(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第1章§1.3《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》(含詳解)

1、1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考試要求1.掌握等式性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用知識梳理1兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法作差法eq blcrc (avs4alco1(ab0ab，,ab0ab，,ab0abbb，bcac；性質(zhì)3可加性：abacbc；性質(zhì)4可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；性質(zhì)6同向同正可乘性：ab0，cd0acbd；性質(zhì)7同正可乘方性：ab0anbn(nN，n2)常用結(jié)論1若ab0，且abeq f(1,a)b0，m0eq f(b,a)a0，m0eq f(b,a)eq f(bm,am).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊?/p>

2、或“”)(1)兩個實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有ab，ab，a1，則ba.()(3)若xy，則x2y2.()(4)若eq f(1,a)eq f(1,b)，則ba0，cR，則下列不等式中正確的是()A SKIPIF 1 eq f(1,b)C.eq f(a2,b2)eq f(a,b) Dac3bc3答案ABC解析因?yàn)閥 SKIPIF 1 0 在(0，)上單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 eq f(1,b)，B正確；因?yàn)閑q f(a2,b2)eq f(a,b)eq f(2ba,b2b)0，所以eq f(a2,b2)eq f(a,b)，C正確；當(dāng)c0時，ac3bc3，所以D不正確2已知Mx23x，N3x2x

3、3，則M，N的大小關(guān)系是_答案MN解析MN(x23x)(3x2x3)4x24x3(2x1)220，MN.3已知1a2，3b5，則a2b的取值范圍是_答案(7,12)解析3b5，62b10，又1a2，7a2b12.題型一比較兩個數(shù)(式)的大小例1(1)若a0，b0，則peq f(b2,a)eq f(a2,b)與qab的大小關(guān)系為()Apq Dpq答案B解析pqeq f(b2,a)eq f(a2,b)abeq f(b2a2,a)eq f(a2b2,b)(b2a2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(b2a2ba,ab)eq f(ba2ba,ab)，因?yàn)閍0，

4、b0，所以ab0.若ab，則pq0，故pq；若ab，則pq0，故pbc BcabCcba Dacb答案C解析a55a，即eq f(ln a,a)eq f(ln 5,5)，b44b，即eq f(ln b,b)eq f(ln 4,4)，c33c，即eq f(ln c,c)eq f(ln 3,3)，設(shè)f(x)eq f(ln x,x)，則f(a)f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)，f(x)eq f(1ln x,x2)(x0)，當(dāng)xe時，f(x)0，f(x)eq f(ln x,x)單調(diào)遞減，當(dāng)0 x0，f(x)eq f(ln x,x)單調(diào)遞增，因?yàn)閍，b，c(0,3)，f(a)f(5)，f(b

5、)f(4)，f(c)f(3)，所以a，b，c(0，e)，因?yàn)閒(5)f(4)f(3)，所以f(a)f(b)f(c)，abN解析方法一MNeq f(e2 0211,e2 0221)eq f(e2 0221,e2 0231)eq f(e2 0211e2 0231e2 02212,e2 0221e2 0231)eq f(e2 021e2 0232e2 022,e2 0221e2 0231)eq f(e2 021e12,e2 0221e2 0231)0.MN.方法二令f(x)eq f(ex1,ex11)eq f(f(1,e)ex111f(1,e),ex11)eq f(1,e)eq f(1f(1,e),

6、ex11)，顯然f(x)是R上的減函數(shù)，f(2 021)f(2 022)，即MN.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：作差；變形；定號；得出結(jié)論(2)作商法：作商；變形；判斷商與1的大小關(guān)系；得出結(jié)論(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小跟蹤訓(xùn)練1(1)已知0aN BMNCMN D不能確定答案A解析0a0,1b0,1ab0.MNeq f(1a,1a)eq f(1b,1b)eq f(21ab,1a1b)0，MN.(2)ee與ee的大小關(guān)系為_答案eeee解析eq f(ee,ee)eq f(ee,e)eq blc(rc)(avs4alco1(f(e,)e，又0eq f(e,)1,0e1，eq

