2021年高考理科數(shù)學(xué)全國乙卷：答案解析

1、二零二一年（乙卷）理科數(shù)學(xué)（乙卷）答案詳解適用地區(qū)為：河南、安徽、江西、山西、陜西、黑龍江、吉林、甘肅、內(nèi)蒙古、青海、寧夏、新疆。一、選擇題：本題共 小題，每小題 分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一125項(xiàng)是符合題目要求的。1.（復(fù)數(shù)）設(shè)zz)3(zz)4i，則zA.12iB.12iC.1iD.1i【答案】C【解析】設(shè)za，則22a34a4ai，ab1， z1i.2.（集合）已知集合 Sss2n1,nZ，Ttt4n1,nZ，則 STA.B.SC.TD.Z【答案】C【解析】ST，S TT.e 1，則下列命題中為真（簡單邏輯）已知命題 pxRsinx1；命題qxR， x命題的是A.pq

2、B.pqC.pqD.(pq)【答案】A【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，命題 p 是真命題；對(duì)于任意 R， x 0，根據(jù)ex 1，故 q 是真命題，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知， pq 是真命題，pq 是假命題，pq 是假命題，(pq)是假命題.1 xf(x)4.（函數(shù)）設(shè)函數(shù)A.f(x1)1，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是1 xB.f(x1)1C.f(x1)1D.f(x1)1第 1 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）【答案】B1 x21，由此可知原函數(shù) f(x)是由奇函數(shù)g(x)2f(x)【解析】x向左平移 11 x 1 x個(gè)單位再向下平移 1 個(gè)單位得到，故原函數(shù) f(x)向右平移1個(gè)單位再向上平移1g(x

3、)2個(gè)單位即可得到x，故選 B.（立體幾何）在正方體 ABCDA B C D 中，P 為 B D 的中點(diǎn)，則直線PB 與 AD 所成的1 111111角為A.346B.C.D.2【答案】D【解析】解法一：建立圖 A5 左的直角坐標(biāo)系，設(shè) AB 為一個(gè)單位，A 為原點(diǎn)， 為x軸的正方向，為 y 軸的正方向，為 z B，11 11 1D P( , BP( , ，所以，故2 22 2111 21 3 , ，13 2 1212所成的角為 .直線 PB 與 AD16圖 A5P、C B，計(jì)算出 C P、C B、BP 的長，在 C BP 中，解法二：如圖A5右，連接C11111利用余弦定理，即可得到答案.

4、具體計(jì)算過程請(qǐng)同學(xué)們自己練習(xí).第 2 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）（概率統(tǒng)計(jì)）將 5 名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺 4 個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到 1 個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配 1 名志愿者，則不同的分配方案共有A.60 種B.120 種C.240 種D.480 種【答案】C【解析】故本任務(wù)可以分為兩步完成：從5 名志愿者中任意選出 2 名，組成一個(gè)小組，其C種選法；再將四個(gè)小組分配2余 3 名志愿者各自為一個(gè)小組，共四個(gè)小組，有5AC A 種.2 4種排法. 故不同的分配方案共有到 4 個(gè)項(xiàng)目中，有445417.（函數(shù)）把函數(shù) yf()圖象上所有點(diǎn)的橫坐

5、標(biāo)縮短到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得4y sin x曲線向右平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 的圖像，則 f(x)3 x 7 x A. sinB. sin2 122 127 C. sin 2xD. sin 2x1212【答案】B【解析】由已知的函數(shù)y sin x逆向變換. 第一步：向左平移 個(gè)單位長度，得到43 y sin xsin x 的圖象；第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到3 412x 原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到 ysin的圖象，即為 yfx)的圖象，所2 12x 2 12f(x) sin.以78.（概率統(tǒng)計(jì)）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1 個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于4的概率為（

6、 ）742332929A.B.C.D.32【答案】B【解析】如圖 A8 所示，設(shè)從區(qū)間(0,1)(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為 x、y，則所有結(jié)果構(gòu)成 S 1 x,y |0 x1,1 y2，其面積為 設(shè)事件 A 表示兩數(shù)之和區(qū)域?yàn)榈?3 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）77 A , y |0 x 1,1 y 2,x y ，即圖中的陰影大于 ，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?4S231 3 3 23P()SS 1 A，所以.部分，其面積為A322 4 4 32圖 A8（三角函數(shù)）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高。如圖，點(diǎn)E、HG 在水平線 AC 上，DE 和 FG 是兩

