法法）導(dǎo)出的乘法法事實(shí)此外，雖然然本研究究並非以以學(xué)童乘乘法解題題策略的的發(fā)展為為研究

11、重重點(diǎn)，但但是學(xué)童童乘法解解題策略略的改變變，將不不可避免免的成為為資料分分析的重重點(diǎn)之一一。因此此，學(xué)童童乘法解解題策略略由直接接表徵、計(jì)計(jì)數(shù)、加加法而乘乘法的發(fā)發(fā)展順序序，將是是本研究究分析資資料與詮詮釋結(jié)果果的依據(jù)據(jù)之一。二、乘法問問題之情情境模式式從乘法啟蒙蒙教材中中發(fā)現(xiàn)，國(guó)國(guó)小二年年級(jí)乘法法教材的的範(fàn)圍是是正整數(shù)數(shù)乘法，且且大都以以文字題題的型式式呈現(xiàn)。依依據(jù)Grreerr（19992）所所提出之之乘除除問題的的情境模模式，正正整數(shù)乘乘法文字字題有以以下四種種：1. 等組組型問題題（eqquall grroupps）是是由一些些內(nèi)含有有相同個(gè)個(gè)數(shù)之物物體的集集合所構(gòu)構(gòu)成的情情境，等等

12、組情境境以不同同的方式式出現(xiàn)，有有些例子子是自然然重複的的情形（如如n個(gè)人有有5n根手手指頭）；重做一一連串的的動(dòng)作（如如一次走走3步，要要走4次）；和人們們的習(xí)慣慣，就如如同將相相同數(shù)目目的東西西給予一一些人（如如老師發(fā)發(fā)給4個(gè)小朋朋友，每每人5顆糖果果）。另另外一種種方式則則是比率率的乘法法（如每每個(gè)人有有4塊餅乾乾，3個(gè)人共共有幾塊塊餅乾？），33個(gè)人是是一個(gè)人人的3倍，所所以餅乾乾數(shù)也會(huì)會(huì)增為33倍。2. 直積積（Caarteesiaan pprodductt）是描描述一種種有序?qū)?duì)（orrderred paiir）關(guān)關(guān)係，每每一個(gè)有有序?qū)Χ级际怯梢灰粋€(gè)集合合的每一一個(gè)元素素與另一一個(gè)

13、集合合的所有有元素有有順序的的結(jié)合而而成。例例如在小明有有4件不同同顏色的的上衣和和5條不同同款式的的長(zhǎng)褲，可可以用來來搭配成成不同的的外出服服，請(qǐng)問問小明的的外出服服有幾種種不同的的搭配方方式？的問題題中，外出服服是由由上衣衣與長(zhǎng)褲二個(gè)集集合所合合成的。直直積問題題除了上上述的外外出服組組合問題題（新集集合是由由二個(gè)已已知集合合中的所所有元素素按照順順序所合合成的一一種問題題）之外外，還包包括陣列列問題（問問題中的的物件是是呈方陣陣排列的的一種乘乘法問題題）。例例如在牆上的的磁磚橫橫看有55列，直直看有66排，請(qǐng)請(qǐng)問牆上上共有幾幾塊磁磚磚？的的問題中中，可以以利用直直排的數(shù)數(shù)目乘以以橫列的的

14、數(shù)目來來求出圖圖中的總總數(shù)。3. 長(zhǎng)方方形面積積（reectaanguularr arrea）是是將長(zhǎng)方方形任一一邊和相相鄰一邊邊的長(zhǎng)度度相乘，也也可以把把長(zhǎng)方形形分割成成邊長(zhǎng)為為1公分的的正方形形，於是是，長(zhǎng)方方形面積積可以用用正方形形的個(gè)數(shù)數(shù)來計(jì)數(shù)數(shù)，這樣樣一個(gè)圖圖示與由由m行和n列所形形成的棋棋盤圖（也也就像上上述的陣陣列問題題）很類類似。例例如在長(zhǎng)4公尺，寬寬5公尺的的長(zhǎng)方形形，其面面積為多多少平方方公尺？的問問題中，可可以長(zhǎng)度度乘以寬寬度來求求得長(zhǎng)方方形的面面積，也也可以用用將長(zhǎng)分分成4個(gè)個(gè)1公尺尺、寬分分成5個(gè)個(gè)1公尺尺所構(gòu)成成的棋盤盤圖，來來求出面面積。在直積問題題和長(zhǎng)方方形面積

15、積問題的的運(yùn)算中中，上衣衣和長(zhǎng)褲褲、直排排的數(shù)目目和橫列列的數(shù)目目、長(zhǎng)和和寬、mm和n等二個(gè)個(gè)數(shù)字都都被視為為等價(jià)，也也就是說說，這二二個(gè)數(shù)字字都可以以是被乘乘數(shù)，而而不影響響其運(yùn)算算結(jié)果。在在本研究究中，因因?yàn)榭剂苛慷昙?jí)級(jí)學(xué)童能能力，長(zhǎng)長(zhǎng)方形面面積問題題將以棋棋盤圖的的形式呈呈現(xiàn)，其其運(yùn)算與與直積型型的陣列列問題一一樣，所所以將長(zhǎng)長(zhǎng)方形面面積問題題和直積積問題合合成一類類，稱為為直積型型乘法問問題。4. 比較較型乘法法（muultiipliicattivee coompaarisson）是是一種常常被以n倍是多多少？來敘述述的情境境，例如如，小小華的蘋蘋果是小小明的33倍，如如果小明明有4

