隨機(jī)變量的數(shù)字特征教案

1、 一教學(xué)目標(biāo)及基本要求（1）理解數(shù)學(xué)期望和方差的定義并且掌握它們的計(jì)算公式；（2）掌握數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，特別是利用期望或方差的性質(zhì)計(jì)算某些隨機(jī)變量函數(shù)的期望和方差。（3）熟記 0-1 分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期 望和方差；（4）了解矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，并會(huì)計(jì)算。二教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差方差的概念及計(jì)算、方差的性質(zhì)、常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望及方差簡(jiǎn)單歸納協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩和協(xié)方差矩陣三本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)a) 數(shù)學(xué)期望、方差的具體含義；b) 數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)，使用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧；特別

2、是級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算。c) 期望、方差的應(yīng)用；四本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬念和公式拓寬到 n 維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣。五教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題a) 一個(gè)隨機(jī)變量并不一定存在數(shù)學(xué)期望和方差，也有可能數(shù)學(xué)期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子；b) 數(shù)學(xué)期望的一個(gè)具體的數(shù)字，不是函數(shù)；12. 方差的定義為什么不是5隨機(jī)變量 與 獨(dú)立可以推導(dǎo)X Y例 解 306010_8.810010010010028359351030353530_X 乙89108.95100100100100 XX x p (i 1,2 )x piiiii1X x p = x p ，iiiii1i1例 1 1

3、到 6 ii1解 設(shè)XX1123P 125/216 75/216 15/216 1/ 2161 (1)123 ( ) 設(shè) X x ( ) ( )稱X x = x 例 設(shè) X31x, 1 x0, f x 1x, 0 x1,求.EX0,其他.解 得 ) 0 x dx x dxEX ( ) 1 0 xf x dxx dx0 x1x dx1x101 0 x 1x dx1xxdx0.10二、常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望 c 1離 散 型 隨 機(jī) 變 量 X 只 取 常 數(shù) c ， 即 P X， 因 此E(X)c1c， 1 p, P X 0 1 pq,0 pX P X則E(X)1p0q .3. n1 P XX

4、 x , i 1,2, ,.in111 1nE(X) x x x n nx.i1n2nni14X b(n, p)X P X k C p q , k ,kknknn!nn kC p q kp qk則kknknkk(nknk0k0n!np qknk(knkk14(n1)!nnpp qk1 (n1)(k1)(k1)! (n1)(k1) !k1 np pq.n15 X P X =k 1 pp, k 1,2,k111時(shí) , xk1x)2k1 1 1 .E X k 1 p k1 p p k 1 p k1 pp2pk1k16X C C , k 0,1, ,min n,M .knkNMCnNP X k M M

5、nE X k p X k n .Nk07 kk e , k ,X P X則k!k1 k e e 。E X k e e k!(kk0k1常用連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望1 ,bX a 1f x ba, axb, 0其他1則E(X) xf(x)dx0 x0dx xdx x0dxbbaab11 x2abba bxdx=.baba 22a25 X,x0 e xf x ,0,x0 x0 x e 則E(X) (x) 0 x0 11 .xd e =-xe e dx0 exxxx0000 N ,2X1 f x (x)2e, x,21x( )2xE(X) ( ) xf x dxxedx y=）1= ey2dy2y2ey

6、2dy2= yedy2=.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望g(X)g(X) X 設(shè)g(X)X x p , 1,2,3, g(x )p PiXiiiii1 g(X)Y6 Eg(X) g(x )piii1(x) ( ) ( )g x f x X f g(X)Y g(Xg x f x ( ) ( )X=YYX=例 XX 0 1 2P 1/ 2 1/ 4 1/ 4求E(X22)。1114(X 2)(0 2) (1 2) (2 2)解 E2222243 6 131 4 4 4 例 設(shè)X 1E X e. X2解 X ,x0, exf x 0, x0.且11 Ee e f x dx e e dx ,2X2x2xx30

7、 1 4E X e EX Ee 1 .22X X3 3二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 YYY，XY7= =g XxyP= = ,ij(x ,y ) p若則iji1 j1g(x ,y )PXY)iji1 j1若 g(x,y)f(x,y)dxdy g(x,y)f(x,y)dxdyXY則 例 1解 以 y y 3y,當(dāng)x , H(X)3x(y x), 當(dāng)x 時(shí)。14000H(X)H(X)f(x)=而E =200011y(4x y)dx3ydxy=+2000120002000y 7000y4106 2E = 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)8ccc=Y=X與Y=C CmCMNmnm例 PnmNn解 ， 第 次抽得廢品iX

8、，第i 次抽得好品iMM則PX ， X 01 .NNiiM(X ) ， X X X XE而N12innME(X) E(X ) E(X )1nN4.2 X X X E(X)E(X) 0. 2E X EXE(X EX) E X XEX9稱E X2 設(shè)X EXEXXD(X)，或Var(X)D(X) X 為 2(X) E X EXg P X x , i若 X pii 2D(X) E X x p.2iii1(x)若 X f22D(X) E X x f(x). .D(X) E X EX222 2D(X) E X E X 2 2 E X E 2 E 22 E X 2 EX EX E X EX .22222例

