極點(diǎn)極線-高考數(shù)學(xué)精品資料

1、 “極點(diǎn)極線”問題（圖1）1（圖1）如圖1，若點(diǎn)不在圓錐曲線上，過(guò)點(diǎn)引的兩條割線，依次交于，直線交于，直線交于，則點(diǎn)與直線是曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線也稱點(diǎn)是直線關(guān)于曲線的極點(diǎn)，直線是點(diǎn)關(guān)于曲線的極線易知點(diǎn)與直線、點(diǎn)與直線都是一對(duì)極點(diǎn)極線，所以又稱為自極三點(diǎn)形若直線交于、，則、為的切線，且有，稱調(diào)和分割、2圓錐曲線中的代數(shù)表達(dá)對(duì)于圓錐曲線，稱點(diǎn)與直線是其一對(duì)極點(diǎn)和極線 具體的：點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線為點(diǎn)關(guān)于雙曲線的極線為點(diǎn)關(guān)于拋物線的極線為顯然，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)固定時(shí)，它關(guān)于圓錐曲線的極線就是定直線，而當(dāng)直線固定時(shí)，它關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn)就是定點(diǎn)在圓錐曲線中，焦點(diǎn)和和對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線就是一對(duì)極點(diǎn)極線若點(diǎn)在圓錐曲線上，則過(guò)

2、點(diǎn)的切線為其極線，所以切線與切點(diǎn)弦方程就是極點(diǎn)與極線的特例圓錐曲線的切線與切點(diǎn)弦問題.對(duì)于二次曲線：Ax2Cy2DxEyF0（AC0），點(diǎn)P(x0，y0)及直線l：Ax0 xCy0yDeq f(xx0,2)Eeq f(yy0,2)F0. 有以下結(jié)論：若點(diǎn)P在曲線上，則直線l是曲線的切線；若點(diǎn)P在曲線外，則直線l是曲線的切點(diǎn)弦所在直線（過(guò)P的兩條切線的切點(diǎn)所在直線）具體的：( = 1 * roman i)圓：x2y2r2(r0) l：x0 xy0yr2；( = 2 * roman ii)橢圓：eq sdo1(f(x2,a2)eq sdo1(f(y2,b2)1(ab0) l：eq sdo1(f(x

3、0 x,a2)eq sdo1(f(y0y,b2)1；( = 3 * roman iii) 雙曲線：eq sdo1(f(x2,a2)eq sdo1(f(y2,b2)1(a0，b0) l：eq sdo1(f(x0 x,a2)eq sdo1(f(y0y,b2)1；( = 4 * roman iv) 拋物線：y22px(p0) l：y0yp(xx0)（2020年高考全國(guó)卷文）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn) 【解答】（1）由橢圓方程可得：， ，所以，所以，所以，所以

4、橢圓方程為：（2）證明：法一：設(shè)，則直線的方程為：，即： ，將轉(zhuǎn)化為 將代入得，顯然，所以，再由代入解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，此時(shí)直線的方程為：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，所以直線的方程為：，所以，即即，所以，所以直線過(guò)定點(diǎn)法二：設(shè)，則直線的方程為：，即，同理，直線的方程為：，設(shè)的方程為，又的方程為，所以過(guò)、與、四個(gè)交點(diǎn)、的二次曲線可設(shè)為，整理得，對(duì)比橢圓的系數(shù)得所以所以直線的方程為，即所以直線過(guò)定點(diǎn)變式1若“過(guò)定點(diǎn)”作為條件，能否得到“在定直線上”？ 2本題將直線改成不與橢圓相交的任意一條給定的不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？（2010年高考江蘇卷）在平面直

5、角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）.解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力.滿分16分.（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）.由，得 化簡(jiǎn)得.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線.（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即.聯(lián)立方程組，解得：，所以

6、點(diǎn)T的坐標(biāo)為.（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即.分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、.（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：.此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）.所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）.（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）.若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn).因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）.2019全國(guó)卷文21已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.21解：（1）設(shè)，則由于，所以切線DA的斜率為，故整理得設(shè)，同理可得