拓展資料：解排列組合應用題的21種策略

1、PAGE13解排列組合應用題的21種策略目錄TOCo1-3hu解排列組合應用題的21種策略PAGEREF_Toc7h11相鄰問題捆綁法:PAGEREF_Toc8h22相離問題插空排:PAGEREF_Toc9h23定序問題縮倍法:PAGEREF_Toc0h34標號排位問題分步法:PAGEREF_Toc1h35有序分配問題逐分法:PAGEREF_Toc2h46全員分配問題分組法:PAGEREF_Toc3h47名額分配問題隔板法:PAGEREF_Toc4h58限制條件的分配問題分類法:PAGEREF_Toc5h59多元問題分類法：PAGEREF_Toc6h610交叉問題集合法：PAGEREF_Toc

2、7h711定位問題優(yōu)先法：PAGEREF_Toc8h712多排問題單排法:PAGEREF_Toc9h813“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:PAGEREF_Toc0h814選排問題先取后排:PAGEREF_Toc1h915部分合條件問題排除法:PAGEREF_Toc2h916圓排問題單排法:PAGEREF_Toc3h1017可重復的排列求冪法:PAGEREF_Toc4h1118復雜排列組合問題構造模型法:PAGEREF_Toc5h1119元素個數較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:PAGEREF_Toc6h1220復雜的排列組合問題也可用分解與合成法:PAGEREF_Toc7h1221利

3、用對應思想轉化法:PAGEREF_Toc8h13排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應用題的解題策略1相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列例1五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數有（）A、60種B、48種C、36種D、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種，答案：2相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾

4、個元素插入上述幾個元素的空位和兩端例2七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數是種，選3定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法例3五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數是（）A、24種B、60種C、90種D、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半，即種，選4標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入

5、，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有331=9種填法，選5有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法例5（1）有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是（）A、1260種B、2025種C、252

6、0種D、5040種解析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有種，選（2）12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（）A、種B、種C、種D、種答案：6全員分配問題分組法:例6（1）4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送方案有多少種解析：把四名學生分成3組有種方法，再把三組學生分配到三所學校有種，故共有種方法說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配（2）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（

7、）A、480種B、240種C、120種D、96種答案：7名額分配問題隔板法:例7：10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種8限制條件的分配問題分類法:例8某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派

8、遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法所以共有不同的派遣方法總數為種9多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結果要求分成不相容的幾類情況分別計數，最后總計例9（1）由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種解析：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選（2）從1，2，3，100這100個

9、數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法（不計順序）共有多少種解析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數組成的集合視為全集I,能被7整除的數的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種（3）從1，2，3，100這100個數中任取兩個數，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種解析：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數集；能被4除余1的數集，能被4除余2的數集，能被4除余3的數集，易見這四個集合中每一個有25個元

10、素；從中任取兩個數符合要；從中各取一個數也符合要求；從中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種10交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式例10從6名運動員中選出4人參加4100米解析：設全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：種11定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種解析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上

11、有種方法；所以共有種。12多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。例12（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法13“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:

12、例13從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選14選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法例14（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中

13、每次排3個有種，故共有種（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現在要進行混合雙打訓練，有多少種不同的分組方法解析：先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習有中排法，故共有種15部分合條件問題排除法:在選取的總數中，只有一部分合條件，可以從總數中減去不符合條件數，即為所求例15（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構成四面體，所以四面體實際共有個（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）A、150種B

14、、147種C、144種D、141種解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個所以四點不共面的情況的種數是種16圓排問題單排法:把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉后可以重合，故認為相同，n個元素的圓排列數有種因此可將某個元素固定展成單排，其它的n-

15、1元素全排列例對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法17可重復的排列求冪法:允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數有種方法例17把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計

16、數原理知共有種不同方案18復雜排列組合問題構造模型法:例18馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種解析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決19元素個數較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例19設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號

17、碼相同，問有多少種不同的方法解析：從5個球中取出2個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數為種20復雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例20（1）30030能被多少個不同偶數整除解析：先把30030分解成質因數的形式：30030=23571113；依題意偶因數2必取，3，5，7，11，13這5個因數中任取若干個組成成積，所有的偶因數為個（2）正方體8個頂點可連成多少隊異面直線解析：因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構成的四面體有個，所以8個頂點可連成的異面直線有358=174對21利用對應思想轉化法:對應思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復雜的問題轉化為簡單問題處理例21（1）圓周上有10