人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步-數(shù)列課件

1、第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 第二章數(shù)列人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步-數(shù)列課件1.數(shù)列及其相關(guān)概念(1)定義:按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(2)項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). (3)形式:a1,a2,a3,an,或簡(jiǎn)記為an,其中an是數(shù)列的第n項(xiàng). 1.數(shù)列及其相關(guān)概念【思考】(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們是相同的數(shù)列嗎?提示:從數(shù)列的定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按一定順序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同但排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列.【思考】(2)同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎?提示:在數(shù)列的定義中,并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列

2、中的數(shù)必須不同,因此,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).例如:1,-1,1,-1,1,;2,2,2,.(2)同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)嗎?2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) 名稱(chēng) 含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì) 遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列 各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) 名稱(chēng) 含義按項(xiàng)的有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限的3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系序號(hào)1234n項(xiàng)a1a2a3a4an3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系序號(hào)1234n項(xiàng)a1a2a

3、3a4a所以數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3,n)為定義域的函數(shù)an=f(n)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,反過(guò)來(lái),對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,4,)有意義,那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(4),f(n),.所以數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,3,4.數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)1,2,3

4、,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列.()(2)an與an是一樣的,都表示數(shù)列.()(3)所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式且一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的.()(4)數(shù)列3,1,-1,-3,-5,-10的通項(xiàng)公式為an=5-2n.()【素養(yǎng)小測(cè)】提示:(1).兩個(gè)數(shù)列相同,每一項(xiàng)都必須相同,而且數(shù)列具有順序性.(2).因?yàn)閍n代表一個(gè)數(shù)列,而an只是這個(gè)數(shù)列中的第n項(xiàng),故an與an是不一樣的.(3).有的數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式,而且有的數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.(4). 第六項(xiàng)為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數(shù)列的通項(xiàng)公式.提示:(1).兩個(gè)數(shù)列相同,每一項(xiàng)都必須相同,而且數(shù)列具有2.數(shù)列3,

5、4,5,6,的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A.an=n,nN*B.an=n+1,nN*C.an=n+2,nN*D.an=2n,nN*2.數(shù)列3,4,5,6,的一個(gè)通項(xiàng)公式為()【解析】選C.這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大2,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+2,nN*.【解析】選C.這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大2,所以,它的一個(gè)通3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2+1,則122是該數(shù)列的()A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=n2+1,則122是該【解析】選C.令n2+1=122,則n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).【解析】選C.令n2+1=122

6、,則n2=121,4.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n-1,則a8=_.【解析】a8=28-1=15.答案:154.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n-1,則a8=_類(lèi)型一數(shù)列的概念以及分類(lèi)【典例】1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4B.數(shù)列an中,若a1=3,則從第2項(xiàng)起,各項(xiàng)均不等于3C.數(shù)列1,2,3,就是數(shù)列nD.數(shù)列中的項(xiàng)不能是三角形類(lèi)型一數(shù)列的概念以及分類(lèi)2.已知下列數(shù)列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1, , , ,;1,- , , ,;2.已知下列數(shù)列:1,0,-1,sin ,;2,4,8,16,32,;-1,-1

7、,-1,-1.其中,有窮數(shù)列是_,無(wú)窮數(shù)列是_,遞增數(shù)列是_,遞減數(shù)列是_,常數(shù)列是_,擺動(dòng)數(shù)列是_(填序號(hào)).1,0,-1,sin ,;【思維引】1.依據(jù)數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷.2.依據(jù)數(shù)列分類(lèi)中有關(guān)數(shù)列的定義,逐個(gè)判斷.【思維引】1.依據(jù)數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷.【解析】1.選B.由數(shù)列的相關(guān)概念可知,數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4,故A正確.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn),故B錯(cuò)誤.按一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列,所以數(shù)列1,2,3,就是數(shù)列n,故C正確.數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù),不能是其他形式,故D正確.【解析】1.選B.由數(shù)列的相關(guān)概念可知,數(shù)列4,7,3,4的2.為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;為無(wú)窮數(shù)列、遞

8、減數(shù)列;為無(wú)窮數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列;是擺動(dòng)數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;為遞增數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;為有窮數(shù)列,也是常數(shù)列.答案:2.為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列;為無(wú)窮數(shù)列、遞減數(shù)列;為無(wú)【內(nèi)化悟】1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有哪些特點(diǎn)?提示:(1)確定性:一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的,集合中的元素也具有確定性;(2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù),而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性);【內(nèi)化悟】(3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),而集合中的元素沒(méi)有順序(即無(wú)序性);(4)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù),而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.(3)有

9、序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些2.如何判斷兩個(gè)數(shù)列是相同數(shù)列?提示:組成數(shù)列的數(shù)相同,且排列次序也相同的兩個(gè)數(shù)列才是相同的數(shù)列.2.如何判斷兩個(gè)數(shù)列是相同數(shù)列?【類(lèi)題通】數(shù)列概念的三個(gè)注意點(diǎn)(1)數(shù)列an表示數(shù)列a1,a2,a3,an,不是表示一個(gè)集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.【類(lèi)題通】(2)從數(shù)列的定義可以看出,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).(3)數(shù)列中各項(xiàng)的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵.(2)從數(shù)列的定義可以看出,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不

10、【習(xí)練破】下列數(shù)列中,既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A.1, , ,B.sin ,sin ,sin ,sin ,C.-1,- ,- ,- ,D.1,2,3,4,30【習(xí)練破】【解析】選C.數(shù)列1, , ,是無(wú)窮數(shù)列,但它不是遞增數(shù)列,而是遞減數(shù)列;數(shù)列sin ,sin ,sin ,sin ,是無(wú)窮數(shù)列,但它既不是遞增數(shù)列,又不是遞減數(shù)列;數(shù)列-1,- ,- ,- ,是無(wú)窮數(shù)列,也是遞增數(shù)列;數(shù)列1,2,3,4,30是遞增數(shù)列,但不是無(wú)窮數(shù)列.【解析】選C.數(shù)列1, , ,是無(wú)窮數(shù)列,但【加練固】下列數(shù)列(1)1,2,22,23,263;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6

11、,8,10,;【加練固】(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(6) .其中有窮數(shù)列是_,無(wú)窮數(shù)列是_,遞增數(shù)列是_,遞減數(shù)列是_,擺動(dòng)數(shù)列是_,常數(shù)列是_.(填序號(hào))(4)-1,1,-1,1,-1,;【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無(wú)窮數(shù)列是 (3)(4)(5)(6),遞增數(shù)列是(1)(2)(3),遞減數(shù)列是(6),擺動(dòng)數(shù)列是 (4),常數(shù)列是(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)【解析】根據(jù)數(shù)列的概念知有窮數(shù)列是(1)(2),無(wú)窮數(shù)列是 類(lèi)型二觀察法寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式【典例】1.(2019哈爾濱高一檢測(cè))數(shù)

12、列1,3,7,15,的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A.an=2nB.an=2n+1C.an=2n+1D.an=2n-1類(lèi)型二觀察法寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式2.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1) ,2, ,8, ,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;2.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(4) ;(5) ;(6)4,0,4,0,4,0,.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(4) ;【思維引】1.根據(jù)特點(diǎn),觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所在項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式即可.2.首先要熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后對(duì)于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式,其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式

13、加以變形,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納.【思維引】1.根據(jù)特點(diǎn),觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所【解析】1.選D.經(jīng)過(guò)觀察,1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,故推測(cè)an=2n-1.【解析】1.選D.經(jīng)過(guò)觀察,1=21-1,3=22-1,7=2.(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察: ,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= .2.(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用

14、,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1000,10000,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開(kāi)始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= .(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開(kāi)始的奇(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇

15、數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n .(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an= 又因?yàn)閿?shù)列可改寫(xiě)為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項(xiàng)公式又可表示為an=2+2(-1)n+1.(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,【素養(yǎng)探】在與觀察法寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式有關(guān)的問(wèn)題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過(guò)研究數(shù)列的前幾項(xiàng)與項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.將本例2(6)的數(shù)列改為“3,5,3,5,3,5,”,如何寫(xiě)出

16、其通項(xiàng)公式?【素養(yǎng)探】【解析】此數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,故通項(xiàng)公式可寫(xiě)為an= 此數(shù)列兩項(xiàng)3與5的平均數(shù)為 =4,奇數(shù)項(xiàng)為4-1,偶數(shù)項(xiàng)為4+1,故通項(xiàng)公式還可寫(xiě)為an=4+(-1)n.【解析】此數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,故【類(lèi)題通】(1)用觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略 【類(lèi)題通】(2)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào)問(wèn)題.(3)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.(2)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)【習(xí)練破】寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)0,3,8,15,2

17、4,;(2)1 ,2 ,3 ,4 ,;(3)1,11,111,1 111,.【習(xí)練破】【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2-1(nN*).(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為 ,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+ = (nN*).【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù),可以看到0=1-1,3=4-1(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?9, 99, 999, 9 999,易知數(shù)列9,99,999,9 999,的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an

18、= (10n-1)(nN*).(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?9, 99, 9【加練固】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1) 3,5,7,9,11,13,; (2) , , , , , ;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,; 【加練固】(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,;(5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,.(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,【解析】(1)從3開(kāi)始的奇數(shù)列,an=2n+1.(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積an= ;【解析】(1)從3開(kāi)始的奇數(shù)列,an=2n+1.(4) 將數(shù)列變形

19、為1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, , 所以 (5) 將數(shù)列變形為12, -23, 34, -45, 56,所以an=(-1)n+1n(n+1).(4) 將數(shù)列變形為1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 類(lèi)型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例】(2019張家口高一檢測(cè))已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= .(1)求a10.類(lèi)型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用(2)判斷 是否為該數(shù)列中的項(xiàng).若是,它為第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)求證:0an3,所以0 1,所以01- 1,即0an0,an0;30+n-n20,解得n=6;0n6,即n=6時(shí),an=0;當(dāng)0n0;當(dāng)n6且nN*時(shí),an0;【加練固】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= .(1)寫(xiě)出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng).(2)試問(wèn) 是該數(shù)列的項(xiàng)嗎?若是,是第幾項(xiàng)?若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.【加練固】【解析】(1)因?yàn)閍n= ,所以a4= = ,a6= = .(2)令 = ,則n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,注意到nN*,故將n=