16、個(gè)蘋果果，小華華有幾個(gè)個(gè)蘋果？乘法法因子（multiplicative factor，也就是3倍）則被視為是乘數(shù)。此種比較型問題牽涉到二個(gè)量：基準(zhǔn)量與比較量，而我們則是利用基準(zhǔn)量（小明的蘋果數(shù)）來求比較量（小華的蘋果數(shù)）。此外，比較型乘法問題也可以被視為是多與一的對(duì)應(yīng)（many-one correspondence），亦即小華的3個(gè)蘋果相當(dāng)於小明的1個(gè)蘋果。依據(jù)上述的的說明，筆筆者將正正整數(shù)乘乘法文字字題的類類型摘要要如圖22-1，並並以此分分類作為為設(shè)計(jì)筆筆試試卷卷的依據(jù)據(jù)之一。正整數(shù)乘法法文字題題等組型問題題 直積型型問題 比較較型問題題圖2-1 正整整數(shù)乘法法文字題題之分類類參、研究方方

17、法一、研究對(duì)對(duì)象由於時(shí)間和和精力的的限制，筆筆者只從從服務(wù)學(xué)學(xué)校內(nèi)二二年級(jí)的的13個(gè)個(gè)班級(jí)中中，隨機(jī)機(jī)選取55班，共共1822位學(xué)童童作為研研究對(duì)象象。這些些學(xué)童所所使用的的數(shù)學(xué)課課本是南南一版本本。二、研究工工具本研究以自自編的筆筆試試卷卷為工具具來蒐集集學(xué)童的的解題策策略。筆筆者在參參考國(guó)內(nèi)內(nèi)外相關(guān)關(guān)研究後後，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)乘法問問題的類類型相當(dāng)當(dāng)多，其其中有些些類型並並不適合合初學(xué)乘乘法的國(guó)國(guó)小學(xué)生生，又因因?yàn)槌朔ǚ▎⒚山探滩拇蠖级家哉麛?shù)的乘乘法文字字題呈現(xiàn)現(xiàn)，故試試題設(shè)計(jì)計(jì)以正整整數(shù)乘法法文字題題的分類類（見圖圖2-11）為主主，參考考數(shù)學(xué)課課本、習(xí)習(xí)作和教教學(xué)指引引，設(shè)計(jì)計(jì)相關(guān)的的乘法問

18、問題，先先形成試試卷初稿稿，再經(jīng)經(jīng)過二次次預(yù)試，才才發(fā)展成成正式試試卷。考考慮三類類問題在在教材中中的份量量（見附附註1），正正式筆試試試卷的的內(nèi)容包包括：等組型型乘法問問題112題、直積型型乘法問問題44題與比較型型乘法問問題66題，共共22題。此此外，考考量學(xué)童童正要接接受乘法法教學(xué)，不不宜處理理太多的的大數(shù)字字題，所所以222個(gè)題目目中包括括一位位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題144題、一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)4題題、二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)4題題。因試試卷內(nèi)容容太多，恐恐學(xué)童答答題費(fèi)時(shí)時(shí)過久，故故依問題題類型與與數(shù)字位位數(shù)再將將試題平平均分成成甲卷111題與與乙卷111題。筆試甲卷的的隔週重重測(cè)信度度（Peear

19、sson積積差相關(guān)關(guān)）為.8244，乙卷卷為.8850。至至於效度度方面，首首先依據(jù)據(jù)乘法教教材分析析和相關(guān)關(guān)文獻(xiàn)探探討，設(shè)設(shè)計(jì)乘法法問題，再再經(jīng)過二二次預(yù)試試，才發(fā)發(fā)展成正正式試題題。每次次預(yù)試的的結(jié)果都都與師院院教授和和國(guó)小老老師討論論，並將將討論的的意見作作為編選選及修正正試題的的依據(jù)。此此外，筆筆試試題題分類是是採(cǎi)取專專家效度度，邀請(qǐng)請(qǐng)數(shù)學(xué)教教育專家家和國(guó)小小二年級(jí)級(jí)數(shù)學(xué)教教師共118位填填寫效度度量表，以以確定各各種題目目所屬的的類別。分分析結(jié)果果是等組組型、直直積型與與比較型型三類問問題的效效度均介介於.889到1之間。另一方面，將將甲、乙乙兩卷稍稍作修改改，三類類乘法問問題的題題

