(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第38講《空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積》（講）（解析版）

1、第38講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及表面積與體積（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理eq avs4al(1.簡(jiǎn)單幾何體,1多面體的結(jié)構(gòu)特征) 名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形特殊的四棱柱eq x(四棱柱)eq o(,sup7(底面為),sdo5(平行四邊形)eq x(aal( 平行,六面體)eq o(,sup7(側(cè)棱垂直),sdo5(于底面)eq x(aal(直平行,六面體)eq o(,sup7(底面為),sdo5(矩形)eq x(長(zhǎng)方體)eq o(,sup7(底面),sdo5(邊長(zhǎng)相等)eq x(正四

2、棱柱)eq o(,sup7(側(cè)棱與底面),sdo5(邊長(zhǎng)相等)eq x(正方體)多面體的關(guān)系：eq x(棱柱)eq o(,sup7(一個(gè)底面退化),sdo5(為一個(gè)點(diǎn))eq x(棱錐)eq o(,sup7(用平行于底面的),sdo5(平面截得)eq x(棱臺(tái))(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長(zhǎng)度相等且相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)2直觀圖(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中

3、平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半3圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(rr)l4空間幾何體的表面積與體積公式名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底Veq f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下Veq f(1,3)(S上S下eq r(S上S下)h球S4R2Veq f(4,3)R3題型歸納題型1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1-1】給出下列命題：在圓柱的上、

4、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D.3【解析】不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等【答案】A【跟蹤訓(xùn)練1-1】下列命題正確的是()A兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多

5、面體是棱臺(tái)C直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【解析】如圖所示，可排除A、B選項(xiàng)對(duì)于D選項(xiàng)只有截面與圓柱的母線平行或垂直，截得的截面才為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分，故選C. 【答案】C【跟蹤訓(xùn)練1-2】(多選)給出下列命題，其中真命題是()A棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直C在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體【解析】A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，

6、但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)二面角都是直二面角；C正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形 【答案】BCD【名師指導(dǎo)】辨別空間幾何體的2種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可題型2 空間幾何體的表面積【例2-1】(1)(2019四川瀘州一診)在梯形ABCD中，ABCeq f(,2)，AD

7、BC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A(5eq r(2)B(4eq r(2)C(52eq r(2) D.(3eq r(2) (2)(2020河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30，則該三棱柱的側(cè)面積為()A44eq r(2)B44eq r(3)C12 D.84eq r(2) 解析(1)在梯形ABCD中，ABCeq f(,2)，ADBC，BC2AD2AB2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑

8、為AB1，高為BC2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為AB1，高為BCAD211的圓錐，該幾何體的表面積S122121eq r(1212)(5eq r(2).故選A.(2)連接A1B.因?yàn)锳A1底面ABC，則AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2eq r(2)，BCeq r(2).又ABBC，則ABeq r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2eq r(2)22244eq r(2).答案(1)A(2)A【跟蹤訓(xùn)練2-1】在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長(zhǎng)最短50 cm，最長(zhǎng)8

9、0 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S_cm2.【解析】將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形由題意得所求側(cè)面展開(kāi)圖的面積Seq f(1,2)(5080)(40)2 600(cm2)【答案】2 600【名師指導(dǎo)】求解幾何體表面積的類(lèi)型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，

10、再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積題型3 空間幾何體的體積【例3-1】(2019江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐DBB1C1的體積為_(kāi) 解析如圖，取BC中點(diǎn)O，連接AO.正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，AC2，OC1，則AOeq r(3).AA1平面BCC1B1，點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq r(3).又Seq avs4al(BB1C1)eq f(1,2)222，Veq avs4al(DBB1C1)eq f(1,3)2eq r(3)eq f(2r(3),3).答案eq f(2r(3),3)【例3-2】(1)(2019全

11、國(guó)卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)g. (2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為_(kāi)解析(1)由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別為6 cm和4 cm，故V挖去的四棱錐eq f(1,3)eq f(1,2)46312(cm

