高中 高一 數(shù)學(xué) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的性質(zhì)（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

1、5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（第一課時(shí)）(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章)深圳高級(jí)中學(xué)（東校區(qū)） 陳欣一、教學(xué)目標(biāo)1.通過觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，感悟正、余弦函數(shù)的周期性，理解周期函數(shù)的概念，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及、等函數(shù)周期的一般求解方法2. 經(jīng)歷正弦函數(shù)、余弦函數(shù)奇偶性的證明過程，掌握與相關(guān)函數(shù)的奇偶性判斷及對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的問題求解。3. 感悟函數(shù)的周期性、奇偶性對(duì)研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的作用，為后續(xù)利用三角函數(shù)性質(zhì)解決問題作鋪墊。二、教學(xué)重難點(diǎn)1. 利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，得到其周期性、奇偶性，并給予代數(shù)證明2. 用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問題三

2、、教學(xué)過程1.直觀感知，新課導(dǎo)入 引導(dǎo)語：同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，并掌握了利用“五點(diǎn)作圖法”繪制正弦、余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)在同學(xué)們觀察其圖象，用自己的語言描述一下正、余弦函數(shù)的圖象具有哪些特點(diǎn)？：生：函數(shù)圖象循環(huán)往復(fù)，周而復(fù)始地向兩邊延伸，而且有起有伏，具有很好的對(duì)稱性。師：圖象的這些特點(diǎn)其實(shí)蘊(yùn)藏著正弦函數(shù)、余弦函數(shù)豐富的規(guī)律性，即函數(shù)的性質(zhì)，與“周而復(fù)始”相對(duì)應(yīng)的是周期性，而與“對(duì)稱”相對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的奇偶性。下面我們一起來探索學(xué)習(xí)這兩大性質(zhì)周期性、奇偶性。設(shè)計(jì)意圖：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象形態(tài)優(yōu)美，波浪起伏，周而復(fù)始，既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。學(xué)生首先通過直觀感知

3、函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，從而激發(fā)起探索的欲望。2.師生互動(dòng)，新知探究2.1周期性師生活動(dòng)：觀察正弦函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，圖象上橫坐標(biāo)每隔個(gè)單位長度，就會(huì)出現(xiàn)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，即自變量的值增加的 整數(shù)倍時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值保持不變，數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)都有，且，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期。師：根據(jù)周期的定義，正弦函數(shù)的周期是多少？其周期唯一嗎？生： 以及都是正弦函數(shù)的周期。事實(shí)上且，常數(shù)都是它的周期。師：這一點(diǎn)可從定義看出，也能從誘導(dǎo)公式中體現(xiàn)出來。咱們都知道：

4、，那么是正弦函數(shù)的一個(gè)周期嗎？為什么？生：不是，比如，并不是對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)都有。師：若一個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期是,則都是函數(shù)的周期嗎？生：是的，由定義可知：。師：這說明周期函數(shù)的周期不止一個(gè)。定義：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期。注：如果不加特別說明，所說的周期一般都是指函數(shù)的最小正周期。 并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如，對(duì)于常數(shù)函數(shù)（是常數(shù)），所有的非零實(shí)數(shù)都是它的周期，顯然在非零實(shí)數(shù)集中并不存在最小的正數(shù)。根據(jù)上述定義，我們有：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是。類似地，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小

5、正周期是。教師指出：最小正周期是函數(shù)最具代表性的一個(gè)周期，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，如果不加特別說明，那么所涉及的周期，一般都是指函數(shù)的最小正周期。但并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如，常函數(shù)（為常數(shù)），所有的非零常數(shù)都是它的周期，顯然在非零實(shí)數(shù)組成的集合中并不存在最小的正數(shù)，所以常函數(shù)并不存在最小正周期。設(shè)計(jì)意圖：從正弦函數(shù)的圖象入手分析其規(guī)律，歸納一般得到周期函數(shù)的定義，全方位理解周期及最小正周期的含義，為下面研究做鋪墊。例1求下列函數(shù)的周期： 師生活動(dòng)：對(duì)于這些問題，學(xué)生能夠求出周期，但是不清楚如何規(guī)范地表達(dá)，這是本例的難點(diǎn)所在教師要基于學(xué)生課堂上的生成，給出分析求解的思路和程序，并加以示范，

6、幫助學(xué)生理解求解的步驟如下：第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換.比如對(duì)于“（1），”，令，所以；第二步，利用已知三角函數(shù)的周期找關(guān)系.有，代入可得；第三步，根據(jù)定義變形.變形可得，于是就有；第四步，確定結(jié)論.根據(jù)定義可知其周期為師：回顧例1的解答過程，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中哪個(gè)量有關(guān)？生：周期和自變量的系數(shù)有關(guān)。師：一般地，你能說出函數(shù)與的周期嗎？（其中A，為常數(shù)，且），請(qǐng)給出證明。師生探究：令，由得，且函數(shù)及函數(shù)的周期都是，由于，所以，自變量增加時(shí)，函數(shù)值不變，從而函數(shù)的周期為。同理，函數(shù)的周期也為。師：上述求函數(shù)與周期的方法是否能推廣到求一般周期函數(shù)的周期？即命題“如果函數(shù)的周期是，那么函數(shù)

7、的周期是”是否成立？師生活動(dòng)：由猜想到證明，教師引導(dǎo)學(xué)生利用周期性定義證明猜想。設(shè)計(jì)意圖：通過例題深化對(duì)周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進(jìn)而幫助學(xué)生理解函數(shù)的周期，為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。從特殊到一般，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，從三角函數(shù)推向一般函數(shù)的周期研究。2.1奇偶性師生活動(dòng)：觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。余弦曲線關(guān)于 y 軸對(duì)稱。這一事實(shí)，也可由誘導(dǎo)公式 sin-x=-sinx；cos-x=cosx 得到例2（1）函數(shù)f(x)eq r(2)sin 2x的奇偶性為 ()A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)(2) 判斷函數(shù)的奇偶性解：(1

8、)f(x)的定義域是R，且f(x)eq r(2)sin 2(x)eq r(2)sin 2xf(x)，函數(shù)為奇函數(shù) (2)，所以函數(shù)為偶函數(shù)方法提煉：1判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個(gè)方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二看f(x)與f(x)的關(guān)系。2對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡師：今天我們學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性，那么，知道一個(gè)函數(shù)具有周期性和奇偶性，對(duì)研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助?生：可以根據(jù)周期函數(shù)圖象的重復(fù)性，只要認(rèn)識(shí)一個(gè)周期上函數(shù)的性質(zhì)，那么整個(gè)定義域上函數(shù)的性質(zhì)就完全清楚了，另外奇偶性也可起到簡化研究函數(shù)性質(zhì)的作用。設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深對(duì)周期性和奇偶性的認(rèn)識(shí)與理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用從部分到整體的思想解決問題。3.活學(xué)活用，及時(shí)鞏固1.求下列函數(shù)的周期，并借助信息技術(shù)畫出下列函數(shù)的圖象進(jìn)行檢驗(yàn)：（1），；（2），；（3），；（4），.（5），2.下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4），.3.定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且時(shí)，則的值為_ 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生當(dāng)堂限時(shí)訓(xùn)練并派代表上臺(tái)板演，老師評(píng)價(jià)并針對(duì)性講