20、數(shù)不予予改變，題題號(hào)順序序只略作作更改，而而三種數(shù)數(shù)字大小小不同問問題的題題數(shù)則重重新調(diào)整整，儘量量以平均均分配為為主，包包括一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題8題題、一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)6題題、二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)8題題，等學(xué)學(xué)童接受受第四冊(cè)冊(cè)全部單單元的乘乘法教學(xué)學(xué)後（共共3個(gè)單單元，教教學(xué)內(nèi)容容見附註註2），再再受測(cè)一一次。三、資料蒐蒐集與分分析本研究是要要求1882位學(xué)學(xué)童在乘乘法教學(xué)學(xué)前、後後都填寫寫甲、乙乙兩卷（先先填寫甲甲卷、一一日後再再填寫乙乙卷）。然然後以文文件分析析法（ddocuumennt aanallysiis）（吳吳明清，119911；歐用用生，119911）將學(xué)學(xué)童的解解題紀(jì)錄錄予以

21、歸歸類、分分析。在在本研究究中，文文件分析析的單位位是一題題，而分分析的類類別則是是以參考考表2-1和教教學(xué)指引引中相關(guān)關(guān)部分後後，整理理、歸納納出的113種學(xué)學(xué)童解題題策略為為依據(jù)，詳詳見表33-1。表3-1 學(xué)童童之乘法法解題策策略解題策略解 題題 紀(jì) 錄 （例題題：68）實(shí)物式直接接表徵 以花片或或教具呈呈現(xiàn)出題題目的意意義。圖畫式直接接表徵 0000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 或是 6 6 6 66 6 6 66 6 全數(shù) 1、2、33、4、55、6（暫暫停）；7、112（暫暫停）

22、；443、448跳數(shù) 6（1）、112（22）、118（33）、224（44）、330（55）、336（66）、442（77）、448（88） 或是 66、122、188、244、300、366、422、488連加法 6+6+6+66+6+6+66+6=48 或是 66+6=12，12+6=118，336+66=422，422+6=48兩兩相加法法 6+6=12，112+112+112+112=448 或是 66+6=12，12+12=24，24+12=36，36+12=48重複相加法法 6+6=12，12+12=24，24+24=48折半相加法法 6+6+6+66=244，244+244=4

23、88序列乘法 61=6，662=112，663=118，664=224，665=330，666=336，667=442，668=448直接乘法 68=48兩倍乘法 62=12，664=224，668=448重複乘法 62=12，1122=224，2242=448先乘再加法法（以4112=448為例例） 49=36，37、38、39、440，441、442、43、444，445、446、47、448 或是 449=36，36+4=440，40+4=444，44+4=448 或是49=336，36+4+44+4=48 或是 449=36，4+44+4=12，36+12=48肆、研究結(jié)結(jié)果與討討論一

24、、整體表表現(xiàn)將教學(xué)前、後後的筆試試資料依依據(jù)5個(gè)個(gè)不同的的班級(jí)甲甲、乙、丙丙、丁、戊戊（假名名）與學(xué)學(xué)童不同同的解題題方法，分分別整理理、分類類、統(tǒng)計(jì)計(jì)如表44-1。因因?yàn)樵诠P筆試中要要求學(xué)童童把想到到的解題題方法都都紀(jì)錄下下來，因因此下列列3個(gè)表表中的數(shù)數(shù)字代表表的是使使用各種種解題策策略的次次數(shù)，而而非人數(shù)數(shù)。表4-1 學(xué)童童教學(xué)前前、後使使用各種種解題策策略之次次數(shù)統(tǒng)計(jì)計(jì)表班級(jí)解題 使用策略 次數(shù)（）二年甲班二年乙班二年丙班二年丁班二年戊班總計(jì)圖畫式直接接表徵教學(xué)前30（5.9）74（166.3）29（7.4）91（166.9）41（8.7）265（111.22）教學(xué)後93（122.6）

25、35（6.3）52（100.4）17（2.2）27（3.8）224（66.8）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)、跳跳數(shù)）教學(xué)前30（5.9）29（6.4）32（8.1）45（8.4）24（5.1）160（66.8）教學(xué)後8（1.11）3（0.55）3（0.66）9（1.11）6（0.88）29（0.9）連加法教學(xué)前349（668.33）246（554.33）161（440.99）286（553.22）287（660.99）1329（556.11）教學(xué)後309（441.88）59（100.6）97（199.4）232（229.55）213（229.99）910（227.66）兩兩相加法法教學(xué)前37（7.2）

26、45（9.9）65（166.5）49（9.1）18（3.8）214（99.0）教學(xué)後4（0.55）24（4.3）18（3.6）22（2.8）4（0.66）72（2.2）重複相加法法教學(xué)前1（0.22）5（1.11）24（6.1）7（1.33）9（1.99）46（1.9）教學(xué)後010（1.8）1（0.22）15（1.9）026（0.8）分堆相加法法（含折半相相加法）教學(xué)前44（8.6）27（6.0）66（166.8）42（7.8）27（5.7）206（88.7）教學(xué)後4（0.55）3（0.55）6（1.22）2（0.33）14（2.0）29（0.9）直接乘法教學(xué)前20（3.9）27（6.0）17