7、個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG 稱為“表距”，GC 和 EH 都稱為“表目距”，GC與 EH 的差稱為“表目距的差”。則海島的高 AB表高 表距表高 表距A.C.B.D.表高表距表高表距表目距的差表目距的差表高 表距表高 表距表目距的差表目距的差【答案】A【解析】由平面相似可知，DE EH FG CG,，而DE FG，AB AH AB ACDE EH CG CG EH CG EH所以，AB AH AC AC AHCH而CH CEEH CGEH EG，即第 4 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）CGEH EGEGDECG EH表高表距ABDE DE 表高.CG EH表目

8、距的差10.（函數(shù)）設(shè) a0，若 xa 為函數(shù) f(x) a(xa) (xb)的極大值點(diǎn)，則2A. abB. abC. aba2D. aba2【答案】Df(x) a(xa) 為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故 ab.3【解析】若 ab，則 f(x)有 xa 和 xb 兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在 xa 左右附近是不變號(hào)，在 b 左 xa 為函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn)，在 a 左右附近都是小于零的. 當(dāng) a0 時(shí)，由 xb， f(x)0，畫出 f(x)的圖象如圖 A10 左所示，由圖可知ba，a0，故 aba. 當(dāng) a0 時(shí)，由xb， f(x)0，畫出 f(x)的圖象如圖 A10 右所示，由圖可知ba，a

9、0，故 aba.綜上所述，aba 成立.2x2 y211.（解析幾何）設(shè) B 是橢圓 C：1 （ab0）的上頂點(diǎn)，若 C 上的任意一點(diǎn) Pa b22都滿足 PB b，則 C 的離心率的取值范圍是第 5 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷） 2 121 A.1B.1C. 0D. 0，2222 【答案】CP(x ,y )，由B(0,b)，因?yàn)椤窘馕觥吭O(shè) ，22200a002cb22 232PB2a 1y b022 ，bb2c0222因?yàn)?，即時(shí)，即，符合，化簡，即；，即時(shí)，即得，顯然該不等式不成立故選 C12.（函數(shù)）設(shè)a 2In1.01，bIn1.02，c 1.041，則A. abc B. bca

10、C. bacD. ab【答案】D a 2In1.01In 1.01 In1.0201In1.02b，a b.【解析】2下面比較 c 與 a、b 的大小關(guān)系. f(x)2In(x1) 14x 1 ，則 f(0)0，記2 1 4x x 1 2214xx) 2xx x(2x)，由于22，即，所以 f(x)在 0,2 上單調(diào)遞增，所以，即，即 ac；第 6 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）令，則，由于，在 0 時(shí)，所以，即函數(shù)在0，+)上單調(diào)遞減，所以，即綜上，ba.二、填空題：本題共 小題，每小題 分，共20分。45x2m13.（解析幾何）已知雙曲線 C：y 1 （m0）的一條漸近線為 3xmy0

11、，則 C2的焦距為.【答案】43 x3b23y【解析】由漸近線方程 3xmy0化簡得 a2 m2，mm又雙曲線中22213，解得m3，m0（舍去），c a b 4，2，故222故焦距 2c4.14.（平面向量）已知向量 a13），b（34ab）b.3【答案】53【解析】ab(1,34)，（ab）b，)4(34)0，解得 .515.（三角函數(shù)）記ABC 的內(nèi)角 ABC 的對(duì)邊分別為 ， ， ，面積為 ， ，a b c 3 B 60 a2c 3ac，則 b.2【答案】2 2第 7 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）113 3，解得ac4，S acsinB ac222a c ac12，則221b a

12、 c 2accosB 1224 8，由余弦定理有，2222解得b2 2 .16.（立體幾何）以圖為正視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.【答案】（答案不唯一，如）【解析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可. 如圖 A16 所示，長方體ABCD-A B C D 中，ABBC2，BB 1，E、F 分別為棱 B C 、BC 的中點(diǎn)，則1 11111 1三棱錐 E-ADF 的正視圖為、側(cè)視圖為、俯視圖為，故答案為.圖 A16第 8 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷） 題為必考題，70 17 21每個(gè)

13、試題考生都必須作答。第 、 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。22 23（一）必考題：共 60 分。17.（概率統(tǒng)計(jì)）（12 分）某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了 10 件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備10.310.410.010.110.210.010.010.610.110.510.210.49.7新設(shè)備 10.110.110.310.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為 和 s2和s2s ，s ；（1）求x， y，2122（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果

14、 ，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.s 0.036，s 0.04；【答案】（1）x 10， y 10.3，2122（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】（1），.（2）依題意，第 9 頁 共 17 頁，所以，70 .【答案】（1） 2 ；（2）14【解析】（1因?yàn)?PD平面 ABCD，且矩形ABCD 中，ADDC，故以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DADC、DP 所在直線分別為 xyz 軸建立如圖A18 的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè) BC2a，則D(0,0,0) 、P(0,0,1)、B(2a,1,0) 、M(a,1,0)、 (2

