隨機(jī)向量的變換

1、隨機(jī)向量的變換設(shè)隨機(jī)向量(X, y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p 3, y)，函數(shù)u = f 3, y), v = g (x, y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在惟一的反函數(shù) x = x (u, v), y = y (u, v),若u = f (x,y),v = g(x,y),則(U,v)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為q(u, v)=p( x(u, v), y(u, v) |J|,(u, v)屬于f, g 的值域，0, else其中J為坐標(biāo)變換的雅可比行列式dx j = 8 (x, y) du d (u, v)8x8v8u8y8v求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布密度函數(shù)有以下兩種常用方法：直接法：可先求U的分布函數(shù)，這

2、一般是一個(gè)二重積分，再通過求導(dǎo)求得U 的密度函數(shù).(增補(bǔ)變量)變換法：可以引入新的隨機(jī)變量V = h(x,y)，先求的聯(lián)合密度函數(shù)，再求關(guān)于u的邊緣分布密度函數(shù).例1設(shè)(x,y) 口 p(x, y),求u = X + y的密度函數(shù).解：, u u則 J-i = x y v vx yq(u, v) = p(x(u, v), y(u, v) J = p(u - v, v).所以 U = X + y 的密度函數(shù) p (u) = j+s p(u - v, v)dv.U-s特別，當(dāng)x,y獨(dú)立時(shí)u = x + y的密度函數(shù)為p.(u) = j+ p (u 一 v) p (v)dv.-s Xy例2設(shè)(x,y

3、) 口 p(x, y),求u = x -y的密度函數(shù).解：, u u貝 U J-1 = x y =v vx y-1=1,q(u, v) = p(x(u, v), y(u, v) J = p(u + v, v).所以 U = X - Y 的密度函數(shù) p (u) = j+8p(u + v,v)dv.U-8+8 p (u + v) p (v)dv.一8 XY特別，當(dāng)X+8 p (u + v) p (v)dv.一8 XY例3設(shè)(X, Y) 口 p(x, y),求U = XY的密度函數(shù).、hJU、hJU = XY, nt 解：設(shè)則J-i =I V = Y,uxvxuyvyy = v,q(u, v) = p(x(u, v), y(u, v) J = p 所以U = XY的密度函數(shù)p (u) = j+8U-8特別，當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)U = XY的密度函數(shù)為p (u) = j+81 p化p (vv.特別，U -8 v X k v) Yu uxyv vxy例4設(shè)(X, Y )n p( x, y),求U = u uxyv vxyf 、U = XY, m 解：設(shè)則J-1 =I V = Y,q(u, v) = p(x(u, v), y(u, v) J = p (uv, v) v .所以U = XY 的密度函數(shù)p (u) = j+8|v|p(uv,