27、（4.3）17（3.2）65（133.8）146（66.2）教學(xué)後309（441.88）400（772.11）265（553.00）478（660.77）433（660.77）1885（557.22）先乘再加法法教學(xué)前000000教學(xué)後8（1.11）2（0.44）5（1.00）4（0.55）9（1.33）28（0.9）接續(xù)乘法表表之序列乘法法教學(xué)前000000教學(xué)後3（0.44）02（0.44）005（0.22）二堆乘法教學(xué)前0001（0.22）01（0.004）教學(xué)後1（0.11）19（3.4）51（100.2）8（1.00）7（1.00）86（2.6）總計(jì)教學(xué)前51145339453847

28、12367教學(xué)後7395555007877133294從表4-11中發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，學(xué)童童的解題題策略包包括圖畫畫式直接接表徵、節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)、連連加法、兩兩兩相加加法、重重複相加加法、分分堆相加加法、直直接乘法法、先乘乘再加法法、接續(xù)續(xù)乘法表表之序列列乘法和和二堆乘乘法等110種，與與表3-1中所所呈現(xiàn)的的13種種稍有不不同，在在表4-1中並並沒有出出現(xiàn)實(shí)物物式直接接表徵、全全數(shù)、跳跳數(shù)、折折半相加加法、序序列乘法法、兩倍倍乘法、重重複乘法法等7種解題題策略，而而多出了了節(jié)奏式式數(shù)數(shù)、分分堆相加加法、接接續(xù)乘法法表之序序列乘法法、二堆堆乘法等等4種策略略。首先，實(shí)物物式直接接表徵並並未出現(xiàn)現(xiàn)，這可可

29、能是因因?yàn)楣P試試時(shí)沒有有可供操操作的物物品。再再者，因因?yàn)橛^察察不到學(xué)學(xué)童的計(jì)計(jì)數(shù)方式式，無法法知道僅僅有正確確答數(shù)卻卻無解題題紀(jì)錄的的方法是是全數(shù)或或跳數(shù)，因因而改以以節(jié)奏式式數(shù)數(shù)總總括之。筆筆試紀(jì)錄錄雖無出出現(xiàn)序列列乘法、兩兩倍乘法法、重複複乘法，但但卻出現(xiàn)現(xiàn)了以接接續(xù)乘法法表最後後一個(gè)算算式繼續(xù)續(xù)進(jìn)行的的序列乘乘法，例例如412，學(xué)學(xué)童以449=336、4410=40、4411=44、4412=48來來求得答答數(shù)。此此外，從從筆試紀(jì)紀(jì)錄中也也發(fā)現(xiàn)學(xué)學(xué)童在解解決問題題1袋袋有6個(gè)個(gè)蘋果，買買9袋有有幾個(gè)蘋蘋果？時(shí)，是是以分成成三堆的的方式6+66+6=18、66+6+6=118、66+6+

30、6=118、118+118+118=554來解解題，因因此將分分堆算好好之後再再加起來來的解法法稱為分堆相相加法，取代代僅分成成二堆的的折半相相加法。最最後，二二堆乘法法（將超超過9的的被乘數(shù)數(shù)或乘數(shù)數(shù)分成二二堆後，分分別乘出出再加起起來）也也是在本本研究發(fā)發(fā)現(xiàn)的另另一種解解題方法法，例如如512，學(xué)學(xué)童以559=445、553=115、445+115=660來解解題；或或是1338，學(xué)學(xué)童以998=772、448=332、772+332=1104來來求出答答數(shù)。經(jīng)由上述說說明後，筆筆者將本本研究受受試學(xué)童童實(shí)際所所使用的的10種解解題策略略與其紀(jì)紀(jì)錄方式式整理如如表4-2：表4-2 學(xué)童童使

31、用之之10種解解題策略略及紀(jì)錄錄方式解題策略解題紀(jì)錄（例例題：44122=488）圖畫式直接接表徵 00000 00000 00000 00000 00000 00000 000000 00000 00000 00000 00000 00000 或是 44 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 節(jié)奏式點(diǎn)數(shù)數(shù) 1、2、33、4（暫暫停）；5、6、7、8（暫停停）；445、46、47、448 或是4（11）、88（2）、112（3）、40（10）、44（11）、48（12） 或是4、8、12、16、20、24、228、32、36、40、44、448連加法 4+4+4+44+4+4+44+4+

32、4+44+4+4=448 或是4+4=88，8+44=122，12+4=116，36+4=440，40+4=44，44+4=448兩兩相加法法 4+4=8，8+88=166，16+8=224，24+8=332，32+8=440，40+8=448重複相加法法 4+4=8，8+88=166，16+16=32，32+16=48分堆相加法法 4+4+4+44=166，4+44+4+4=116，4+44+4+4=116，16+16+16=48直接乘法 4122=488先乘再加法法 49=36，37、38、39、440，441、442、43、444，445、446、47、448 或是49=336，36+4

