中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)-經(jīng)典壓軸題附詳細(xì)答案

1、一.旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.操作與證明：如圖1,把一個(gè)含45。角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：AAEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是一；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180%其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；

2、若不成立，請(qǐng)說明理由.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識(shí)證明出CE=CF,繼而證明出ABE雯AADF,得到AE=AF,從而證明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個(gè)底角相等性質(zhì)，及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,標(biāo)記出各個(gè)角，首先證明出11MNIIAE,MN=AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角

3、角之間的數(shù)屋關(guān)系得到ZDMN=ZDGE=90.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：(1)V四邊形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF=90%TCEF是等腰直角三角形,Z090CE=CF,/.BC-CE=CD-CF,即BE=DF,ABE仝ADF,AE二AF,AEF是等腰三角形；(2)DM.MN的數(shù)量關(guān)系是相等,DM.MN的位置關(guān)系是垂直；在RtAADF中DM是斜邊AF的中線,/.AF=2DM,/MN是AAEF的中位線AE=2MN,TAE二AF,二DM=MN；/ZDMF=ZDAF+ZADM,AM二MD,JZFMN=ZFAE,ZDAF=ZBAE,/.ZADM=ZDAF=

4、ZBAE,ZDMN=ZFMN+ZDMF=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZBAD=90%DM丄MN；(3)(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點(diǎn)G,點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，1/.MNIIAE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,ZB=ZADF,CE=CF,又BC+CE二CD+CF,即BE二DF,二ABE仝ADF,AAE=AF,在RtAADF中,T點(diǎn)M為AF的1中點(diǎn)，DM二刁AF,/.DM=MN,TABE聖ADF,/.Z1=Z2,/ABIIDF,/.Z1=Z3,同理可證：Z2=Z4,/.Z3=Z4,DM二AM,/.ZMAD=Z5,/.ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z

5、3=90%TMNIIAE,/.ZDMN=ZDGE=90,/.DM丄MN所以(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立.質(zhì)2閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為手拉手圖形.如圖1，在手拉手圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若ZBAC=ZDAE,AB=AC,AD=AE,貝ljBD=CE在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來(lái)解答卜面的問題：如圖2,AB=BC,ZABC=ZBDC=60,求證：AD+CD=BD；如圖3,在ZkABC中，AB=AC,ZBAC=m%點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)

6、，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，ZEBC=ZACF,EDFD,求ZEAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）ZEAF=im2【解析】分析：（1）如圖1中,欲證明BD=EC,只要證明厶DAB竺EAC即可;如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE.首先證明BDE是等邊三角形，再證明ABD聖CBE即可解決問題;如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG、EG、EF、FG,延長(zhǎng)ED到M,使得DM=DE,連接FM、CM.想辦法證明AFE變AFG,可得ZEAF=ZFAG=-m.2詳(1)證明：如圖1中，ZBAC=ZDAE,ZDAB=ZEAC,在厶DAB和厶EAC中，A

7、D=AEBD二DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,EDB竺MDC,/.EM=CM=CG,ZEBC=ZMCD,ZEBC=ZACF,ZMCD=ZACF,ZFCM=ZACB=ZABC,Z1=3=Z2,ZFCG=ZACB=ZMCF,CF=CF,CG=CM,CFG雯CFM,FG=FM,TED二DM,DF丄EM,FE=FM=FG,/AE=AG,AF=AF,AFE竺AFG,1ZEAF=ZFAG=-m.2點(diǎn)睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用“手拉手”圖形中的全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造手拉手模型，解決實(shí)際問題，屬于中考?jí)狠S題.3.如圖1

8、,點(diǎn)0是正方形&BCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分別延長(zhǎng)0D到點(diǎn)G,0C到點(diǎn)E,使06=200,0E=20C,然后以0G、0E為鄰邊作正方形0EFG,連接AG,DE.求證：DF丄AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形0FFG繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0。,OD/1G：DOGt=AG,O=309即a=30。；（口）伉由90。增大到180。過程中,當(dāng)如r=90。時(shí),同理可求乙BOG，=30。，=180-30=150綜上所述，當(dāng)?shù)?90。時(shí),30?；?50.S33當(dāng)旋轉(zhuǎn)到人、0、F在一條直線上時(shí)，川尸的長(zhǎng)最大,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,aOA=OD=OC=013=2-OG=2ODOG=0G=gOF1=2江4卩=/

9、10+0卩=二+29ZCOF=45此時(shí)a=315。.點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一定的綜合性，注意分類討論的思想.4.（10分）己知AABC和AADE是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90%點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF、CF.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；（2）如圖2,在（1）的條件下將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí)，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷；（3）如圖3,在（1）的條件下將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。時(shí)，若AD=1,A

10、C=2a/2,求此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）相等和垂直：（2）成立，理由見試題解析；（3）2【解析】試題分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知DF=BF,根據(jù)ZDFE=2ZDCF,ZBFE=2ZBCF,得到ZEFD+ZEFB=2ZDCB=90%DF丄BF：（2）延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G,先證明ADEF妥GCF,得到DE=CG,DF=FG,根據(jù)AD=DE,AB=BC,得到BD=BG又因?yàn)閆ABC=90%所以DF=CF且DF丄BF：（3）延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H,先證明DEF雯HBF,得到DE=BH,DF=FH,根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以AADH為直角三角形，由AABC和AA

11、DE是等腰直角三角形，2尋,可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.11試題解析：（1）ZACB=ZADE=90%點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，/.DF=BE,CF=，BE二DF二CFABC和厶ADE是等腰直角三角形ZABC=45.BF二DF,ZDBF=ZBDF.ZDFE=ZABE+ZBDF,二ZDFE=2ZDBF.同理得：ZCFE=2ZCBF,ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=90.DF=CF,且DF丄CF(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.證明如下：如圖，此時(shí)點(diǎn)D落在AC上，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G.ZADE二ZACB二90,DEIIBC

