典型例題：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、PAGE37空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、空間直角坐標系1單位正交基底如果三個向量，不共面，那么所有空間向量所組成的的集合就是，這個集合可以看作是由，生成的，從而把稱為空間的一個基底，叫做基向量如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且模為，則這個基底叫做單位正交基底，通常用表示2空間直角坐標系Oy在空間選一點和一個單位正交基底用，以點為原點，分別以，的方向為正方向建立三條數(shù)軸軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這樣就建立了一個空間直角坐標系，點叫做原點，叫做坐標向量，通過兩條坐標軸的平面叫作坐標平面Oy如圖，通常使用的是右手直角坐標系軸、軸、軸又稱為橫軸、縱軸、豎軸3點的坐標AADBBDCCy在空

2、間直角坐標系中，對空間任一點對應(yīng)一個向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，則有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，其中、分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標AADBBDCCy4常見空間直角坐標系的建立正方體如圖所示，正方體的棱長為，一般選擇點為原點，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為，亦可選點為原點在長方體中建立空間直角坐標系與之類似正四面體BCADOy如圖所示，正四面體的棱長為，一般選擇在上的射影為原點，、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為BCADOy，正四棱錐ABCDPOy如圖所示，正四棱錐的棱長為，一般選擇點在平面的射影為原點，（或

3、）、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為ABCDPOy，BCACABBCACAByOE正三棱柱如圖所示，正三棱柱的底面邊長為，高為，一般選擇中點為原點，（或）、（為在上的射影）所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為，二、向量的直角坐標運算設(shè)，則；或或；設(shè)，則這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標yBA若，三點共線則yBA三、直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量如圖，在空間直角坐標系中，由與確定直線的方向向量是四、平面法向量如果，那么向量叫做平面的法向量下面介紹法

4、向量的求法例1：已知正方體，點、分別是、的中點求平面的法向量解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為AADBBDAADBBDCCyFGE設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為亦可以使用注意，一個平面的法向量有無數(shù)多條，而且均互相平行五、證明平行問題1證明線線平行AADBBAADBBDCCyFE例2：已知正方體，、分別為和的中點求證：證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，即例3：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行已知：直線平面，直線平面，、為垂足求證：yjiOABDDBOA證明：以點為原點，以射線為非負軸，建立空間直角坐標系，為沿軸

5、，軸，yjiOABDDBOA，、為不同兩點，2證明線面平行ABDCEFMN例4：如圖已知四邊形和是兩個正方形，分別在其對角線、上，且求證：平面ABDCEFMN證明：在正方形和中，存在實數(shù)使，、共面平面，平面向量與兩個不共線的向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對，使利用共面向量定理可以證明線面平行問題本題用的就是向量法直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則例5：棱長都等于的正三棱柱，點是的中點求證：平面證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為BCACAByBCACAByD，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，平面3證明面面平行平面的法向量為，平面的法向量為，若即則例6：已知正方

6、體求證：平面平面AADBBDCAADBBDCCy，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為平面法向量為，令取平面的一個法向量為，平面平面六、證明垂直問題1證明線線垂直證明兩直線垂直可用例7：已知在空間四邊形中，求證：ABOC證明：，ABOC，即ABOC例8：已知在空間四邊形中，求證：ABOC證明：AADBBDCAADBBDCCy證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，實際上，正方體的體對角線與任意一條與之異面的面對角線所成角均為直角例10：已知正方體，、分別為和中點求證：是和的公垂線段AADBBDCAADBBDCCyMN，即，是它們的公垂線段例11：在三棱柱中，底面是正

7、三角形，底面，求證：證明：設(shè)底面邊長為，高為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為CACAByBCACAByBO，即2證明線面垂直AADBBDCCyFE例12：已知正方體，、分別為和AADBBDCCyFE證明：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，又，平面直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則解法二：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，平面3證明面面垂直平面的法向量為，平面的法向量為，若即則CADSyEB例13：如圖，底面是正方形，底面，且，是中點求證：平面平面CADSyEB解：不妨設(shè)，建立空間直角坐標

8、系，則相關(guān)各點坐標為，,設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為底面，,平面的一個法向量為，平面平面七、夾角1求線線夾角設(shè)，為一面直線所成角，則：；AADBBDCCyEF例AADBBDCCyEF解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，AACAACBByC和所成角的余弦值是例15：如圖直三棱柱的底面和是全等等腰直角三角形，側(cè)棱垂直底面且，求與所成角的余弦值解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，與所成角的余弦值是BCADFE例16：正四面體邊長均為，、分別為和中點，求異面直線和所成角BCADFE解：設(shè)，則，異面直線和所成角是OBOBADCDC異面直線和所成角公式

9、：證明：將平移單位到平面內(nèi)與交于點，夾角為，則有得，解法二：BCADFE連結(jié)、，有，可得BCADFE，異面直線和所成角是解法三：以點在上的射影為原點建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，BCADOFEy、分別為BCADOFEy，異面直線和所成角是需要注意，、坐標求法滿足線段的定比分點公式設(shè)，在上求一點使它分所成的比為，即，從而，當(dāng)時，點是線段的中點，則，由中點公式，可得以，為頂點的三角形重心例17：如圖，是正三角形所在平面外一點，、分別是和的中點，且求異面直線與所成角解：不妨設(shè)，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，SABCMNSABCMNy，異面直線與所成角為例18：已知矩形與全等，為直二面

10、角，為中點，與所成角為，且求與的邊長之比解：設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為CDBAFCDBAFENMy，整理得，2求線面夾角nOPA如圖，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得nOPA例19：正三棱柱的底面邊長為，高為求與側(cè)面所成的角解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為BACACByDBACACByD設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，設(shè)為與側(cè)面所成的角則，與側(cè)面所成的角是例20：正四面體棱長為，為的中點求與底面所成角解：以點在上的射影為原點建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，設(shè)平面法向量為，BCA