33、=440，40+4=444，44+4=448 或是49=336，36+4+44+4=48 或是49=336，4+44+4=12，36+12=48接續(xù)乘法表表之序列列乘法 49=36，4110=440，4111=444，4112=448二堆乘法 49=36，433=122，36+12=48 或是94=336，344=122，36+12=48（以以124=448為例例）除了發(fā)現(xiàn)受受試學(xué)童童解題策策略與表表3-11不同之之外，從從表4-1中也也發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童在乘乘法啟蒙蒙教學(xué)前前最常用用的解題題策略是是連加法法，而且且不論班班級(jí)的差差異，每每一班的的學(xué)童都都是以連連加法為為主要的的解法（使使用率分分別

34、為甲甲班688.3、乙班班54.3、丙丙班400.9、丁班班53.2、戊戊班600.9）。若若統(tǒng)計(jì)以以加法為為主的各各種解題題策略（連連加法556.11、兩兩兩相加加法9.0、重重複相加加法1.9與與分堆相相加法88.7）後，發(fā)發(fā)現(xiàn)這些些加法策策略的被被使用率率高達(dá)775.77。相相對(duì)地，學(xué)學(xué)童在乘乘法啟蒙蒙教學(xué)後後所使用用的解題題策略主主要是直直接乘法法（使用用率為557.22），此此時(shí)除了了二年甲甲班（連連加法的的使用率率與直接接乘法一一樣，是是41.8）之之外，丙丙班（直直接乘法法的使用用率是553.00，連連加法是是19.4）、丁丁班（直直接乘法法是600.7，連加加法是229.55）

35、、戊戊班（直直接乘法法是600.7，連加加法是229.99）等等三班的的直接乘乘法使用用率均較較連加法法多出一一倍以上上，而乙乙班（直直接乘法法是722.1，連加加法是110.66）更更是多出出五倍以以上。對(duì)對(duì)照前後後，可知知大多數(shù)數(shù)的學(xué)童童對(duì)於的問問題在乘乘法教學(xué)學(xué)前，都都能自行行以+來解解決；而而在教學(xué)學(xué)後，能能改成以以來解解決。另另外有一一點(diǎn)值得得注意是是在乘法法教學(xué)後後，學(xué)童童使用加加法策略略（連加加法277.6、兩兩兩相加法法2.22、重重複相加加法0.8與與分堆相相加法00.9）的的比率仍仍高達(dá)331.55。進(jìn)進(jìn)一步分分析統(tǒng)計(jì)計(jì)後，發(fā)發(fā)現(xiàn)311.5學(xué)童中中僅用加加法策略略來解題題的

36、有221.77，此此證據(jù)顯顯示教學(xué)學(xué)後仍有有二成多多的學(xué)童童無法以以乘法來來解決乘乘法問題題。二、問題類類型將學(xué)童在教教學(xué)前、後後，對(duì)三三種不同同類型的的乘法問問題所使使用的解解題策略略，整理理、統(tǒng)計(jì)計(jì)如表44-3：表4-3 學(xué)童童教學(xué)前前、後使使用各種種解題策策略來解解決3類類乘法問問題之次次數(shù)統(tǒng)計(jì)計(jì)表問題類型解題 使用策略 次次數(shù)（）等組型問題直積型問題比較型問題總計(jì)圖畫式直接接表徵教學(xué)前148（111.33）15（3.2）102（117.66）265（111.22）教學(xué)後143（77.3）7（1.11）74（100.6）224（66.8）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)、跳跳數(shù)）教學(xué)前83（6.3）

37、32（6.7）45（7.8）160（66.8）教學(xué)後14（0.7）6（0.99）9（1.33）29（0.9）連加法教學(xué)前734（555.99）277（558.33）318（555.00）1329（556.11）教學(xué)後529（227.00）131（220.66）250（335.99）910（227.66）兩兩相加法法教學(xué)前136（110.44）28（5.9）50（8.7）214（99.0）教學(xué)後37（1.9）10（1.6）25（3.6）72（2.2）重複相加法法教學(xué)前39（3.0）4（0.88）3（0.55）46（1.9）教學(xué)後18（0.9）4（0.66）4（0.66）26（0.8）分堆相加法法

38、（含折半相相加法）教學(xué)前96（7.3）94（199.8）16（2.8）206（88.7）教學(xué)後10（0.5）12（1.9）7（1.00）29（0.9）直接乘法教學(xué)前77（5.9）25（5.3）44（7.6）146（66.2）教學(xué)後1143（58.3）434（668.11）308（444.33）1885（557.22）先乘再加法法教學(xué)前0000教學(xué)後16（0.8）10（1.6）2（0.33）28（0.9）接續(xù)乘法表表之序列乘法法教學(xué)前0000教學(xué)後2（0.11）2（0.33）1（0.11）5（0.22）二堆乘法教學(xué)前1（0.008）001（0.004）教學(xué)後49（2.5）21（3.3）16（2.

