數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)學(xué)生版

1、五、數(shù)列一、數(shù)列定義： 數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)，那么它就必定有開(kāi)頭的數(shù)，有相繼的第二個(gè)數(shù)，有第三個(gè)數(shù)，于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此，數(shù)列就是定義在正整數(shù)集 SKIPIF 1 0 （或它的有限子集 SKIPIF 1 0 ）上的函數(shù) SKIPIF 1 0 ，當(dāng)自變量從1開(kāi)始由小到大依次取正整數(shù)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為 SKIPIF 1 0 ； 通常用 SKIPIF 1 0 代替 SKIPIF 1 0 ，于是數(shù)列的一般形式常記為 SKIPIF 1 0 或簡(jiǎn)記為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 表示數(shù)列 SKIPIF

2、1 0 的通項(xiàng)。注意：（1） SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 是不同的概念， SKIPIF 1 0 表示數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 表示的是數(shù)列的第 SKIPIF 1 0 項(xiàng)；（2）數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值。（3） SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 之間的關(guān)系： SKIPIF 1 0 如：已知 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 。二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性

3、質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列公差（比） SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ）；通項(xiàng)公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 求和公式由倒序相加法推得 SKIPIF 1 0 =由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 =

4、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 用函數(shù)的思想理解通項(xiàng)公式若 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)若 SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；用函數(shù)的思想理解求和公式等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 ，說(shuō)明：； SKIPIF 1 0 在二次函數(shù)的圖象上，是一

5、群孤立的點(diǎn)。若 SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；（其中的系數(shù)與為互為相反數(shù)，這是公式一很重要特點(diǎn)，注意前提條件 SKIPIF 1 0 。）若 SKIPIF 1 0 ，說(shuō)明：；等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；增減性 SKIPIF 1 0 為遞增數(shù)列 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 為遞減數(shù)列 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 為常數(shù)列 SKIPIF 1 0 。 SKIPIF 1 0 為遞增數(shù)列 SKIPI

6、F 1 0 ； SKIPIF 1 0 為遞減數(shù)列 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 為常數(shù)列 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 為擺動(dòng)數(shù)列 SKIPIF 1 0 ；等差（比）中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù) SKIPIF 1 0 有且只有一個(gè)等差中項(xiàng)，即為；兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。兩個(gè)數(shù) SKIPIF 1 0 的等比中項(xiàng)為；（ SKIPIF 1 0 ）等差（比）數(shù)列的性質(zhì) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，則_；特別當(dāng) SKIPIF 1 0 ，則；若 SKIPIF 1 0 ，則_；特別

7、當(dāng) SKIPIF 1 0 ，則；在等差數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。如： SKIPIF 1 0 ；問(wèn)公差為在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列，剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如： SKIPIF 1 0 ；問(wèn)公比為 SKIPIF 1 0 是數(shù)列；公差為； SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。 SKIPIF 1 0 是數(shù)列；公差為； SKIPIF 1 0 是數(shù)列；公比為； SKIPIF 1 0 是數(shù)列；公比為； SKIPIF 1 0 是數(shù)列；公比為

8、；若數(shù)列 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 均為等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 仍為等差數(shù)列，公差為；若數(shù)列 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 均為等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 仍為等比數(shù)列，公比為； SKIPIF 1 0 仍為等比數(shù)列，公比為；如：（1）在等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；（2）在等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）等差數(shù)列 SKIPIF 1

9、 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；（2）等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；（3）等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；（4）若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 最大。（5）若 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 （6）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) SKIP

10、IF 1 0 的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 為中間的兩項(xiàng)） SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) SKIPIF 1 0 的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為中間項(xiàng)） SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意：（1）若 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也是等比數(shù)列，公比分別；（2）若 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列，則

11、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 也是等比數(shù)列，公比分別；三、判定方法：（1）等差數(shù)列的判定方法：定義法： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列中項(xiàng)公式法： SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式法： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列注意：是用來(lái)證明 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列的理論依據(jù)。（2）等比數(shù)列的判

12、定方法：定義法： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是不為零的常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法： SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是不為零常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式法： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是常數(shù)） SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列注意：是用來(lái)證明 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法：（1）觀察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2）21，203，2005，200

13、07，（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。遞推式為 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。遞推式為 SKIPIF 1 0 ：迭加法如：已知 SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 遞推式為 SKIPIF 1 0 ：迭乘法如：已知 SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 遞推式為 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)）：構(gòu)造法：、由 SKIPIF 1 0 相減得

14、SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列。、設(shè) SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列。如：已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 遞推式為 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 為常數(shù)）：兩邊同時(shí)除去 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 ，再用法解決。如：已知 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 遞推式為 SKIPIF 1 0 （

15、SKIPIF 1 0 為常數(shù)）：將 SKIPIF 1 0 變形為 SKIPIF 1 0 ，可得出 SKIPIF 1 0 解出 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 是公比為 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列。如：已知 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 （3）公式法：運(yùn)用 SKIPIF 1 0 已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ；已知 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ；已知 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1

16、 0 五、數(shù)列的求和法：（1）公式法：等差（比）數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 （2）倒序相加（乘）法：如：求和： SKIPIF 1 0 ；已知 SKIPIF 1 0 為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在 SKIPIF 1 0 之間插入 SKIPIF 1 0 個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以 SKIPIF 1 0 為首項(xiàng)， SKIPIF 1 0 為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這 SKIPIF 1 0 個(gè)正數(shù)的積 SKIPIF 1 0 ；（3）錯(cuò)位相減法：如：求和： SKIPIF 1 0 （4）裂項(xiàng)相消法： SKIPIF 1 0 ； SKI

17、PIF 1 0 ；如： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；（5）并項(xiàng)法：如：求 SKIPIF 1 0 （6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ，六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：（1）分類討論問(wèn)題：在等比數(shù)列中，用前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比 SKIPIF 1 0 進(jìn)行討論；只有 SKIPIF 1 0 時(shí)才能用前 SKIPIF 1 0 項(xiàng)和公式， SKIPIF 1 0 時(shí) SKIPIF 1 0 已知 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 時(shí)，要對(duì) SKIPIF 1 0 進(jìn)行討論；最后看 SKIPIF 1 0 滿