初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答第18講圓的基本性質(zhì)

1、第十八講圓的基本性質(zhì)到定點(圓心)等于定長(半徑)的點的會集叫圓，圓常被人們看作是最圓滿的事物，圓的圖形在人類進度中打下深深的烙印圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關的基本看法與關系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對稱性，圓既是一個軸對稱圖形，又是一中心對稱圖形用圓的基本性質(zhì)解題應注意：1熟練運用垂徑定理及推論進行計算和證明；2認識弧的特色及中介作用；3善于促成同圓或等圓中不同樣樣名稱等量關系的轉(zhuǎn)變熟悉以下基本圖形、基本結論：【例題求解】【例1】在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為3和2，則BAC度數(shù)為作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同樣樣的地址關系注：由圓的對稱性可引出

2、好多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個，它溝通了線段、角與圓弧的關系，應用的一般方法是構造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識結合起來圓是一個對稱圖形，注意圓的對稱性，可提高解與圓相關問題周密性【例2】如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其圓滿覆蓋的圓的最小半徑為()5A2B5CD5172416思路點撥所作最小圓圓心應在對稱軸上，且最小圓應盡可能經(jīng)過圓形的某些極點，經(jīng)過設未知數(shù)求解1【例3】如圖，已知點A、B、C、D依次在O上，AB=BD，BMAC于M，求證：AM=DC+CM思路點撥用截長(截AM)或補短(延長DC)證明，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段相等的證明，證題的要點是促進不

3、同樣樣量的互相變換并打破它【例4】如圖甲，O的直徑為AB，過半徑OA的中點G作弦CEAB，在CB上取一點D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點F，M求COA和FDM的度數(shù)；求證：FDMCOM；(3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點，點D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點F、M，試判斷：此時可否有FDMCOM?證明你的結論思路點撥(1)在RtCOG中，利用OG=1OA=1OC；(2)證明COM=FDM，CMO=22FMD；(3)利用圖甲的啟示思慮注：善于促成同圓或等圓中不同樣樣名稱的互相轉(zhuǎn)變是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來，認識到圓可為解與

4、直線形問題供應新的解題思路，而在解與圓相關問題常常用到直線形的知識與方法(主若是指全等與相似)【例5】已知：在ABC中，AD為BAC的均分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且B=CAE，EF：FD4：3求證：AFDF；求AED的余弦值；若是BD10，求ABC的面積證明ADEDAE；(2)作ANBE于N，cosAEDEN，設FE=4x，F(xiàn)DAE3x，利用相關知識把相關線段用x的代數(shù)式表示；(3)搜尋相似三角形，運用比率線段求出x的值2注：本例的解答，需運用相似三角形、等腰三角形的判斷、面積方法、代數(shù)化等知識方法思想，綜合運用直線形相關知識方法思想是

5、解與圓相關問題的要點學歷訓練1D是半徑為5cm的O內(nèi)一點，且OD3cm，則過點D的所有弦中，最小弦AB=2閱讀下面資料：關于平面圖形A，若是存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋關于平面圖形A，若是存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋比方：圖甲中的三角形被一個圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個圓所覆蓋回答以下問題：(1)邊長為lcm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(2)邊長為lcm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm；(3)長為2c

6、m，寬為lcm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是cm(2003年南京市中考題)3世界上因為有了圓的圖案，萬物才顯得富饒活力，以下來自現(xiàn)實生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與友善，這正是因為圓擁有軸對稱和中心對稱性(1)請問以下三個圖形中是軸對稱圖形的有，是中心對稱圖形的有(分別用下面三個圖的代號a，b，c填空)(2)請你在下面的兩個圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復的圖案(草圖)(用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能正確些，雅觀些)a是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形b既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形4如圖，AB是O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD8cm，那么A、B兩點到直線C

7、D的距離之和為()A12cmB10cmC8cmD6cm35一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB8，則弓形的高CD為()A2B5C3D16236如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，若是AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關系是（）AAB+CDEFBAB+CD=FCAB+CDAC，D為BAC的中點，DEABAC17將三塊邊長均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑最少是多5少?(不考慮其他因素，精確到01cm)18如圖，直徑為13的O，經(jīng)過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB(OAOB)的長分別是方程x2kx600的兩根

8、(1)求線段OA、OB的長；2(2)已知點C在劣弧OA上，連結BC交OA于D，當OC=CDCB時，求C點坐標；在O，上可否存在點P，使SPOD=SABD?若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明原由6參照答案7第十九講轉(zhuǎn)變靈便的圓中角角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線地址關系、運用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特色，恩賜角極強的活性，使得角能靈便地互相轉(zhuǎn)變依照圓心角與圓周角的倍半關系，可實現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)變；由同弧或等弧所對的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變極點在圓上的地址進行研究；由圓內(nèi)接四邊形的對角互補和外角等于內(nèi)對角，可將與圓相關的角互相聯(lián)系起來熟悉以下

