第3章隨機變量的數(shù)字特征之方差-概率論課件

1、 上節(jié)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.復(fù)習(xí)五條性質(zhì): 2022/10/141 上節(jié)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，2 方差 上節(jié)的例1 甲班有30名學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)考試成績(按五級記分)如右表所示,成績 1 2 3 4 5人數(shù) 2 5 10 8 5成績 1 2 3 4 5人數(shù) 0 0 14 6 0 乙班則該班的平均成績也是 你認為兩個班的成績一樣嗎? 為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們要介紹的 數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)的是隨機變量取值的平均水平,是隨機變量的一個 重要數(shù)字特征.則該班的平均成績

2、2022/10/1422 方差 上節(jié)的例1 甲班有30名學(xué)生，他們的2.方差 (Variance 或 Dispersion)定義.設(shè)X是一隨機變量，則稱EX-E(X)2稱為X的方差,記作D(X)即方差的算術(shù)平方根稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差，記作即若EXE(X)2存在，2022/10/1432.方差 (Variance 或 Dispersion)定義注:(2) 方差D(X) 用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散的程度,反映了X偏離其數(shù)學(xué)期望E(X)的程度.(3) 如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作為隨機變量X的代表性越差（好）.0 ;(1) 由定義知，D(X)=EX-E(X)2202

3、2/10/144注:(2) 方差D(X) 用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散的程度,3. 方差的計算 (1)利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式離散隨機變量的方差連續(xù)隨機變量的方差2022/10/1453. 方差的計算 (1)利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式離散隨PX -1 0 1 2 0.1 0. 1 0.5 0.3解：求例1. 設(shè)隨機變量X的分布列為=0.82022/10/146PX -1 0 (2)利用方差公式且E(X2)也存在,則證明:定理：設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)存在，2022/10/147(2)利用方差公式且E(X2)也存在,則證明:定理：設(shè)隨機變PX -1 0 1 2 0.1 0. 1 0

4、.5 0.3求例1(續(xù)). 設(shè)隨機變量X的分布列為PX2 1 0 1 4 0.1 0. 1 0.5 0.3PX2 1 0 4 0.6 0. 1 0.32022/10/148PX -1 0 解:例2.若XB(n, p), 求方差D(X).已求得=E(X),其中XB(n-1, p)2022/10/149解:例2.若XB(n, p), 求方差D(X).已求得=E解:例3. 若求D(X).已求得=E(X),其中XP( lambda )2022/10/1410解:例3. 若求D(X).已求得=E(X),其中XP( l已求得例4.若XU (a, b), 求D(X).解:2022/10/1411已求得例4.

5、若XU (a, b), 求D(X).解:202解:例5. 若求D(X).已求得=E(X),其中Xe( 1)2022/10/1412解:例5. 若求D(X).已求得=E(X),其中Xe( 指數(shù)分布r 為整數(shù) n 時， (n) = (n 1)! 2022/10/1413指數(shù)分布r 為整數(shù) n 時， (n) = (n 1)! U(a, b) e( ) P( ) B(n, p) (01) p pq np npq 常用隨機變量的期望與方差分布分布列或密度函數(shù)期望方差2022/10/1414U(a, b) e( ) P( ) B(n, p) 二、方差的性質(zhì)證:證:2022/10/1415二、方差的性質(zhì)證:

6、證:2022/10/1115證:2022/10/1416證:2022/10/1116例.已知隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)與設(shè)隨機變量試證證：(標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量)都存在,且2022/10/1417例.已知隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)與設(shè)隨機變量試證證：(標(biāo)求解：例.設(shè) X1, X2 相互獨立，由X1, X2 相互獨立，有2022/10/1418求解：例.設(shè) X1, X2 相互獨立，由X1, X2 相互獨2022/10/14192022/10/1119基本內(nèi)容： 一、原點矩與中心矩 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第三節(jié) 原點矩與中心矩第四節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)2022/10/1420基本內(nèi)容：第三節(jié) 原點矩與

7、中心矩第四節(jié) 協(xié)方差與相一、原點矩與中心矩1. k 階原點矩：2. k 階中心矩：特別地，k=1,E(X)為數(shù)學(xué)期望.k=2, EX-E(X)2為方差.k=2,E(X2)為2階原點矩,其計算公式特別地，k=1, EX-E(X)=0.2022/10/1421一、原點矩與中心矩1. k 階原點矩：2. k 階中心矩1.協(xié)方差定義.隨機變量X與Y的函數(shù)X-E(X)Y-E(Y)的數(shù)學(xué)期望存在，則稱其為X與Y的協(xié)方差,cov (X, Y),即記作二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 反映兩個變量X和Y相關(guān)性的數(shù)字特征2022/10/14221.協(xié)方差定義.隨機變量X與Y的函數(shù)X-E(X)Y-E協(xié)方差的簡便計算方法：20

