函數(shù)的奇偶性講義

1、函數(shù)的奇偶性講義函數(shù)的奇偶性講義10/10函數(shù)的奇偶性講義函數(shù)的奇偶性一、對稱區(qū)間(關(guān)于原點對稱)a，b關(guān)于原點的對稱區(qū)間為b，a(，0)關(guān)于原點的對稱區(qū)間為(0，)1，1關(guān)于原點的對稱區(qū)間為1，1二、奇函數(shù)與偶函數(shù)（一）奇函數(shù)的定義：關(guān)于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關(guān)于原點對稱）內(nèi)，關(guān)于xA，都有f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)。（二）偶函數(shù)的定義：關(guān)于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間（關(guān)于原點對稱）內(nèi)，關(guān)于xA，都有f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)。若是函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，則我們就說函數(shù)f(x)擁有奇偶性。（三）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1）求函數(shù)f(x)的定義域；2）若函數(shù)

2、的定義域不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)不具備奇偶性，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，再進(jìn)行下一步；3）求f(x)；（4）依照f(x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；若f(x)f(x)，函數(shù)是奇函數(shù)；若f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)?！炯磃(x)0，即定義域關(guān)于原點對稱的常數(shù)函數(shù)f(x)a；當(dāng)a0時，常數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)a0時，常數(shù)函數(shù)既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)?！坷?：判斷以下函數(shù)奇偶性。（1）f(x)1x（2）

3、f(x)x3x（3）f(x)x1x1x（4）f(x)11（5）f(x)x2cosxx3【剖析】：（1）奇（2）奇（3）非（4）非（5）偶變式練習(xí)：判斷以下函數(shù)的奇偶性。2x)x(x1)，x0 x(x1)，x02x【剖析】：（1）偶（2）奇（3）奇注意：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求定義域，判斷函數(shù)定義域可否關(guān)于原點對稱；（2）計算f(x)；（3）判斷，若f(x)f(x)偶函數(shù)，若f(x)f(x)奇函數(shù)，否則為非奇非偶函數(shù)。2、直接判斷法：偶偶偶；偶偶偶；奇奇奇；奇偶奇。一些重要種類的奇偶函數(shù)：（1）f(x)axax為偶函數(shù)，f(x)axax為奇函數(shù)；（2）f(x)axaxaaxx（a0且a1

4、）為奇函數(shù)；（3）f(x)loga(1x)（a0且a1）為奇函數(shù)；（4）f(x)1xxloga(xx21)（a0且a1）為奇函數(shù)。三、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（一）偶函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；f(x)f(x)f(x)；偶函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，則b0。（二）奇函數(shù)的性質(zhì)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；f(x)f(x)；奇函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同；一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)，則b0；若x0在其定義域內(nèi)，則有f(0)0。例2：已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，則g(x)x4bx3cx2是_函數(shù)。

5、（填奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)）【剖析】：偶函數(shù)變式練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)ax2bx3ab(a0)是偶函數(shù)，且定義域為a1，2a，則a_，b_?！酒饰觥浚?03變式練習(xí)2：以下函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A：f(x)x1B：f(x)x3C：f(x)1D：f(x)xxx【剖析】：D變式練習(xí)3：若函數(shù)f(x)(x1)(xa)是奇函數(shù)，則a_。x【剖析】：f(x)f(x)，則(x1)(xa)(x1)(xa)，得xxx2(a1)xax2(a1)xa，故a1例4：已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0，f(x)x22x，求f(x)的表達(dá)式。【剖析】：f(x)x22x，x0 x22x，x0變式練習(xí)：已知

6、f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x22x3，求f(x)的剖析式。x22x3，x0【剖析】：f(x)0，x0 x22x3，x0例5：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)2，則f(1)_?！酒饰觥浚篺(1)2變式練習(xí)1：若f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0，f(x)2x2x，則f(1)_?！酒饰觥浚篺(1)3變式練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x6，則ff(2)()A：23B：23C：2D：244【剖析】：D變式練習(xí)3：已知f(x)是奇函數(shù)，若g(x)f(x)4，且g(1)2，則f(1)_?！酒饰觥浚篺(1)2變式練習(xí)4：若f(x)x5ax

7、3bx8，且f(2)10，則f(2)_。【剖析】：f(2)26變式練習(xí)5：已知函數(shù)f(x)ln(14x22x)3，則f(lg2)f(lg1)2_。【剖析】：令f(x)g(x)3，g(x)是奇函數(shù)，故f(x)g(x)3，f(x)g(x)3，故f(x)f(x)6例6：已知f(x)是定義在(1，1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿足f(1a)f(12a)0，求a的取值范圍。1a2a12【剖析】：11a10a3112a1例7：已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,單調(diào)遞加，則滿足f(2x1)f(1)的x取值范圍是（）3A：(1，2)B：(，2)C：1，2）D：(2，)333233【剖析】：2x11，則x(1，2)A33

