知識點撥：統(tǒng)計案例中的數(shù)學(xué)思想

1、PAGE7統(tǒng)計案例中的基本思想及應(yīng)用通過對統(tǒng)計中典型案例的研究和討論，我們可以提煉出許多基本思想方法，并體驗這些基本思想方法在解決實際問題中的應(yīng)用一、獨立性檢驗思想在日常生活中，經(jīng)常會面臨一些需要推斷的問題在對這些問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷得出結(jié)論，需要通過試驗來收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨立性檢驗的原理作出合理的推斷，這就是獨立性檢驗的基本思想依據(jù)這一基本思想，我們可以考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度其基本步驟是：考察需抽樣調(diào)查的背景問題，確定所涉及的變量是否為兩個分類變量；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作22列聯(lián)表；計算統(tǒng)計量，并查表分析例1為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲對

2、產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響，現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量監(jiān)督員甲在現(xiàn)場時，990件產(chǎn)品中有合格品982件、次品8件；甲不在現(xiàn)場時，510件產(chǎn)品中有合格品493件、次品17件畫出列聯(lián)表并用獨立性檢驗的方法對數(shù)據(jù)進行分析解：可得22列聯(lián)表如下：正品數(shù)次品數(shù)總計甲在現(xiàn)場9828990甲不在現(xiàn)場49317510總計1475251500由22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算所以約有的把握認為“質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系”二、回歸分析思想回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的常用方法采用回歸分析基本思想，解決實際問題的基本步驟如下：明確對象；畫散點圖；選擇模型，即通過觀察分析散點圖確定回歸方程的類型，如果觀察到

3、數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程；估算方程，即按一定的規(guī)則估計回歸方程的參數(shù)，如最小二乘法原理；線性相關(guān)程度的判定，即通過樣本相關(guān)系數(shù)的大小作出判斷：；越接近于，線性相關(guān)程度越強；越接近于，線性相關(guān)程度越弱例2想象一下一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)的散點圖，這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸來分析下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm10111213141516（1）用樣本相關(guān)系數(shù)判定年齡和身高之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系求出與之間的回歸直線方程；（2）如果年齡相差5歲，則身高有多大差異（316歲之間）（3

4、）如果身高相差20cm，其年齡相差多少解：（1）已知樣本相關(guān)系數(shù)公式為代入數(shù)據(jù)可得，表明有的把握認為“與之間具有線性相關(guān)關(guān)系”設(shè)年齡與身高之間的回歸直線方程為，由公式，所以；（2）如果年齡相差5歲，則預(yù)報變量變化，即身高相差約；（3）如果身高相差20cm，年齡相差（歲）三、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，通過數(shù)與形（以形助數(shù)、以數(shù)釋形）的雙向聯(lián)系與溝通來處理數(shù)學(xué)問題，達到化抽象為直觀、化難為易的目的在統(tǒng)計案例中數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的較為充分，主要表現(xiàn)在：在回歸分析中，常把數(shù)據(jù)用散點圖表示出來通過散點圖，直觀地了解兩個變量的相關(guān)關(guān)系，進而構(gòu)建回歸模型，利用模型進一步

5、刻畫變量間的關(guān)系，并進行相應(yīng)的預(yù)測在直觀地展示兩個變量的相關(guān)關(guān)系方面，散點圖具有特別重要的作用例3某商場經(jīng)營一批進價為元/臺的小商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價（元）與日銷售量（臺）之間有如下關(guān)系：銷售單價/元35404550日銷售量/元57422712（1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程；（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為元，根據(jù)（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售價為多少元時，能獲得最大日銷售利潤解：（1）作出散點圖如右圖所示，并從圖中可以看出，這些點大致分布在一條直線附近，因此可判斷兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)回歸直線方程為，則由公式易求得，所以；（

6、2）依題意有，當(dāng)時，有最大值，即預(yù)測銷售單價為元時，能獲得最大日銷售利潤四、化歸轉(zhuǎn)化思想化歸轉(zhuǎn)化思想是指把待解決的問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種思維方式，在數(shù)學(xué)中是應(yīng)用最為廣泛的一種思維形式可以說數(shù)學(xué)解題就是轉(zhuǎn)化問題每一個數(shù)學(xué)問題無不是在不斷地轉(zhuǎn)化中獲得解決的在統(tǒng)計案例中，對兩個具有非線性關(guān)系的變量進行回歸分析時，常通過變量變換的方法，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題來解決，充分體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想例4在試驗中得到變量與的數(shù)據(jù)如下：由經(jīng)驗知，與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求與之間的回歸曲線方程；當(dāng)時，預(yù)測的值分析：通過換元轉(zhuǎn)化為線性回歸問題解：令，由題目所給數(shù)據(jù)可得下表所示的數(shù)據(jù)：序號1225591239001681123045合計計算得，故所求回歸曲線方程為，當(dāng)時，點評：非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，此時我們可以由已知