12、./.ZDEF=ZGBF,ZEDF=ZBGF.F為BE中點(diǎn)，EF=BF./.DEF雯GBF./.DE二GB,DF=GF.TAD=DE,AD=GB.AC=BC,AC-AD=,BC-GB.n/.DC=GCZACB=90。，DCG是等腰直角三角形.DF=GF,DF=CF,DF丄CF.(3)如圖，延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H,ABC和厶ADE是等腰直角三角形，AC=BC,AD=DE.ZAED=ZABC=45.由旋轉(zhuǎn)可以得出,ZCAE=ZBAD=90,AEIIBC,ZAEB=ZCBE./.ZDEF=ZHBF.F是BE的中點(diǎn)，EF=BF.DE啓HBF./.ED=HB.AC=2VZ,在RtAABC中，由勾股定理，得

13、AB=4.VAD=1,ED=BH=1.*.AH=3.在RtAHAD中，由勾股定理，得DH=05,DF=2,CF=2.線段CF的長(zhǎng)為丁.考點(diǎn)：1等腰直角三角形的性質(zhì)；2全等三角形的判定和性質(zhì)；3勾股定理.5.己知RtZkDAB中，ZADB=90,扇形DEF中，ZEDF=30且DA二DB二DE,將RtAADB的邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針方(2)如圖3,當(dāng)a=120,求證：AF=BE【答案】(1)15。；(2)見解析.【解析】試題分析：(1)vZADB=90,DA=DB,/.ZBAD=45,TDFTIAB,ZADF=ZBAD=45,/.a=45-

14、30=15：(2)/a=120/.ZADE=120,/.ZADF/=120+30=150%ZBDE=36090rDA=DB120=150,/.ZADF=ZBDE在ADF和BDE中，ZADF二ZBDE/,DE=DFZADF空BDE.AF=BEZ考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì).6.如圖所示，在AABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DEIIBC,如圖，然后將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N,使DM=#BD,EN=#CE,得到圖，請(qǐng)解答卞列問題：若AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄勘辶袛?shù)量關(guān)系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是；在圖中，猜想am與AN的數(shù)量關(guān)系、ZMA

15、N與ZBAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB=k-AC(kl),按上述操作方法，得到圖，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、ZMAN與ZBAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】(1)BD二CE；AM二AN,ZMAN=ZBAC理由如2在圖中,DE/BC,AB=ACAD=,AE.AB=AC,乙BAD=lCAE,An=At?在厶ABD與厶ACE中一ABD雯ACE.BD=CE,ZACE=ZABD在厶DAM與厶EAN中，11/DM=bd,EN=CE,BD=CE,/.DM=EN,TZAEN二ZACE+ZCAE,ZADM=ZABD+ZBAD,/.ZAEN=ZADM又AE=AD,ADM雯AEN

16、./.AM=AN,ZDAM=ZEAN./.ZMAN=ZDAE=ZBAC./.AM=AN,ZMAN=ZBAC.(2)AM=kAN,ZMAN=ZBAC.【解析】根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)口J知AAEC竺ADB,所以BD=CE：根據(jù)題意可知ZCAE二BAD,AB二AC,AD=AE,所以得到BAD聖CAE,在AABM和ACN中，DM=-BD,EN=-CE,可證ABM仝ACN,月f以AM二AN,艮卩ZMAN=ZBAC直接類比(1)中結(jié)果可知AM二kAN,ZMAN二ZBAC7.已知AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，邊AB在射線0M上，且0A=6,點(diǎn)D是射線0A4上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)人重合時(shí)，將ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針

17、方向旋轉(zhuǎn)60。得到BCF,連接DE.如圖1，求證：ACDE是等邊三角形.設(shè)OD=r,當(dāng)6t10時(shí)，ABDE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出ABDE周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.求t為何值時(shí)，DEB是直角三角形(直接寫出結(jié)果即可).【答案】見解析;見解析;=2或14.【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDCE=60,DC=EC,即可得到結(jié)論;當(dāng)6t10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CD丄AB時(shí)，ABDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論；存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角

18、形；當(dāng)0t6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZABE=60ZBDEV60。，求得ZBED=90,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ZDEB=60,求得ZCEB=30,求得0D=OA-DA=6-4=2=t；當(dāng)6t10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDBE=60,求得ZBDE60,于是得到t=14.【詳解】-將厶ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BCE,ZDCE=60,DC=EC,CDE是等邊三角形；存在，當(dāng)6t10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD,dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知，ACDE是等邊三角形，DE=CD,dbe=CD+4,由垂線段最短可知，當(dāng)CD丄AB時(shí)，ABDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，CD=2j

19、J,BDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2/J+4；存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，D,B,E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，不符合題意；當(dāng)0t6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知,ZABE=60,ZBDE60,ZBED=90,由（1可知，ACDE是等邊三角形，ZDEB=60,ZCEB=30,ZCEB=ZCDA,ZCDA=30,ZCAB=60,ZACD=ZADC=30。，DA=CA=4,.OD=OADA=64=2,It=2；當(dāng)6t90,此時(shí)不存在：當(dāng)t10時(shí),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,ZDBE=60。,又由（1）知ZCDE=60。,ZBDE=ZCDE+ZBDC=60+ZBDC,而/BDC0,ZBDE60,只能ZBDE=90,從而ZBCD=30,BD=BC=4,OD=14,t=14,綜上所述：當(dāng)t=2或14時(shí)，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵&在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與B、C重合，點(diǎn)P在射線AM,將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接BP,DQ.圖1備用圖圖1備用圖（1）依題意補(bǔ)全圖4（2）連接DP,