9、 X1x, 1 xp(x)1x, 0 x D(X).1解 E(X)0 xx x x(1x x10E(X ) x (1x x x (1x x01222101 ,6(X) E(X )E(X)D2211 02 .66二、 常用離散型分布的方差101 ： c 1X cP X， E(X)c1c， D(X)=E X EX E cc 0.222 ： 1 p, P X 0 1 pq pX P X(X)1p0q p, E(X )1 p0 q p,則E222 p p .D(X) E(X ) EX2223n：1 P XX x , i 1,2, ,.in111 1nE(X) x x x n nx ,i1n2nni11

10、11 1n nnE(X ) x x x x ,2212222nnnii1221 1 1 nnnnD(X) E(X ) x x = n x x .2222nn n ii2iii1i1i1i14：X b(n, p)X P X k C p q , k ,kknknn!nn kC p q kp qk則kknknkk(nknk0k0n!np qknk(knki1(n1)!nnpp qk1 (n1)(k1)(k1)! (n1)(k1) !i1 np pq.n111 n!nnE X k C p q kp qk22kknknk(knkni0i1n!(knkn!nn (kp q p qkknknk(knki1i

11、1n(n1)p (n2)!2np qk2 (n2)(k2)np(k2)! (n2)(k2) !i2 n(n1)p2np. 2DX E X EXn(n1)p np np .2225： k 1 pp, k 1,2, , X P Xk111時(shí) , xk1x)2k1 1 1 .E X k 1 p k1 p p k 1 p k1 pp2pk1k1x當(dāng) x1時(shí) k x ,2k1(1x)3k1 22ppE X k 1 p k1 p p k 1 p k1 p,222p3p2k1k1 2 p 1q 2D(X) E X .2p2p2p26： X C C , k 0,1, ,min n,M .knkNMCnNP X

12、 k M M(NM)(Nn).nE X k p X k n .D(X)NN (N 2k07： kk e , k ,X P X則k!12k1 kE X k e e e e 。k!(kk0k1 kk1kE X k e e 22k!(kk0k1kkee(k(kk2k1k2k1 ， 2ee2(k(kk2k1 D(X) E X EX + . 2222三、 常用連續(xù)型分布的方差1： ,b a X1, a xb f x ba,0otherwise1 則E(X) xf(x)dx00dx xdx 0dxbbaab11 x2abb bxdx=.baba 22aa1a b2 2(X ) x f(x) 00 x 0d

13、x=,b而E222ba3ababb ab ba) a2222(X) E(X ) EX .D2232122： X , 0 x e xf x ,0,x0 則E(X) (x) 00 x e x0 11 .xd e =-xe e dx0 exxxx00001322 ,(X ) x f(x) x e dxx e而E2xxx222 2000211 2 D(X) E(X ) EX .22 223：X N ,21 f x (x)2e, x,22D(X) x f(x)1x (x)2xey=dx2）2=y2 yy22dy y e2d e22212y2y2=-ye edy . 2222四、 方差的性質(zhì)(X)設(shè) DX

14、 aD(a)0；D(Xa)D(X)；(aX) a D(X)D2X 與 X 21D(X X ) D(X )D(X )；1212,X,XX12n nn C X C D(X 2iiiii1i1*五、切比雪夫不等式14定 理 對(duì)隨機(jī)變量 X ，設(shè) E(X), D(X)0， 有均存在，則對(duì)任意 ( )( ).D XD X 1P X EX P X EX 22D(X)X EX XEX例 至解 X B， 2400，則 XP X P( X 2400 P( X EX 200)10.94.2002例 A A到 A到解 AXX B(1000,0.5),E(X)10000.5500,D(X)10000.50.5250,

15、 P 400 X 600 P 400500 X 500600500D(X)250100 P | X E(X)100 110.97510022nX B(1000,0.5),求nXP 0.65 P nn X nnnn P X 0.5n 0.15n 0.95150.25nP X 0.5n 0.15n 11(0.15n)2(0.15n)21只要10.95, n222.20.9n4.3 ,Y XX 與Y X 與Y 一、 協(xié)方差1.協(xié)方差的概念 E X E Y， X 與Y ,Y X D X ，D Y X 與Y X 和Y 則 E X E X Y E Y 0 X E X Y E Y 0YEX 和 若E X E

16、 X Y E Y YX 與 ,Y X Cov X,Y E X E X Y E Y . X E X X E X 與X 與 X E X Y E Y X Y16 ,Y X與X 、Y X,Y Y,X ， X,X D X .X 與Y D X Y D X D Y X,Y . ,Y將 X X,Y E E X E Y . X,Y 0X 與Y ,Y 0當(dāng) XX 與Y X,Y 0 X 與Y X 與Y ,Y 0） X）X 與Y E X E Y）E Y D X D Y）D XX 與Y X 與Y X 與Y X 與Y 相X 與Y X 與Y ,Y例 設(shè) XX14PiY10021P j17 E X X,Y 0，X 與Y 0