11、BCADOEy令取平面的一個法向量為，設(shè)為與底面所成角則，與底面所成角是同樣本題也可以選擇基底來做解法二：作底面于設(shè)，與所成的角為，則與底面所成角為，（詳見例16），與底面所成角是3求面面夾角設(shè)、分別是二面角兩個半平面、的法向量，當(dāng)法向量、同時指向二面角內(nèi)或二面角外時，二面角的大小為；當(dāng)法向量、一個指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時，二面角的大小為例21：已知正方體的棱長為，是的中點求二面角的大小AADBBDCAADBBDCCyP，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為平面法向量為，令取平面的一個法向量為，且二面角為銳角，二面角的大小為例22：底面是直角梯形的四棱錐，底面，求平面與平面所成的二

12、面角的正切值解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為ASCDBy，ASCDBy設(shè)平面法向量為，且，取平面的一個法向量設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，且平面與平面所成的二面角為銳角，平面與平面所成的二面角的余弦值為，平面與平面所成的二面角的正切值為例23：過正方形的頂點引平面，并使平面、與平面成角求二面角的大小解：不妨設(shè)，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，設(shè)平面法向量為，CBDCBDASy令取平面的一個法向量為設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，二面角的為鈍角，二面角的大小為例24：已知正方體，是中點求平面和底面所成角的余弦值A(chǔ)A

13、DBBDCAADBBDCCyE，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為設(shè)平面法向量為，且，底面，又，平面的一個法向量為，且平面和底面所成角為銳角，平面和底面所成角的余弦值為公式法求解二面角：射影面積公式解法二：解：連結(jié)底面，底面，是在底面上的射影設(shè)平面和底面所成的角為，則不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，且平面和底面所成角為銳角，平面和底面所成角的余弦值為三角形面積用向量表示就是上題中的證明過程如下：設(shè)三角形兩邊向量為，三面角余弦公式OABC設(shè)為一個三面角，二面角的平面角為，則有OABC當(dāng)、中有一個為鈍角（或直角）時，公式也照樣成立。例25：已知正三棱錐的側(cè)面與底面所

14、成角為，任兩側(cè)面夾角為，求證：ABOC證明：如圖所示，設(shè)正三棱錐，的平面角為，的平面角為，ABOC由公式得：；整理得八、距離1求點點距離設(shè)，則，即，其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點間的距離公式例26：已知正方體，、分別為和中點且是和的公垂線段求直線與間的距離AADBBDCAADBBDCCyMN，直線與間的距離是例27：已知平行六面體，求體對角線長BCABBCABDCAD體對角線長為例28：已知正方形的邊長是，平面外的一點到正方形各頂點的距離都為，、分別是、上的點，且求線段的長ADBCNPOyM解：ADBCNPOyM，即，線段的長為異面直線上兩點距離公式其中，是異面直線和的距離，為和所成的

15、角，、分別是異面直線、上的點、到公垂線與、的交點、的距離。如果點或在點或的另一側(cè)時，則公式中取“”號BlADC例29：如圖，在直二面角，點、，且，且，若，求線段的長BlADC解：2求點線距離已知一條直線上兩點，直線外一點為，則有點與直線的距離，其中向量積有公式此公式亦可記為例30：過的直角頂點作線段垂直于這個三角形所在平面，已知，求點到的距離ACBDyACBDy，BDCAPy點BDCAPy例31：如圖，垂直矩形所在平面，且，求點到的距離及的面積解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，點到的距離為平方單位，的面積為平方單位3求點面距離如圖，為平面任一點，已知為平面的一條斜線，為平面的

16、一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得nOPAnOPA即點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值例32：已知正方體求點到平面的距離解：不妨設(shè)正方體的邊長為，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，AADBBDAADBBDCCy，令取平面的一個法向量為，點到平面的距離為例33：如圖，已知正方形的邊長為，、分別是、的中點，平面，且，求點到平面的距離ABGEFABGEFDCy，設(shè)平面法向量為，令取平面的一個法向量為，點到平面的距離為4求線線距離和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線公垂線和兩條異面直線都相交，公垂

17、線上兩個交點間的部分叫做異面直線的公垂線段例34：已知正方體，棱長為求直線與的距離解：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為AADBBDCCAADBBDCCy設(shè)點，點，且有，則，此時就是與公垂線段，直線與的距離為求異面直線間的距離也可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計算abnBA如圖，設(shè)兩條異面直線、的公垂線的方向向量為,這時分別在、上任取、兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線、的距離abnBA即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值直線、的距離解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，設(shè)異面直線與的

18、公垂線的方向向量，取則異面直線與的公垂線的方向向量，直線與的距離為兩條異面直線間的距離公式實質(zhì)與解法二相同：已知兩條異面直線，其中一條上有兩點、，另外一條直線上有另外兩點、則有解法三：如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關(guān)各點坐標為，直線與的距離為極值法求異面直線間的距離已知、為異面直線，那么在上取一點，作垂直相交于點，設(shè)一變量，把表示為關(guān)于的函數(shù)，的最小值即為異面直線間的距離解法四：AADBBDCCyPFQ取任一點作垂直相交于點，作垂直相交于點，連結(jié)，所以設(shè)，則AADBBDCCyPFQ當(dāng)時，有最小值為，所以直線與的距離為例35：正四面體邊長均為求異面直線與的距離BCADOy解：以在上的射影為原點建立空間直角坐標系BCADOy，設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，取則異面直線與的公垂線的方向向量，異面直線與的距離為5求線面距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫做這條直線到這