39、3）86（2.6）總計(jì)教學(xué)前13144755782367教學(xué)後19616376963294從表4-33中可知知，學(xué)童童在教學(xué)學(xué)前都是是以連加加法為主主（等組組型555.9，直積積型588.3，比較較型555.0）來解解決三種種不同類類型的乘乘法問題題，而其其他解題題策略在在不同乘乘法問題題上的被被使用率率順序則則各有不不同。學(xué)學(xué)童在解解決等等組型問問題時(shí)時(shí)，除了了連加法法，其他他策略的的使用多多寡分別別是：圖圖畫式直直接表徵徵（111.3）、兩兩兩相加加法（110.44）、分分堆相加加法（77.3）、節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（66.3）與直直接乘法法（5.9）；而在直積型型問題中，則則是分堆堆相加法法（

40、199.8）、節(jié)節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（66.7）、兩兩兩相加加法（55.9）與直直接乘法法（5.3）；在比比較型問問題中中是圖畫畫式直接接表徵（17.6）、兩兩相加法（8.7）、節(jié)奏式數(shù)數(shù)（7.8）與直接乘法（7.6）。在教學(xué)後，學(xué)學(xué)童主要要以直接接乘法（等等組型558.33，直直積型668.11，比比較型444.33）來來解決三三種不同同類型的的乘法問問題，連連加法次次之（等等組型227.00、直直積型220.66、比比較型335.99），而而其他解解題策略略在不同同乘法問問題上的的被使用用率順序序也各有有不同。學(xué)學(xué)童在解解決等等組型問問題時(shí)時(shí)，除了了直接乘乘法與連連加法，其其他策略略的使用用多寡分

41、分別是：圖畫式式直接表表徵（77.3）與二二堆乘法法（2.5）；在直直積型問問題中中是二堆堆乘法（3.3）；在比較型問題中則是圖畫式直接表徵（10.6）、兩兩相加法（3.6）與二堆乘法（2.3）。進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)計(jì)分析後後，筆者者還發(fā)現(xiàn)現(xiàn)學(xué)童在在教學(xué)後後僅以連連加法來來解決比較型型問題的比率率仍高達(dá)達(dá)28.4（335.9中中僅用連連加法解解題的），這這可能是是與學(xué)童童較不了了解比比較型問問題的的題意（南南一版的的乘法教教材中幾幾乎沒有有出現(xiàn)比較型型問題，見附附註2）有關(guān)關(guān)。由此此可推知知，當(dāng)學(xué)學(xué)童不了了解乘法法問題的的題意時(shí)時(shí)，會(huì)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而使用用熟悉的的解法（例例如連加加法）來來解題，因因而解題題策略會(huì)

42、會(huì)隨著學(xué)學(xué)童對(duì)題題意的了了解與否否而有不不同。三、數(shù)字大大小將學(xué)童在三三種數(shù)字字大小不不同（依依位數(shù)分分類）的的問題上上所使用用的各種種解題策策略整理理統(tǒng)計(jì)如如表4-4：表4-4 學(xué)童童教學(xué)前前、後使使用各種種解題策策略來解解決數(shù)字字大小不不同問題題之次數(shù)數(shù)統(tǒng)計(jì)表表數(shù)字大小解題 使用策略 次次數(shù)（）一位數(shù)一位數(shù)一位數(shù)二位數(shù)二位數(shù)一位數(shù)總計(jì)圖畫式直接接表徵教學(xué)前170（110.99）61（155.8）34（8.2）265（111.22）教學(xué)後64（4.7）52（5.4）108（111.11）224（66.8）節(jié)奏式數(shù)數(shù)數(shù)（含全數(shù)、跳跳數(shù)）教學(xué)前79（5.0）23（6.0）58（133.9）160

43、（66.8）教學(xué)後12（0.9）9（0.99）8（0.88）29（0.9）連加法教學(xué)前882（556.44）195（550.66）252（660.44）1329（556.11）教學(xué)後249（118.22）243（225.44）418（443.00）910（227.66）兩兩相加法法教學(xué)前157（110.00）14（3.6）43（100.3）214（99.0）教學(xué)後17（1.2）17（1.8）38（3.9）72（2.2）重複相加法法教學(xué)前25（1.6）21（5.5）046（1.9）教學(xué)後11（0.8）13（1.4）2（0.22）26（0.8）分堆相加法法（含折半相相加法）教學(xué)前141（99.0）

44、47（122.2）18（4.3）206（88.7）教學(xué)後5（0.44）15（1.6）9（0.99）29（0.9）直接乘法教學(xué)前111（77.1）23（6.0）12（2.9）146（66.2）教學(xué)後993（772.77）513（553.66）379（339.00）1885（557.22）先乘再加法法教學(xué)前0000教學(xué)後8（0.66）20（2.1）028（0.9）接續(xù)乘法表表之序列乘法法教學(xué)前0000教學(xué)後4（0.33）1（0.11）05（0.22）二堆乘法教學(xué)前01（0.33）01（0.004）教學(xué)後3（0.22）74（7.7）9（0.99）86（2.6）總計(jì)教學(xué)前15653854172367教