7、 blc(rc)(avs4alco1(f(e,)e1，即eq f(ee,ee)1，即eeb，則ac2bc2B若ab0，則a2abab0，則eq f(a,ca)bc0，則eq f(a,b)eq f(ac,bc)答案D解析對于A選項(xiàng)，當(dāng)c0時，顯然不成立，故A選項(xiàng)為假命題；對于B選項(xiàng)，當(dāng)a3，b2時，滿足ab0，但不滿足a2abeq f(b,cb)eq f(1,2)，故C選項(xiàng)為假命題；對于D選項(xiàng)，由于abc0，所以eq f(a,b)eq f(ac,bc)eq f(abcbac,bbc)eq f(acbc,bbc)eq f(abc,bbc)0，即eq f(a,b)eq f(ac,bc)，故D選項(xiàng)為真

8、命題(2)(多選)若eq f(1,a)eq f(1,b)0，則下列不等式正確的是()A.eq f(1,ab)0Caeq f(1,a)beq f(1,b) Dln a2ln b2答案AC解析由eq f(1,a)eq f(1,b)0，可知ba0.A中，因?yàn)閍b0，所以eq f(1,ab)0.故有eq f(1,ab)eq f(1,ab)，即A正確；B中，因?yàn)閎aa0.故b|a|，即|a|b0，故B錯誤；C中，因?yàn)閎a0，又eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,b)0，所以aeq f(1,a)beq f(1,b)，故C正確；D中，因?yàn)閎aa20，而yln x在定義域(0，)上單調(diào)遞增，所以

9、ln b2ln a2，故D錯誤教師備選若a，b，cR，ab，則下列不等式恒成立的是()A.eq f(1,a)b2Ca|c|b|c| D.eq f(a,c21)eq f(b,c21)答案D解析對于A，若a0b，則eq f(1,a)eq f(1,b)，故A錯誤；對于B，取a1，b2，則a20，又ab，所以eq f(a,c21)eq f(b,c21)，故D正確思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗(yàn)證(2)利用特殊值法排除錯誤選項(xiàng)(3)作差法(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022珠海模擬)已知a，bR，滿足ab0，ab，則()A.eq f(1,a)0Ca2b2 D

10、a|b|答案C解析因?yàn)閍bb，則a0，b0，eq f(1,b)0，A不正確；eq f(b,a)0，eq f(a,b)0，則eq f(b,a)eq f(a,b)0，即ab0，則a2(b)2，a2b2，C正確；由ab0得a|b|，D不正確(2)(多選)設(shè)ab1c0，下列四個結(jié)論正確的是()A.eq f(1,ac)eq f(1,bc)BbacabcC(1c)aloga(bc)答案CD解析由題意知，ab1c0，所以對于A，acbc0，故eq f(1,ac)eq f(1,bc)，所以A錯誤；對于B，取a3，b2，ceq f(1,2)，則bac2eq r(3)，abc3eq r(2)，所以bacabc，故

11、B錯誤；對于C，因?yàn)?1cb，所以(1c)abc1，所以logb(ac)logb(bc)loga(bc)，故D正確題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)已知1x4,2y3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_答案(4,2)(1,18)解析1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.延伸探究若將本例(1)中條件改為1xy4,2xy3，求3x2y的取值范圍解設(shè)3x2ym(xy)n(xy)，則eq blcrc (avs4alco1(mn3，,mn2，)eq blcrc (avs4alco1(mf(5,2)，,nf(1,2).)即3x2yeq f(

12、5,2)(xy)eq f(1,2)(xy)，又1xy4,2xy3，eq f(5,2)eq f(5,2)(xy)10,1eq f(1,2)(xy)eq f(3,2)，eq f(3,2)eq f(5,2)(xy)eq f(1,2)(xy)eq f(23,2)，即eq f(3,2)3x2yeq f(23,2)，3x2y的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(23,2).(2)已知3a8,4b9，則eq f(a,b)的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，2)解析4b9，eq f(1,9)eq f(1,b)eq f(1,4)，又3a8，

13、eq f(1,9)3eq f(a,b)eq f(1,4)8，即eq f(1,3)eq f(a,b)2.教師備選已知0eq f(,2)，則的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)解析0eq f(,2)，eq f(,2)0，又0eq f(,2)，eq f(,2)eq f(,2)，又0，即0bc,2abc0，則eq f(c,a)的取值范圍是()A3eq f(c,a)1 B1eq f(c,a)eq f(1,3)C2eq f(c,a)1 D1eq f(c,a)bc,2abc0，所以a0，cbc，所以2acc，解得eq f(c,a)3，將b2ac代入bc中，得2acc，即

