知識(shí)點(diǎn)撥：統(tǒng)計(jì)案例中的數(shù)學(xué)思想

1、PAGE7統(tǒng)計(jì)案例中的基本思想及應(yīng)用通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)中典型案例的研究和討論，我們可以提煉出許多基本思想方法，并體驗(yàn)這些基本思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用一、獨(dú)立性檢驗(yàn)思想在日常生活中，經(jīng)常會(huì)面臨一些需要推斷的問(wèn)題在對(duì)這些問(wèn)題作出推斷時(shí)，我們不能僅憑主觀臆斷得出結(jié)論，需要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理作出合理的推斷，這就是獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想依據(jù)這一基本思想，我們可以考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度其基本步驟是：考察需抽樣調(diào)查的背景問(wèn)題，確定所涉及的變量是否為兩個(gè)分類變量；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作22列聯(lián)表；計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并查表分析例1為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲對(duì)

2、產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無(wú)影響，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量監(jiān)督員甲在現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件、次品8件；甲不在現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件、次品17件畫出列聯(lián)表并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析解：可得22列聯(lián)表如下：正品數(shù)次品數(shù)總計(jì)甲在現(xiàn)場(chǎng)9828990甲不在現(xiàn)場(chǎng)49317510總計(jì)1475251500由22列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算所以約有的把握認(rèn)為“質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系”二、回歸分析思想回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的常用方法采用回歸分析基本思想，解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：明確對(duì)象；畫散點(diǎn)圖；選擇模型，即通過(guò)觀察分析散點(diǎn)圖確定回歸方程的類型，如果觀察到

3、數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程；估算方程，即按一定的規(guī)則估計(jì)回歸方程的參數(shù)，如最小二乘法原理；線性相關(guān)程度的判定，即通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)的大小作出判斷：；越接近于，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；越接近于，線性相關(guān)程度越弱例2想象一下一個(gè)人從出生到死亡，在每個(gè)生日都測(cè)量身高，并作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)將不會(huì)落在一條直線上，但在一段時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)有時(shí)可以用線性回歸來(lái)分析下表是一位母親給兒子作的成長(zhǎng)記錄：年齡/周歲3456789身高/cm10111213141516（1）用樣本相關(guān)系數(shù)判定年齡和身高之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系求出與之間的回歸直線方程；（2）如果年齡相差5歲，則身高有多大差異（316歲之間）（3

4、）如果身高相差20cm，其年齡相差多少解：（1）已知樣本相關(guān)系數(shù)公式為代入數(shù)據(jù)可得，表明有的把握認(rèn)為“與之間具有線性相關(guān)關(guān)系”設(shè)年齡與身高之間的回歸直線方程為，由公式，所以；（2）如果年齡相差5歲，則預(yù)報(bào)變量變化，即身高相差約；（3）如果身高相差20cm，年齡相差（歲）三、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)與形（以形助數(shù)、以數(shù)釋形）的雙向聯(lián)系與溝通來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到化抽象為直觀、化難為易的目的在統(tǒng)計(jì)案例中數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的較為充分，主要表現(xiàn)在：在回歸分析中，常把數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來(lái)通過(guò)散點(diǎn)圖，直觀地了解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建回歸模型，利用模型進(jìn)一步

5、刻畫變量間的關(guān)系，并進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)測(cè)在直觀地展示兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系方面，散點(diǎn)圖具有特別重要的作用例3某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)銷售中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)（元）與日銷售量（臺(tái)）之間有如下關(guān)系：銷售單價(jià)/元35404550日銷售量/元57422712（1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程；（2）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售價(jià)為多少元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn)解：（1）作出散點(diǎn)圖如右圖所示，并從圖中可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此可判斷兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)回歸直線方程為，則由公式易求得，所以；（

6、2）依題意有，當(dāng)時(shí)，有最大值，即預(yù)測(cè)銷售單價(jià)為元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn)四、化歸轉(zhuǎn)化思想化歸轉(zhuǎn)化思想是指把待解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種思維方式，在數(shù)學(xué)中是應(yīng)用最為廣泛的一種思維形式可以說(shuō)數(shù)學(xué)解題就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)不是在不斷地轉(zhuǎn)化中獲得解決的在統(tǒng)計(jì)案例中，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的變量進(jìn)行回歸分析時(shí)，常通過(guò)變量變換的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題來(lái)解決，充分體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想例4在試驗(yàn)中得到變量與的數(shù)據(jù)如下：由經(jīng)驗(yàn)知，與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求與之間的回歸曲線方程；當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值分析：通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題解：令，由題目所給數(shù)據(jù)可得下表所示的數(shù)據(jù)：序號(hào)1225591239001681123045合計(jì)計(jì)算得，故所求回歸曲線方程為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，此時(shí)我們可以由已知