45、學(xué)後13669579713294從表4-44中可以以發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童在教教學(xué)前是是以連加加法為主主（一位位數(shù)一位數(shù)數(shù)56.4，一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)50.6，二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)60.4）來來解決三三種數(shù)字字範(fàn)圍不不同的問問題，而而其他解解題策略略在數(shù)字字大小不不同問題題上的被被使用率率順序則則各有不不同。學(xué)學(xué)童在解解決一一位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題時(shí)，除除了連加加法，其其他策略略的使用用多寡分分別是：圖畫式式直接表表徵（110.99）、兩兩兩相加加法（110.00）、分分堆相加加法（99.0）、直直接乘法法（7.1）與與節(jié)奏式式數(shù)數(shù)（5.0）；在一位數(shù)二位數(shù)的問題上，則是圖畫式直接表徵（15.8）、分堆相加法（1

46、2.2）、節(jié)奏式數(shù)數(shù)（6.0）、直接乘法（6.0）與重複相加法（5.5）；而在二位數(shù)一位數(shù)問題，是節(jié)奏式數(shù)數(shù)（13.9）、兩兩相加法（10.3）與圖畫式直接表徵（8.2）。在教學(xué)後，數(shù)數(shù)字位數(shù)數(shù)大小對(duì)對(duì)學(xué)童選選用何種種解題策策略的影影響較大大，在一位數(shù)數(shù)一位數(shù)數(shù)與一位數(shù)數(shù)二位數(shù)數(shù)的問問題上，學(xué)學(xué)童是以以直接乘乘法為主主（使用用率分別別是722.7與533.6）來解解題，而而連加法法次之（使使用率是是18.2與與25.4），但但是對(duì)於於二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題，則則是以連連加法為為主（使使用率443.00），直直接乘法法次之（使使用率339.00）。而而其他解解題策略略的使用用多寡分分別是：在一

47、一位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題中是圖圖畫式直直接表徵徵（4.7）；在一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)問題題中是二二堆乘法法（7.7）與與圖畫式式直接表表徵（55.4）；在在二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)的問問題，則則是圖畫畫式直接接表徵（11.1）與兩兩相加法（3.9）。除此之外，筆筆者也發(fā)發(fā)現(xiàn)學(xué)童童在教學(xué)學(xué)後解決決二位位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題時(shí)，使使用連加加法的比比率（443.00）與與直接乘乘法（339.00）相相差不多多；而且且無論是是教學(xué)前前或教學(xué)學(xué)後，學(xué)學(xué)童都未未曾使用用先乘再再加法與與接續(xù)乘乘法表之之序列乘乘法來解解決二二位數(shù)一位數(shù)數(shù)問題題，這可可能是學(xué)學(xué)童無法法查到被被乘數(shù)超超過9的乘法法表所致致（在筆筆試中，學(xué)學(xué)童可以以查

48、閱九九九乘法法表）。另另外，在在教學(xué)後後學(xué)童較較常使用用二堆乘乘法來解解決一一位數(shù)二位數(shù)數(shù)的問問題，這這可能是是使用其其他解題題策略所所花時(shí)間間太長(zhǎng)，因因而學(xué)童童開始求求變，尋尋找計(jì)算算次數(shù)較較少的解解題策略略。伍、結(jié)論與與建議一、結(jié)論1. 學(xué)童童正整數(shù)數(shù)乘法解解題策略略有100種：經(jīng)經(jīng)過文獻(xiàn)獻(xiàn)資料與與筆試資資料的分分析後，發(fā)發(fā)現(xiàn)國(guó)小小二年級(jí)級(jí)學(xué)童正正確的解解題策略略有圖畫畫式直接接表徵、節(jié)節(jié)奏式點(diǎn)點(diǎn)數(shù)、連連加法、兩兩兩相加加法、重重複相加加法、分分堆相加加法、直直接乘法法、先乘乘再加法法、接續(xù)續(xù)乘法表表之序列列乘法和和二堆乘乘法等110種（紀(jì)紀(jì)錄方式式詳見表表4-22）。2. 並非非所有的的

49、學(xué)童都都能在教教學(xué)後轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而使用用乘法來來解題：從多位位研究者者（林慧慧麗，119911；Annghiilerri, 19889; Kouuba, 19989; Muulliigann, 119922; MMullligaan & Miitchhelmmoree, 119977）的研研究結(jié)果果中，可可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)學(xué)童所所使用的的乘法解解題策略略會(huì)隨著著年齡與與學(xué)習(xí)而而由具體體到抽象象，由加加法到乘乘法，但但是較難難肯定學(xué)學(xué)童何時(shí)時(shí)能從具具體轉(zhuǎn)而而抽象，從從加法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而乘法法（Cllarkk & Kammii, 19996）。在在本研究究中也發(fā)發(fā)現(xiàn)，即即使經(jīng)過過3個(gè)單元元的乘法法教學(xué)，仍仍有二成成多的學(xué)