14、ac，得eq f(c,a)1，所以3eq f(c,a)1.(2)已知1ab3，則ab的取值范圍是_，eq f(a,b)的取值范圍是_答案(2,0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)解析1b3，3b1，又1a3，2ab2，又ab，ab0，2ab0，又eq f(1,3)eq f(1,b)eq f(1,a)，eq f(a,3)eq f(a,b)eq f(1,3)，eq f(1,3)eq f(a,b)0，b0，Meq r(ab)，Neq r(a)eq r(b)，則M與N的大小關(guān)系為()AMNBMNCMNDM，N大小關(guān)系不確定答案B解析M2N2(ab)(ab2eq r(ab)2

15、eq r(ab)0，MN.2已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足ab，則下列命題成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC.eq f(1,ab2)eq f(1,a2b) D.eq f(b,a)eq f(a,b)答案C解析若abb2，故A不成立；若eq blcrc (avs4alco1(ab0，,ab，)則a2beq f(a,b)，故D不成立，由不等式的性質(zhì)知，C正確3已知3a2,3b4，則eq f(a2,b)的取值范圍為()A(1,3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(9,4)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(3,4) D.eq blc(rc)(a

16、vs4alco1(f(1,2)，1)答案A解析因?yàn)?a2，所以a2(4,9)，而3b1，mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系是()Anmp BmpnCmnp Dpmn答案B解析由a1知，a212a(a1)20，即a212a，而2a(a1)a10，即2aa1，a212aa1，而ylogax在定義域上單調(diào)遞增，mpn.5(2022杭州模擬)若eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)b0B2ba1Ceq f(1,a)eq f(1,b)Dlogcalogcb(c0且c1)答案C解析指數(shù)

17、函數(shù)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x在(，)上單調(diào)遞減，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)bb0.所以eq f(1,a)eq f(1,b)，故C正確；ab0，但不一定有ab1，則不一定有l(wèi)n(ab)0，故A錯誤；函數(shù)y2x在(，)上單調(diào)遞增，ba0.則2ba201，故B錯誤；當(dāng)0c1時，函數(shù)ylogcx在(0，)上單調(diào)遞減，則logcayz，xyz0，則下列不等式不成立的是()Axyyz BxyxzCxzyz Dx|y|y|z答案ACD解析因?yàn)閤yz，xyz0，所以x0，z0z，若y0，則x

18、y0z，x0，所以xyxz，故B正確；對于C，因?yàn)閤y，z0，所以xzz，當(dāng)|y|0時，x|y|y|z，故D錯誤7(多選)設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且ab0cd，則下列不等式正確的有()Ac2cd BacbdCacbd D.eq f(c,a)eq f(d,b)0答案AD解析因?yàn)閍b0cd，所以ab0,0cd，對于A，因?yàn)?cd，由不等式的性質(zhì)可得c2b0，dc0，則adeq f(d,b)，故eq f(c,a)eq f(d,b)0，故選項(xiàng)D正確8(多選)若0ac1，則()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,c)a1 B.eq f(ca,ba)eq f(c,b)Cca1ba1 Dl

19、ogcac1，eq f(b,c)1.0aeq blc(rc)(avs4alco1(f(b,c)01，故選項(xiàng)A正確；對于B，若eq f(ca,ba)eq f(c,b)，則bcabbcac，即a(cb)0，這與0ac1矛盾，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，0a1，a1c1，ca1ba1，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，0ac1，logca”“解析MNx2y2z22x2y2z(x1)2(y1)2(z1)2330，故MN.10(2022煙臺模擬)若eq f(1,a)eq f(1,b)0，已知下列不等式：ab|b|；a2.其中正確的不等式的序號為_答案解析因?yàn)閑q f(1,a)eq f(1,b)0，所以ba0，故錯誤；所以

20、ab0ab，故正確；所以|a|0，eq f(a,b)0且均不為1，eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(b,a)eq f(a,b)1時，等號成立，所以eq f(b,a)eq f(a,b)2，故正確11若0ab，且ab1，則將a，b，eq f(1,2)，2ab，a2b2從小到大排列為_答案a2abeq f(1,2)a2b2b解析方法一令aeq f(1,3)，beq f(2,3)，則2abeq f(4,9)，a2b2eq f(1,9)eq f(4,9)eq f(5,9)，故a2abeq f(1,2)a2b2b.方法二0ab且ab1，aeq f(1,2)b1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a2eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2eq f(1,2)eq f(1,2)，即a2ab1eq f(1,2)eq f(1,2)，即a2b2eq f(1,2).eq f(1,2)b1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)0，即a2b2b，綜上可知a2abeq f(1,2)a2b2b.12(2022上海模擬)