解析幾何直線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略

1、 直線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略本文通過幾個經(jīng)典的例題說明線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略.例題1 已知橢圓，過且斜率為的直線交橢圓于，在橢圓上，且滿足.求的值.解法1:直接求解法，適合于消參后的一元二次方程的根比較好解的情況，注意利用乘法公式化簡 過且斜率為的直線為，代入橢圓方程中，消去并整理得:，解得，注意到，可得，即.設(shè)，則，又，去分母得: ，展開整理得: ，.解法2: 利用一元二次的方程的根與系數(shù)關(guān)系，注意利用整體代入.過且斜率為的直線為，代入橢圓方程中，消去并整理得:，設(shè)，則，又，整理得: ，注意到，于是上式化為，即.又，.解法3: 轉(zhuǎn)化結(jié)論，間接求解，就是求出直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)

2、即可，一般不用此法，但對于本題，卻是非常簡單，就是充分利用題目的特殊性.設(shè)，又，于是，即，又，在橢圓上，于是即消去得: ，.即，又，例題2 雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為的一條漸近線.(1)求雙曲線的方程.(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)，且時，求點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)設(shè)雙曲線方程為().由題意: ，.雙曲線的方程為.解法一：構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的一元二次方程由題意知直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的方程為:，則可求.設(shè)， ， )在雙曲線上， ， .同理有: 若，則， 過頂點(diǎn)，不合題意， ，是一元二次方程的兩個根， ，驗(yàn)知， ， 所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.仔細(xì)分析上面的解法，我們

3、發(fā)現(xiàn)本題中涉及7個未知數(shù)，它們是: .上面的解法先把作為一組，構(gòu)建關(guān)于的一元二次方程，再把作為一組，構(gòu)建關(guān)于的一元二次方程，由于這兩個運(yùn)算過程完全相同， 兩個一元二次方程也完全相同，因此，是同一個一元二次方程的兩個根，然后就可以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系了.解法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系把代入雙曲線的方程為并整理得：，當(dāng)時，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，不合題意，故，.由已知 ， (1) ， (2)又，故由(1)得: ，由(2)得: ， ，解得：，驗(yàn)知， ，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，0)解法三：利用根與系數(shù)的關(guān)系，但是考慮結(jié)論中涉及到的怎樣用表示，解法二可以演變?yōu)橄旅娴慕夥ǎ?，然后把，代入上式化簡? ，解得：，驗(yàn)知， ，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，0)例題已知橢圓的短軸長為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)、是橢圓上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，若，求直線的斜率的取值范圍解法，、三點(diǎn)共線，而，且直線的斜率一定存在，所以設(shè)的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，由，得設(shè)，又由得， ，把代入得，消去得：，當(dāng)時，是減函數(shù)， ，解得，又，所以，的取值范圍是.解法設(shè)，則又，則由得得 代入得， 由得，聯(lián)立消去得：，這實(shí)際