學(xué)法點(diǎn)撥：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、PAGE5命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學(xué)法點(diǎn)撥一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、初步理解命題的概念、命題的構(gòu)成、四種命題及其關(guān)系，會(huì)判斷一個(gè)命題是真命題還是假命題并掌握通過證明一個(gè)命題個(gè)的逆否命題為真命題來間接證明為真命題的證明方法，及通過證明一個(gè)命題的逆命題的真假來判定其否命題真假的方法2、準(zhǔn)確地運(yùn)用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，體會(huì)到邏輯用語在表述和論證中的作用3、初步理解充分條件、必要條件及充要條件的概念，掌握充分條件、必要條件與充要條件的判斷方法二、學(xué)法指導(dǎo)1、判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要理解命題的結(jié)構(gòu)，然后要聯(lián)系其他有關(guān)的知識(shí)來判定，特別要注意聯(lián)想有關(guān)的定義、性質(zhì)、公式，而不是通過邏輯知識(shí)本身2、理解一個(gè)

2、命題與其他三個(gè)命題的真假關(guān)系，注意正確區(qū)分否命題與命題的否定，掌握反正法證明命題的步驟和適用題型3、學(xué)習(xí)充要條件要注意與前面有關(guān)邏輯初步知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系，充分條件、必要條件、充要條件主要是與判斷“若則”形式的命題真假相關(guān)的，在理解這些概念時(shí)注意結(jié)合具體實(shí)例三、知識(shí)點(diǎn)全解1、命題定義我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題例如“127”；“3是15的約數(shù)”；“是整數(shù)”，都是命題，其中是真的，叫做真命題；是假的，叫做假命題應(yīng)該注意：1并不是任何語句都是命題，只有那些能判斷真假的語句才是命題一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句都不是

3、命題，如：“三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎”“但愿每一個(gè)二次方程都有二個(gè)實(shí)根”“對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象真漂亮!”等，都不是命題；2在數(shù)學(xué)或其他科學(xué)技術(shù)中，還有一類陳述句也經(jīng)常出現(xiàn)，如：“每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”歌德巴赫猜想，“在2022年前，將有人登上火星”等，雖然日前還不能確定這些語句的真假，但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與時(shí)間的推移，總能確定它們的真假，人們把這一類猜想仍算為命題2、命題的結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中，具有“若則”這種形式的命題是常見的我們把這種形式的命題中的叫做命題的條件，叫做命題的結(jié)論數(shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若，則”的形式，但是把它的表述作適當(dāng)改變，也可以寫成“若則”的形式例如“當(dāng)時(shí)，”

4、可以寫成“若則”3、四種命題一般地，用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和分別表示和的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若則；逆命題：若則；否命題：若則；逆否命題：若則關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以這樣表述:1交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題例如：同位角相等，兩條直線平行它的逆命題是：兩條直線平行，同位角相等2同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題如上例中的否命題是：同位角不相等，兩條直線不平行3交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題如上例中的逆否命題是：兩條直線不平行，同位角不相等4、四種命題之間的關(guān)系互逆命題、互否命題與互為逆否命題都是說兩個(gè)命

5、題的關(guān)系，把其中一個(gè)命題叫做原命題時(shí)，另一個(gè)命題就叫做原命題的逆命題、否命題或逆否命題四種命題之間的相互關(guān)系，如圖所示，我們已經(jīng)知道，原命題為真，它的否命題不一定為真一般地，一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有三條關(guān)系1原命題為真，它的逆命題不一定為真2原命題為真，它的否命題不一定為真3原命題為真，它的逆否命題一定為真由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此這四種命題的真假性之間的關(guān)系為：1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系5、間接證明有關(guān)問題由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以我們?cè)谥苯幼C叫某一個(gè)命題有困難時(shí)，可以通過證明它

6、的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題6、充分條件、必要條件、充要條件充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系從邏輯推理關(guān)系上看：1若，但，則是的充分而不必要條件；2若，但，則是的必要而不充分條件；3若，且或且，則是的充要條件；4若，且，則既不是的充分條件也不是的必要條件對(duì)充要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義實(shí)質(zhì)：若，則是的充分條件，所謂“充分”，即要使成立，有成立足夠了；若，則是的必要條件，所謂“必要”，即是成立的必不可少的條件，缺其不可!例如：“學(xué)生”是“中學(xué)生”的必要條件，而“中學(xué)生”是“學(xué)生”的充分條件從集合與集合之間關(guān)系上看:1若，則A是B的充分條件;2若，則A是B的必要條件；3若，則A是B的充要條件；4若且，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件7、應(yīng)用充分條件、必要條件、充要條件時(shí)需注意的問題：（1）充分而不必要條件，必要而不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件反映了條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)；確定條件是什么，結(jié)論是什么；嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；確定條件是結(jié)論的什么條件；要證明命題的條件是充要的，就是既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立證明原命題即證明條件的充分性，證明