8、3變式練習(xí)2：設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)，且有f(2a2a1)f(3a22a1)，求a的取值范圍。【剖析】：法一：2a2a12(a1)270，3a22a13(a1)22483302a2a13a22a1，故0a3法二：2a2a13a22a1，則(2a2a1)2(3a22a1)2，(2a2a1)2(3a22a1)20，(5a2a2)(a23a)0，0a3。變式練習(xí)3：函數(shù)f(x)（x0）是奇函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時是增函數(shù)，若f(1)0，求不等式fx(x1)0的解集。2【剖析】：由于函數(shù)是奇函數(shù)，在(0，)時是增函數(shù)，故在(，0)上是增函數(shù)，f(1)0，則f(1)0，則fx(

9、x1)1)2f(1)或fx(xf(1)，得2x(x1)1x(x1)1或117x0或1x1172或2x(x1)0 x(x1)022222綜上所述：不等式的解集為(1217，0)(1，117)22例8：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，關(guān)于任意的xR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(x)0。（1）求證：f(0)1；（2）求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)?！酒饰觥浚海?）令xy0，則f(0)f(0)2f(0)f(0)，f(x)0，故f(0)1；（2）令x0，則f(0y)f(0y)2f(0)f(y)，得f(y)f(y)2f(y)，即f(y)f(y)，即f(x)f(x)，故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

10、。變式練習(xí)1：若f(x)的定義域為R，且對任意x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)成立。1）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；2）若當(dāng)x0時，f(x)0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3）若f(8)4，求f(1)的值。2【剖析】：（1）令xy0，則f(0)f(0)f(0)，得f(0)0，令yx，則f(0)f(x)f(x)，即f(x)f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)。（2）設(shè)ab，則ab0，則f(ab)0，則f(a)f(b(ab)f(b)f(ab)，即f(a)f(b)f(ab)0，即f(a)f(b)。故f(x)在R上是增函數(shù)。（3）f(8)f(4)f(4)2f(4)4f(2)8f(1)16f(1)，故f(1)1

11、，函1)1224數(shù)是奇函數(shù)，f(24例9：已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則f(3)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是_?！酒饰觥浚篺(1)f(2)f(3)變式練習(xí)1：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在6，6上的奇函數(shù)，若當(dāng)x0，6時，f(x)的圖象以下列圖，則不等式f(x)0的解集為_?！酒饰觥浚?3，0)(3，6)變式練習(xí)2：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0，時，f(x)x22x，則不等式f(x)3的解集為_?！酒饰觥浚?，3變式練習(xí)3：已知yf(x)是偶函數(shù)，yg(x)奇函數(shù)，它們的定義域都是3，3，且它們在x0，3上的圖象以下列圖，則不等式f(x)0g(x)的解集是_?！酒饰觥浚河?/p>

12、奇、偶函數(shù)性質(zhì)作出整個定義域內(nèi)的圖象，即f(x)g(x)0故：(2，1)(0，1)(2，3)課后綜合練習(xí)1、若f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于（）A：x軸對稱B：y軸對稱C：原點對稱D：直線f(x)0，g(x)x對稱【剖析】：C2、已知函數(shù)二次函數(shù)f(x)ax2bxc（a0）是偶函數(shù)，那么b的值（）A：1B：2C：0D：不確定【剖析】C3、以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A：yxB：yxC：yx2D：yx31【剖析】：C4、已知函數(shù)f(x)2xa是奇函數(shù)，則a的值為（）A：1B：2C：1D：0【剖析】：D5、已知偶函數(shù)f(x)在0,上單調(diào)遞加，則以下關(guān)系式成立的是()A：f()f()f(2)B：f(2

13、)f()f()22C：f()f(2)f()D：f()f(2)f()22【剖析】：Cy6、若函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，f(1)3，則f(1)的值為3_。2【剖析】：3O2x7、已知f(x)是定義在2,00,2上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)的圖象如右圖所示，那么函數(shù)值y的取值范圍是_。【剖析】：3,22,38、若是奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間7，3上是（）A：增函數(shù)且最小值為5B：增函數(shù)且最大值為5C：減函數(shù)且最小值為5D：減函數(shù)且最大值為5【剖析】：B9、以下函數(shù)是奇函數(shù)是（）A：f(x)x22xB：f(x)lnxC：f(x)(1)xD：f(x)xcosx3【剖析】：D10、以下函數(shù)是偶函數(shù)是（）A：f(x)x1x222xB：f(x)xsinxC：f(x)ecosxD：f(x)xsinx【剖析】：B11、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，則（）A：f(20.7)f(log25)f(3)B：f(3)f(20.7)f(log25)C：f(3)f(log25)f(20.7)D：f(20.7)f(3)f(log25)【剖析】：20.72log253A12、已知f(x)axb1x2是定義在(1，1)上的奇函數(shù)，且f(1