9、基本圖形、基本結論注：依照極點、角的兩邊與圓的地址關系，我們定義了圓心角與圓周角，近似地，當角的頂點在圓外或圓內(nèi)，我們能夠定義圓外角與圓內(nèi)角，這兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關系?讀者可自行作一番商議【例題求解】【例1】如圖，直線AB與O訂交于A，B再點，點O在AB上，點C在O上，且AOC40，點E是直線AB上一個動點(與點O不重合)，直線EC交O于另一點D，則使DE=DO的點正共有個思路點撥在直線AB上使DE=DO的動點E與O有怎樣的地址關系?分點E在AB上(E在O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在O外)三種情況考慮，經(jīng)過角度的計算，確定E點地址、存在的個數(shù)注：弧是聯(lián)系與圓相關的角的

10、中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓相關的角互相轉(zhuǎn)變的基本方法8【例2】如圖，已知ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的O與邊AB、AC、BC分別訂交于點E、F、M，關于以下五個結論：FMC=45；AE+AFAB；EDBA；2BM2=BFBA；四邊形AEMF為矩形其中正確結論的個數(shù)是EFBC()A2個B3個C4個D5個思路點撥充分運用與圓相關的角，搜尋特別三角形、特別四邊形、相似三角形，逐一考據(jù)注：多重選擇單項選擇化是近來幾年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的研究，方能作出小正確的選擇【例3】如圖，已知四邊形ABCD外接O的半徑為5，對

11、角線AC與BD的交點為E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面積思路點撥由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關鍵【例4】如圖，已知AB是O的直徑，C是O上的一點，連結AC，過點C作直線CDAB于D(ADDB)，點E是AB上任意一點(點D、B除外)，直線CE交O于點F，連結AF與直線CD交于點G(1)求證：AC2=AGAF；(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點，上述結論可否依舊成立?若成立請畫出圖形并恩賜證明；若不成立，請說明原由思路點撥(1)作出圓中常用輔助線證明ACGAFC；2）判斷上述結論在E點運動的情況下可否成立，依題意正確畫出圖形是要點注：構造直

12、徑上90的圓周角，是解與圓相關問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判斷創(chuàng)立了條件9【例5】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF訂交于一點Q，設AD與CF的交點為P求證：（1）QDAC；(2)CPAC2EDECPECE2思路點撥解本例的要點在于運用與圓相關的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形CPQC(1)證明QDEACF；(2)易證，經(jīng)過其他三角形相似并結合(1)把特別規(guī)問題PEDE的證明轉(zhuǎn)變?yōu)槌＠龁栴}的證明注：有些幾何問題誠然表面與圓沒關，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，特別是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用圓的豐富性質(zhì)為解題服務，確定四點共圓的主要方法有：利用

13、圓的定義判斷；利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的抗命題判斷學歷訓練1一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為2如圖，AB是O的直徑，C、D、E都是O上的一點，則1+2=3如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為4如圖，已知ABC內(nèi)接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，設O的半徑為y，AB的長為x，用x的代數(shù)式表示y，y=5如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于()A120B136C144D1506如圖，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，則BOC等于()A20B

14、30C40D50107如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，AB=3，BC=2，則D的度數(shù)為()A60B120C135D1508如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F給出以下四個結論：22CH=AHBH；AD=AC；AD=DFDP；EPC=APD，其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D49如圖，已知B正是ABC的外接圓O的直徑，CD是ABC的高求證：ACBC=BECD；已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直徑BE的長10如圖，已知AD是ABC外角EAC的均分線，交BC的延長線于

15、點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連結FB，F(xiàn)C求證：FB=FC；求證：FB2=FAFD；若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC=120，BC=6cm，求AD的長11如圖，B、C是線段AD的兩個三均分點，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外)，則tanAPBtanCPD=12如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=a，則四邊形ABCD的面積為13如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，則BC=14如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點，B=40，則A等于()A60B50C80D7015如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們訂交于P，若APD=60，則O的面積為()A25B16C15D1311(2001年紹興市競賽題)16如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高，AB=AC別，過A、D兩點的圓與AB、AC分訂交于點E、F，弦EF與AD訂交于點G，則圖中與GDE相似的三角形的個數(shù)為()A5B4C3D217如圖，已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=2AE，且BD=23，求四邊形ABCD的面積18如圖，已知ABCD為O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點，且有BAE=DAC求證：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADBCACB