典型例題：橢圓方程18練

1、PAGE21典型例題一例1已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故典型例題二例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為典型例題三例3的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，

2、再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解：（1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）典型例題四例4已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程分析：討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出和（或和）的值從而求得橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或典型例題五例5已知橢圓方程，

3、長軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知：由橢圓定義知：則得故典型例題六例6已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，

4、故所求直線方程為將代入橢圓方程得，符合題意，故即為所求（2）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為（橢圓內(nèi)部分）（4）由得，將平方并整理得，將代入得，再將代入式得，即此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決典型例題七例7已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，并且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法典型例題八例8已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程分析：直線與橢圓有公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有解因此，只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式已知弦長，由弦長公式就可求出解：（1）把直線方程代入橢圓方程得，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得解得因此，所求直線的方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用

6、弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程典型例題九例9以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，而這種類型的問題在初中就已經(jīng)介紹過，只須利用對稱的知識就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長軸，又，因此，所求橢圓的方程為說明：解決本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為在已知直線上求一點(diǎn)

7、，使該點(diǎn)到直線同側(cè)兩已知點(diǎn)的距離之和最小典型例題十例10已知方程表示橢圓，求的取值范圍分析：根據(jù)橢圓方程的特征求解解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓典型例題十一例11已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：1由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方2由焦點(diǎn)在軸上，知，3求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件典型例題十二例2求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩

8、點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便起見，可設(shè)其方程為，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為，由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為說明：此類題目中已存在直角坐標(biāo)系，所以就不用建立直角坐標(biāo)系了，但是這種題目一定要注意已知點(diǎn)和已知軌跡在坐標(biāo)系中的位置關(guān)系求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般是先定位（焦點(diǎn)位置），再定量（，的值），若橢圓的焦點(diǎn)位置確定，橢圓方程唯一；若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，既可能在軸，又可能在軸上，那么就分兩種情況進(jìn)行討論方法是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解時(shí)是分為根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上或軸上確定方程的形式、

9、根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)，的方程組、解方程組求出，的值三個(gè)步驟，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對此題而言，根據(jù)題目的要求不能判斷出所求的橢圓焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，那么就分情況討論，這種方法解此題較繁另一種方法直接設(shè)出橢圓的方程，而不強(qiáng)調(diào)焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上，即不強(qiáng)調(diào)和的系數(shù)哪一個(gè)大，通過解題，解得幾種情況就是幾種情況在求橢圓方程確定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上的時(shí)候，可以根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，也可以根據(jù)準(zhǔn)線方程若不能確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上，就用上述兩種方法典型例題十三例13已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長分析：此類題目是求弦長問題，這種題目方法很多，

10、可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解：法1利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因?yàn)?，所以又因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得設(shè)，為方程兩根，所以，從而法2利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以法3利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出說明：對于直線與橢圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，可以利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，看聯(lián)立后方程解的個(gè)數(shù)：，無解則相離；，一解則相切；，兩

11、解則相交直線與橢圓相交就有直線與橢圓相交弦問題，直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的線段叫做直線與橢圓相交弦典型例題十四例14已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題這種題目一般利用中間變量相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)樵趫A上，所以將，代入方程得所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓說明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方

12、程的最基本的方法，必須掌握這種題目還要注意題目的問法，是求“軌跡”還是求“軌跡方程”若求軌跡方程，只要求出關(guān)于，的關(guān)系化簡即可；若求軌跡，當(dāng)求出軌跡方程后，還要說明由這種方程所確定的軌跡是什么這在審題時(shí)要注意典型例題十五例15橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A4B2C8D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A說明：1橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓2橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離典型例題十六例16已知橢圓，試確定的取值范圍

13、，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則已知條件等價(jià)于：1直線；2弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：法1設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得法2同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得法3設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即又點(diǎn)在直線上，由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用以下方法列參數(shù)

14、滿足的不等式：1利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程2利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足不等式，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式典型例題十七例17在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程分析：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓方程及適當(dāng)坐標(biāo)系的建立通過適當(dāng)坐標(biāo)系的建立，選擇相應(yīng)橢圓方程，再待定系數(shù)適當(dāng)坐標(biāo)系的建立能達(dá)到簡化問題的目的解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即，得所求橢圓方程為說明：適當(dāng)坐標(biāo)系的建立是處理好橢圓應(yīng)用問題的關(guān)鍵建立適當(dāng)坐標(biāo)系，需對題設(shè)所給圖形進(jìn)行觀察、分析，做好數(shù)與形的結(jié)合，本題也可以以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，再求橢圓方程典型例題十八例18已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去或，得到關(guān)于或的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，或，的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的本題涉及到直線被橢圓截得弦的中點(diǎn)問題，也可采用點(diǎn)差法或中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會(huì)更為簡便解：