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1、11 年12 年第一學(xué)期離散結(jié)構(gòu)(上卷B卷答考試時(shí)間共 120 分鐘題二三四總得閱卷人一、填空題 (12,14 題每空1 分,其余每題2 28 分令p:這學(xué)期選, q:這學(xué)期選學(xué)日語(yǔ). 命題”這學(xué)期, 只能選令F(x):x是角H(x,y):x=yL(x,y):x與y是對(duì)頂角. 命題”相等的兩個(gè)角未必都是對(duì)頂角.”的符號(hào)化形式為(xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)或者xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y).給定解釋I為f(x):f(3)=4, 則公式xyF(x,y)在I 下的真值為(假, A=x|x=n2nNB=x|x=n109nN, 則BC的基數(shù)為(0設(shè)p,r為真命題q,s
2、為假命題, 則復(fù)合命題(pq)(rs)的真值為(假Ap,q,r, AM0M2M3M5, A的主析取范A,B為任意命題公式, 拒取式推理定律為設(shè)A是含n(n1)個(gè)命題變項(xiàng)的公式, 若A為重言式, 則A的主析取范式含(2n)個(gè)極小項(xiàng)公式(xG(x) xF(x)yG(y)xF(x)的類型為(重言式縮小量詞的轄域: x(F(x)B)(xF(x)B), 其中B不含x的出現(xiàn)設(shè)f:NNNf(x)=x,x+1A=5B=, 則A在f下的像f(A)=(B在f下的設(shè) A=a,b,c,d,e,f, R 是 A 上的關(guān)系, 且 R=, 設(shè) R*=tsr(R), 則商判斷下列命題的真假二、計(jì)算或簡(jiǎn)答題 (每題5 分,共4
3、5 分(要求: 寫出運(yùn)算過(guò)程, 直接給出結(jié)果不得分.) (要求: 寫出運(yùn)算過(guò)程, 直接給出結(jié)果不得分.) 判斷下面公式的類型, 并敘述理由解: 該蘊(yùn)涵式為永真式, 事實(shí)上任取解釋I, I 下, 蘊(yùn)涵式前件xyF(x,y)為假, 則該蘊(yùn)涵式為真; 若前件xyF(x,y)為真, 必存在I 的域DI中的常項(xiàng)x0, 使得yF(x0,y)為真, 即對(duì)任意的yDI, F(x0,y)為真. 由于有x0DI使得F(x0,y)為真, 所以xF(x,y)為真. 而其中y是任意變項(xiàng), 所以yxF(x,y)為真. 故蘊(yùn)涵式xyF(x,y)yxF(x,y)為真, 再由I的任意性, 所以該公式為永F,G,H為關(guān)系, 判斷
4、下面結(jié)論是否成立, 若成立請(qǐng)給出證明, 否則請(qǐng)給出一個(gè)反例. 解: 結(jié)論成立. 理由如下:任取x,y 設(shè)A=1,2,3,4,5,6, R為A上的關(guān)系, R的關(guān)系圖R2 的集合表達(dá)式61234求s(R), t(R)的集合612345解Rn=Rn-1R=Rn-2RR=R2RRR=R2RR=R2 設(shè)為偏序集, 在A 上定義新的關(guān)系S 如下x,yA, 證明SA上偏序關(guān)系偏序集和中的極大元, 極小元, 最大元, 最小元之間有什么關(guān)系, 并給出理由. S是自反的 yRx S是稱的xSy ySzzRy S是傳遞的從而SA上偏序關(guān)系z(mì)是z是中的極小元, 理由如下: z 是中的極大元x(xAzRxx(xAxSz
5、z 是中的極小元.z是z是中的極大元. z是z是中的最小元. z是z是中的最大元.A=1,2,3,R為AA 上的等價(jià)關(guān)系, 且,R當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)I為AA 上的恒等關(guān)系, R-求R對(duì)應(yīng)的AA解由,Rab=cd, ,2, A,B為集合,試確定下式成立的充分必要條件并說(shuō)明原因 方法二 (A-B)(B-A)=A-B=是AB=A的必要條件, 充分性顯然設(shè)S=x|xRx-1,T=x|xRx0,R為實(shí)數(shù)集, f是從S到T的函數(shù)說(shuō)明f是否為單射或滿射, 給出理由求f的反函數(shù)求解任取即f是單射. 又任取yT, x=y2-1, 易知f(x)=y, 故f是滿射f-1(x)=x2-xx1x1三、證明題 (每題5 20 分
6、A,B都是含命題變項(xiàng)p1,p2,pn的公式, 證明: AB 是重言式當(dāng)且僅當(dāng) A 與 B 都是重言式.證明由于對(duì)任意的賦值(p1,p2,pn), (AB)為真當(dāng)且僅當(dāng)(A)為真且(B)為真, A B 是重言式當(dāng)且僅當(dāng) A 與 B 都是重言式.充分性: A B 都是重言式, 則對(duì)任意的賦值(p1,p2,pn), (A)為真且(B)為真,從而(AB)為真, 故AB 為重言式.必要性: 假設(shè)AB是重言式, 則對(duì)任意的賦值(p1,p2,pn), (AB)為真, 從而(A)為真且(B)為真, 故A 與 B 都是重言式.NL中, 構(gòu)造下面推理的證明前提: x(F(x)(G(a)R(x), 結(jié)論: (要求:
7、只能使用上所述15條推理規(guī)則, 每步推理后須注明使用的規(guī)則, 如假言推理.)A,B,C為集合,證明A(B-C)=(A-C)(B-證明 xA(B- xAx(B- xA-CxB- x(A-C)(B-因此A(B-C)=(A-C)(B-設(shè)f:AB, g:BC, 且fg:AC是雙射的. 證明f:AB是單射g:BC是滿射.假設(shè)f(x1)=f(x2), 其中x1和x2A. x1=x2(由于fg的雙射性)從而證明了f 是單射.cC, fg是雙射, aA, fg(a)=c, g(f(a)=c, f(a)B, 是滿射四、應(yīng)用題(共7分,在某班班委成員的中, 已知,甲說(shuō): 為班長(zhǎng), 為生活委員. 乙說(shuō): 為班長(zhǎng), 為生活委員.丙說(shuō): 為班長(zhǎng), 為學(xué)習(xí)委員.,三位同學(xué)被選進(jìn)了班委會(huì). 該班的甲,班委會(huì)分工后發(fā)現(xiàn), 甲,乙,丙三人都恰好猜對(duì)了一半. 問(wèn), ,(要求: 寫出運(yùn)算過(guò)程, 直接給出結(jié)果不得分.)設(shè) p1: 是班長(zhǎng),p2: 是班長(zhǎng), p3: 是班長(zhǎng)q1: 是生活委員,q3: 是生活委員,r1: 是學(xué)習(xí)委員.甲對(duì)了一半: (p1q3)(p1q3) 根據(jù)題意, 正確的任職應(yīng)為下式F F(p1q3)(p1q3)(p2q(p1q
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