15、a,0,0) ， 所以PB (2a,1,1)， AM (a,1,0) ，二零二一年（乙卷） 2，2PBMAa 1 0a ，解得2故BC a 2 .圖 A18m (x ,y ,z )（2）設(shè)平面 PAM 的法向量為，111AM (2,1,0)， AP ( 2,0,1) ，由（1）有2 2m AMx y 0 2 x 2 ，可得m ( 2,1,2).1故，取11 m AP2x z 0 11n (x ,y ,z )設(shè)平面 PBM 的法向量為，222BM (2,0,0)，BP ( 2,1,1)，由（1）有22m BM 2y 1，可得n (0,1,1)2由，取，2 m BP 222 cos ,nm n33

16、 14則，m n 70 .，即二面角 A-PM-B 的正弦值為 ,n 12 ,n 14第 11 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）19.（數(shù)列）（12 分）為數(shù)列a 的前 n 項(xiàng)和，b 為數(shù)列S 的前 n 項(xiàng)積，已知2 12記 Sn .nnnS bnn（1）證明：數(shù)列b是等差數(shù)列；（2）求a的通項(xiàng)公式.3n 1， 2【答案】（1）證明見解析；（2）a.1n，n 2 n 1 n【解析】2 1b12 Sb ，b ，（1）證明：由已知 得 ，且0nS bb 12nnnnnnb3b Sb ，1由 ，解得1b 12111為數(shù)列S 的前 n 項(xiàng)積， bnnbbbb S S S S，12nb 1 b 1 b

17、 1n12n 1 n12nbbbbbn1S S S S，12nn 1b 1 b 1 b 1 b112n 1 n 112nn 1bb，n 1n 1bb 1nn 1bn 10又 ，121bbn b1，即 n 1 ，其中nN ，bn2n 131是以b 為首項(xiàng)，以d 為公差等差數(shù)列. 數(shù)列bn2213 1n b n1 1，n（2）由（1）可得，2 22b1S1 ，nb 1 n 1nn第 12 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）3a S ，2當(dāng) n=1 時(shí)，11111 a S S當(dāng) n2 時(shí)， 11 ，顯然對(duì)于 n=1 不成立， n 1 nn 1nnnn1 3n 1， 2.故a1n，n 2 n 1 n2

18、0.（函數(shù)）（12 分）設(shè)函數(shù) f (x) In(ax) ，已知 x0 是函數(shù) y xf (x)的極值點(diǎn).（1）求 a；x f (x)xf(x)g(x)（2）設(shè)函數(shù)，證明：g(x)1.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【解析】xya x（1）由已知有 y xf (x) xIn(ax)，所以 In( )，x a x 0是函數(shù) y xf (x)的極值點(diǎn)， yg(x)(x1且x 0)，（2）由（1）得 f(x)In(1x)， 設(shè)h(x) xIn(1x)xIn(1x) x 1x In(1x) (x1)，則h(0) 0，h(x)In(1x)， 當(dāng)x0 時(shí)，1x1，In(1x) 0，xIn(1x)0，h

19、(x)In(1x)0 h(x)單調(diào)遞減，h(x) h(0) 0，即xIn(1x)xIn(1x)0 ， xIn(1x) xIn(1x) ，第 13 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷）x In(1 x) 當(dāng)0 x1 時(shí)，01x1，In(1x)0 ，xIn(1x)0，h(x)In(1x)0 h(x)單調(diào)遞增，h(x) h(0) 0，即xIn(1x)xIn(1x)0 ， xIn(1x) xIn(1x) ，綜上所述，g(x)1.21.（解析幾何）（12 分）己知拋物線 C：x 2py（p0）的焦點(diǎn)為 F，且F 與圓 M：x (y4) 1 上點(diǎn)的距離222的最小值為 4.（1）求 p；（2）若點(diǎn) P 在 M 上，PA，PB 是 C 的兩條切線，A，B 是切點(diǎn)，求PAB 的最大值.【答案】（1）2；（2）20 5.【解析】（1）拋物線 C 的焦點(diǎn)為，解得，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，2設(shè)點(diǎn)、，即，即，同理可知，直線 PB 的方程為，第 14 頁 共 17 頁二零二一年（乙卷），所以點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)滿足方程所以直線 AB 的方程為，聯(lián)立，可得，所以，由已知可得時(shí)，PAB 的面積取最大值.（二）