50、學(xué)童無法法以乘法法來解決決乘法問問題。3. 問題題類型和和數(shù)字大大小會(huì)影影響學(xué)童童解題策策略的選選用：不不同的問問題類型型因?yàn)閷W(xué)學(xué)童對(duì)題題意的了了解與否否，而對(duì)對(duì)學(xué)童選選用何種種解題策策略造成成了影響響，也就就是學(xué)童童在面對(duì)對(duì)三種不不同類型型的問題題時(shí)，所所使用的的解題紀(jì)紀(jì)錄不同同，例如如學(xué)童使使用兩兩兩相加法法和連加加法來解解決等等組型問問題的的次數(shù)較較多；學(xué)學(xué)童常以以直接乘乘法來解解決直直積型問問題；對(duì)於比較型型問題則較常常使用圖圖畫來輔輔助解題題。數(shù)字字大小對(duì)對(duì)於學(xué)童童解決乘乘法問題題的影響響是解題題策略的的改變，當(dāng)當(dāng)學(xué)童需需要計(jì)算算很多次次的時(shí)候候（例如如一位位數(shù)二位數(shù)數(shù)問題題），學(xué)學(xué)

51、童開始始嘗試縮縮減計(jì)算算行為的的次數(shù)，因因而產(chǎn)生生不同的的解題策策略。二、建議1. 對(duì)教教師的建建議：從從資料中中可以發(fā)發(fā)現(xiàn)，不不同類型型與數(shù)字字大小不不同的乘乘法問題題對(duì)學(xué)童童的解法法產(chǎn)生了了影響，因因此教師師在教學(xué)學(xué)過程中中可以利利用各種種類型或或數(shù)字大大小不同同的乘法法問題來來幫助學(xué)學(xué)童增加加解題策策略的種種類與了了解乘法法的意義義。此外外，並非非所有學(xué)學(xué)童都能能在乘法法教學(xué)後後改用乘乘法，所所以教師師應(yīng)該多多給學(xué)童童一些等待時(shí)時(shí)間，不不要要求求所有學(xué)學(xué)童都要要馬上使使用乘法法來解題題。2. 對(duì)教教材設(shè)計(jì)計(jì)的建議議：從本本研究中中發(fā)現(xiàn)，學(xué)學(xué)童即使使在乘法法教學(xué)前前也能解解決直直積型問問題

52、（陣陣列問題題與棋盤盤圖式的的長(zhǎng)方形形面積問問題），因因此，教教材設(shè)計(jì)計(jì)可以考考慮將陣陣列問題題與棋盤盤圖式的的長(zhǎng)方形形面積問問題包括括進(jìn)去或或增加此此類問題題的題數(shù)數(shù)，以提提供學(xué)童童多樣的的學(xué)習(xí)情情境。此此外，學(xué)學(xué)童對(duì)於於被乘數(shù)數(shù)或乘數(shù)數(shù)超過110，甚甚至是超超過122的問題題，都能能正確的的解決，因因此教材材中可以以增加被被乘數(shù)或或乘數(shù)超超過100的問題題，因?yàn)闉閷W(xué)童在在面對(duì)非非例行性性問題時(shí)時(shí)，會(huì)多多加思考考，以激激出各種種較經(jīng)濟(jì)濟(jì)的解題題方法，由由此似乎乎可提昇昇學(xué)童解解題的品品質(zhì)。3. 對(duì)往往後研究究的建議議：因?yàn)闉楣P試僅僅能蒐集集到學(xué)童童表面上上的、總總結(jié)性的的資料，無無法深入入了

53、解學(xué)學(xué)童在解解題過程程中的思思考。學(xué)學(xué)童會(huì)用用乘號(hào)來來紀(jì)錄、會(huì)會(huì)查乘法法表，就就表示他他已經(jīng)理理解乘法法的意義義了嗎？因此，探探索學(xué)童童解題紀(jì)紀(jì)錄與解解題思考考之間的的關(guān)係可可以作為為後續(xù)研研究的主主題。參考文獻(xiàn)吳明清（119911）：教教育研究究：基本本觀念與與方法之之分析。臺(tái)臺(tái)北：五五南。李俊仁（119922）：一一位數(shù)乘乘法答題題策略發(fā)發(fā)展之研研究。國(guó)國(guó)立中正正大學(xué)心心理學(xué)研研究所碩碩士論文文（未出出版）。林碧珍（119911）：國(guó)國(guó)小兒童童對(duì)於乘乘除法應(yīng)應(yīng)用問題題之認(rèn)知知結(jié)構(gòu)。國(guó)立新竹師範(fàn)學(xué)院學(xué)報(bào)，5，221-288。林慧麗（119911）：幼幼兒解答答乘除問問題的策策略。國(guó)國(guó)立臺(tái)灣灣

54、大學(xué)心心理研究究所碩士士論文（未未出版）。歐用生（119911）：內(nèi)內(nèi)容分析析法。載載於黃光光雄、簡(jiǎn)簡(jiǎn)茂發(fā)主主編：教教育研究究法（2299-2554頁）。臺(tái)臺(tái)北：師師大書苑苑。Anghiilerri, J. (19989). AAn iinveestiigattionn off yooungg chhilddrenns unddersstanndinng oof mmulttipllicaatioon. Eduucattionnal Stuudiees iin MMathhemaaticcs, 20, 3667-3385. Greerr, BB. (19992). Muultiipliicat

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