8、22/10/1423協(xié)方差的簡便計算方法：2022/10/1123若X與Y相互獨立，則X與Y一定不相關(guān);分析:由于X與Y相互獨立,則協(xié)方差cov (X, Y) =0, 證明：由X與Y相互獨立，有兩個隨機變量獨立與不相關(guān)的關(guān)系：不一定成立.所以X與Y不相關(guān).反之,X與Y不相關(guān) cov(X,Y)=0.2022/10/1424若X與Y相互獨立，則X與Y一定不相關(guān);分析:由于X與Y相互獨定義.設(shè)隨機變量X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，為X與Y的相關(guān)系數(shù)，注：相關(guān)系數(shù)R(X,Y)僅表示X與Y之間的線性關(guān)系.則稱記作2. 相關(guān)系數(shù)2022/10/1425定義.設(shè)隨機變量X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，為X與Y

9、的相關(guān)基本內(nèi)容： 一、切比雪夫不等式 二、大數(shù)定律第五節(jié) 切比雪夫不等式與大數(shù)定律2022/10/1426基本內(nèi)容：第五節(jié) 切比雪夫不等式與大數(shù)定律2022/1對于任意的正數(shù)設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 E(X) 與方差D(X) 存在, 有或切比雪夫不等式2022/10/1427對于任意的正數(shù)設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 E(X) 與方差D(X) 存在證：僅選擇連續(xù)隨機變量的情形來證明.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f (x),則有2022/10/1428證：僅選擇連續(xù)隨機變量的情形來證明.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為注 (1)切比雪夫不等式的用途：它給出了在X的分布未知的情況下，估計概率的方法；(2)說明了方差D(X)的確刻畫了

10、X對E(X)偏離程度.由可知: D(X)越小(即X偏離E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3) 它是大數(shù)定律的理論基礎(chǔ).2022/10/1429注 (1)切比雪夫不等式的用途：它給出了在X的分布未知的情況例.已知正常男性成人的每毫升血液中白細胞數(shù)平均在7300, 標(biāo)準(zhǔn)差是700, 利用切比雪夫不等式估計每毫升血液中白細胞數(shù)在52009400之間的概率. (P94.19題)解：設(shè)隨機變量設(shè)X表示每毫升血液中白細胞數(shù)，依題意得2022/10/1430例.已知正常男性成人的每毫升血液中白細胞數(shù)平均在7300, （由切比雪夫不等式）2022/10/1431（由切比雪夫不等

11、式）2022/10/1131則對于任意的正數(shù)1. 切比雪夫定理定理：設(shè)獨立隨機變量序列X1, X2, , X n ,的數(shù)學(xué)期望E(X1), E(X2), , E(X n), ,D(X1), D(X2), , D(X n), 都存在，與方差并且方差是一致有上界的,即存在常數(shù)C,使得D (Xi) C, i=1,2,n,有2022/10/1432則對于任意的正數(shù)1. 切比雪夫定理定理：設(shè)獨立隨機變量序列X方差都存在，切比雪夫定理解釋：若獨立序列X1, X2, , X n ,的數(shù)學(xué)期望和并且方差是一致有上界的, 則n充分大時, 算術(shù)平均緊密地集中在其數(shù)學(xué)期望的附近.2022/10/1433方差都存在，

12、切比雪夫定理解釋：若獨立序列X1, X2, 2. 伯努利定理定理：在獨立試驗序列中，設(shè)事件的概率P(A)=p,則對于任意的正數(shù)有伯努利定理解釋：當(dāng)試驗獨立重復(fù)進行多次時，隨機事件A的頻率f n(A)將穩(wěn)定在事件A的概率的附近.2022/10/14342. 伯努利定理定理：在獨立試驗序列中，設(shè)事件的概率P(A1. 理解方差的定義：2. 熟悉方差的性質(zhì):內(nèi)容小結(jié)2022/10/14351. 理解方差的定義：2. 熟悉方差的性質(zhì):內(nèi)容小結(jié)202(5) 若E(X) 與 D(X) 存在，對于任意的正數(shù)(4) 對于任意實數(shù)CR，有E ( X-C )2D( X )當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時, E ( X-C )2取得最小值D(X).有2022/10/1436(5) 若E(X) 與 D(X) 存在，對于任意的正數(shù)(4)3.熟悉一些常見分布的方差 若XB(n, p), D(X) = npq; 若 若XU(a, b), 若2022/