12、3)又V長(zhǎng)方體664144(cm3)，所以模型的體積為V長(zhǎng)方體V挖去的四棱錐14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為1320.9118.8(g)(2)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EGHFeq f(1,2)，AGGDBHHCeq f(r(3),2)，則BHC中BC邊的高h(yuǎn)eq f(r(2),2).SAGDSBHCeq f(1,2)eq f(r(2),2)1eq f(r(2),4)，V多面體VEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHCeq f(1,3)eq f(r(2),4)eq f(1,2)2eq f(r(2)

13、,4)1eq f(r(2),3).答案(1)118.8(2)eq f(r(2),3)【例3-3】如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為() A.eq f(r(3),12) B.eq f(r(3),4)C.eq f(r(6),12) D.eq f(r(6),4)解析易知三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積，又三棱錐AB1BC1的高為eq f(r(3),2)，底面積為eq f(1,2)，故其體積為eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)eq f(r(3),12).答案A【跟蹤訓(xùn)練3-1】如圖，正四

14、棱錐PABCD的底面邊長(zhǎng)為2eq r(3) cm，側(cè)面積為8eq r(3) cm2，則它的體積為_(kāi)cm3.【解析】記正四棱錐PABCD的底面中心為點(diǎn)O，棱AB的中點(diǎn)為H，連接PO，HO，PH，則PO平面ABCD，因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積為8eq r(3) cm2，所以8eq r(3)4eq f(1,2)2eq r(3)PH，解得PH2，在RtPHO中，HOeq r(3)，所以PO1，所以VPABCDeq f(1,3)S正方形ABCDPO4 cm3. 【答案】4【跟蹤訓(xùn)練3-2】如圖，已知體積為V的三棱柱ABCA1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點(diǎn)，則四棱錐PAA1C1C的體積為_(kāi)【解

15、析】如圖，把三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成平行六面體A1D1B1C1ADBC.設(shè)P到平面AA1C1C的距離為h，則Veq avs4al(PAA1C1C)eq f(1,3)Seq avs4al(AA1C1C)heq f(1,3)Veq avs4al(AA1C1CDD1B1B)eq f(1,3)2Veq avs4al(ABCA1B1C1)eq f(2V,3).【答案】eq f(2V,3)【名師指導(dǎo)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾

16、何體，便于計(jì)算其體積等體積法一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解等體積法也稱(chēng)等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積題型4 與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【例4-1】(2019全國(guó)卷)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90，則球O的體積為()A8eq r(6) B4eq r(6)C2eq r(6) D.eq r(6)解析法一：E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，EFPB.CEF90

17、，EFEC，PBEC，又三棱錐PABC為正三棱錐，PBAC，從而PB平面PAC，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PAPBPCeq r(2)，則球O是棱長(zhǎng)為eq r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2Req r(3)eq r(2)，Req f(r(6),2)，球O的體積Veq f(4,3)R3eq r(6).故選D.法二：令PAPBPC2x(x0)，則EFx，連接FC，由題意可得FCeq r(3).在PAC中，cosAPCeq f(4x24x24,24x2)eq f(2x21,2x2).在PEC中，EC2PC2PE22PCPEcosEPC4x2x222xxe

18、q f(2x21,2x2)x22，在FEC中，CEF90，F(xiàn)C2EF2EC2，即x22x23，xeq f(r(2),2)，PAPBPC2xeq r(2).ABBCCA2，三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面為等腰直角三角形，PA，PB，PC兩兩垂直，故球O是棱長(zhǎng)為eq r(2)的正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則2Req r(3)eq r(2)，Req f(r(6),2)，球O的體積Veq f(4,3)R3eq r(6).故選D.答案D【例4-2】(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq f(V1,V2)的值是_(2)

19、已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2eq r(3)，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)解析(1)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq f(V1,V2)eq f(R22R,f(4,3)R3)eq f(3,2).(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE，ABC是正三角形，AE是BC邊上的高和中線，D為ABC的中心AB2eq r(3)，SABC3eq r(3)，DE1，PEeq r(2).S表3eq f(1,2)2eq r(3)eq r(2)3eq r(3)3eq r(6)3eq r(3).PD1，三棱錐的體積Veq f(1,3)3eq r(3)1eq r(3).設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則req