17、E Y 5 2 E 0， 2,Y 1 0 P X 2 P Y 1 X 與Y P X X 與Y X 與Y Y X Y X 22.協(xié)方差的性質(zhì) , X,Y，a b,） X ,Y X ,Y X ,Y） X.1212 Cov X,Y D X D Y . ,Y E E X E Y Xt f t D Y t D X X,Y D Y .2 f t 0 0f t 0因?yàn)閷?duì)一切實(shí)變量tD Y2 Cov X,Y 4D X D Y 0，故 Cov X,Y D X D Y . ,Y例 X8xy 0 x y1 f x,y 0其他 ,Y求 X。 解 E X ，E Y ，E 8 10E X x f x y dxdy,11d

18、x x xydy84 1xx dx22，15 0 x 834 1y f x,y dxdy 1dx1y8xydy x 1x dx E Y，35 0 x018 8349 1E XY xy f x y dxdy,11dx xy xydy8x21x dx3， 0 x04 8 44 Cov X,Y E XY E X E Y .9 15 5 225 ,Y例 X3x 0 y x1 f x,y ，0其他 ,Y求 X。 解 E X ，E Y ，E 3 E X dx x3xdy 3x dx ，11x3430001032 1dxxy3xdy x dx E Y，380033 11dxxxy3xdyx dxE XY，4

19、2010003 3 3 3Cov X,Y E XY E X E Y 10 4 8 160 .二、相關(guān)系數(shù)1.相關(guān)系數(shù)的概念X 與Y X 與Y kX Y kYX 與Y X，k11管X 與Y X 與Y X 與Y 11112X 與Y k X ,Y k X,Y .211X 與Y 的X 與Y D X 0,D Y 0,Y 設(shè) X19 D X D Y X,YXYX 與Y 。形 式 上 可 以 把 相 關(guān) 系 數(shù) 視 為 “ 標(biāo) 準(zhǔn) 尺 度 下 的 協(xié) 方 差 協(xié) 方 差 作 為 ， ， 的X E X Y E Y X YX Y1X Y ,Y例 X8xy 0 x y1 f x,y 0其他求。XY844 E Y

20、Cov X,Y 解 2E X，.155225 1 E X x f x,y dxdy 1dx1x 8xydy ，22232 0 x E Y y f x y dxdy,11dx y xydy8222，3 0 x得 1811 2 D X E X E X 22 ，3 15225 2 4 22 D Y E Y E Y 22 ，3 575 則4 D X D YCov X,Y2 663322511 2.XY225 752.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ,Y XX 與Y XY201XYXY 10a a與 bP Y b 1. Cov X,Y D X D Y ，得 D X D YCov X,Y1.XY1XY Cov X,Y D

21、 X D Y f t 0,Y D X D Y又 Cov X1 aXYD Y 0，P Y b 1.0 當(dāng)X ，Y X ，Y XY0X 、Y ）XY X ，Y X ，Y 。XY X 與Y 。XY 0 1稱X 與Y XY XYXY21 X 與Y 從0XY例 X 與Y U 2X Y ，求U 和V 解 V 2X Y 。 D U D 2X Y D V D 2X Y ， U,V 2X Y,2X Y 2X,2X Y,2X 2X,Y Y,Y X,X Y,Y 4D X D Y 3 D X D Y X,Y 355. ,Y例 X83, 0 x y0.5,0 x,y1 f x,y 0,其他求X 和Y (X) E(X )

22、 EY) EY )2 、解 E、2 、(X)、Y)及E()。Cov(X,Y)=E()E(X) EY)=0.0471 D X D Y X,Y.224.4 n一、隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩和中心矩 c k 設(shè)X ckE X為X c點(diǎn)的k 0a E Xk 當(dāng)c 當(dāng)c X 的kk E Xb E X E X k X 的kk0 b b X 12 D X 。*二、 維隨機(jī)向量的概念n ,X , ,XnX ,X , ,X 設(shè) X12n12n,X , ,X Xnn12nnX iX ,X , ,X,X , ,X X12n12n,X , ,X為nR XR nn12nf x ,x , ,x,X , ,XX 設(shè)n X12n12n

23、i ,n f x ， iii f xf x ,x , ,x f x f x12n1122nn,X , ,XX12n23*三、 維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣nn ,X X 12 c E X E X 21111 c E X E X X E X 1122 c E X E X X E X 2211 c E X E X 22222c c11c c122122 ,X X12設(shè) n X,X , ,X12n c X ,Y E X E X X E X i, j 1,2, ,nijiijjc cc11c c12nc2nC 2122c c1cnnn2為 n Xij,i,j ,n,X , ,X c c12nijji ,Y N , , , X與Y例 X212212解 c D(X) ,