導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 第二十九講 一元微積分的應(yīng)用(二)腳本編寫：彭亞新教案制作：彭亞新 函數(shù)(曲線)的凹凸性、拐點(diǎn)、 函數(shù)圖形的描繪高 等 數(shù) 學(xué) A（1）高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)

2、模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第六章 一元微積分的應(yīng)用第三節(jié) 曲線的凹凸性、 函數(shù)圖形的描繪一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第六我們說一個函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對應(yīng)的曲線的圖形嗎? !. 一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)我們說一個函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對應(yīng)的曲線的圖形嗎?它的圖形的形

3、式不盡相同.一般說來, 對于一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)的圖形都存在一個需要判別弧段位于相應(yīng)的弦線的“上方”或“下方”的問題 .在數(shù)學(xué)分析中將這種問題稱為曲線 (函數(shù))的凹凸性問題 .它的圖形的形式不盡相同.一般說來, 對于一個區(qū)間上單調(diào)的函簡單地說 , 在區(qū)間 I 上 :曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時, 稱之為凸的;曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方時, 稱之為凹的.凸凹簡單地說 , 在區(qū)間 I 上 :曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凹的 .定義成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線 凹凸性的一般性定義是 凹凸性的一

4、般性定義是凸凸凹凹成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凹的 ;1. 曲線凹凸性的定義及其判別法成立 , 則稱曲線在區(qū)間 I 上是凸的 ;成立 , 則稱曲線例1分析例1分析有何體會？有何體會？能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)所對應(yīng)的曲線的凸凹性呢？能不能根據(jù)函數(shù)的判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對進(jìn)行比較.有什么公式能把以上的函數(shù)值與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢?泰勒公式判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對進(jìn)行比較.有什么公式能把以上的函導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件以上的討論是對開區(qū)間進(jìn)行的,但結(jié)論卻出現(xiàn)了閉區(qū)間這正確嗎?結(jié)論是正確的,

5、我們是利用函數(shù)的連續(xù)性將開區(qū)間內(nèi)的結(jié)論延伸到了閉區(qū)間上.以上過程實際上證明了下面的判別曲線凹凸性的一個方法.以上的討論是對開區(qū)間進(jìn)行的,但結(jié)論卻出現(xiàn)了閉區(qū)間這正確嗎?結(jié)定理在運(yùn)用該定理時要注意：但僅在個別孤立點(diǎn)處等于零 , 則定理仍然成立 .定理在運(yùn)用該定理時要注意：但僅在個別孤立點(diǎn)處等于零 , 則該函數(shù)的圖形 請自己繪出. 例2解該函數(shù)的圖形例2解例3解例3解只是使的孤立點(diǎn),不是曲線凹凸性的分界點(diǎn).例3解只是使的孤立點(diǎn),不是曲線凹凸性的分界點(diǎn).例3解 比較例3 和例4 , 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對的分界點(diǎn) .我們的興趣 , 因為它可能是曲線凹凸性應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)引起了拐 點(diǎn) 比較例3 和

6、例4 , 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對的分界連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).2. 曲線拐點(diǎn)的定義及判別法連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).2. 曲定理( 判別拐點(diǎn)的必要條件 )證定理( 判別拐點(diǎn)的必要條件 )證稱為曲線的拐點(diǎn)可疑點(diǎn) .稱為曲線的拐點(diǎn)可疑點(diǎn) .定理( 判別拐點(diǎn)的充分條件 )根據(jù)拐點(diǎn)的定義立即可證明該定理 . 定理( 判別拐點(diǎn)的充分條件 )根據(jù)拐點(diǎn)的定義立即可證明該定理定理( 判別拐點(diǎn)的充分條件 )定理( 判別拐點(diǎn)的充分條件 )證你能由以上的幾個定理歸納出 求曲線拐點(diǎn)的步驟嗎？證你能由以上的幾個定理歸納出 求拐點(diǎn)一般步驟 求拐點(diǎn)一般步驟拐點(diǎn)拐點(diǎn)例4解拐點(diǎn)拐點(diǎn)例

7、4解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件例5解例5解例6解例6解例7例7 函數(shù)的凹凸性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫畫圖就能搞清楚. 函數(shù)的凹凸性的判別你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫 現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形 , 因為還不知道如何求曲線的漸近線 .中學(xué)就會求了. 現(xiàn)在我們還不能很好地作出中學(xué)就會求了.若動點(diǎn) P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時, 動點(diǎn) P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一條漸近線 . 二、曲線的漸近線定義若動點(diǎn) P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無

8、限曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(二)課件水平漸近線水平漸近線這里的極限可以是垂直漸近線這里的極限可以是垂直漸近線想想： 怎么求 a ,b ?想想：這里的極限過程可以是以上的極限實際是 斜漸近線這里的極限過程可以是以上的極限實際是 斜漸近線 曲線可以穿過其漸近線 .例8解 曲線可以穿過其漸近線 .例8解例9解例9解曲線無水平漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解曲線無水平漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解請同學(xué)課后自己繪出此函數(shù)的圖形 .請同學(xué)課后自己繪出此函數(shù)的圖形 .所以, 該曲線無水平漸近線和垂直漸近線 .例11解所以, 該曲線無水平漸近線和垂直漸近線 .例11解現(xiàn)在給定一個函數(shù) , 我們可以討論它的：定義域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 連續(xù)性、 間斷點(diǎn)、 可微性、單調(diào)性、 極 值、 最 值、 凹凸性、拐 點(diǎn)、 漸近線、 零點(diǎn)位置 .用極限討論函數(shù)的變化趨勢 .用泰勒公式將函數(shù)離散化 .現(xiàn)在給定一個函數(shù) , 我們可以討論它的：定義域、 值 作函數(shù)圖形的一般步驟如下：(1) 確定函數(shù)的定義域 , 觀察奇偶性、周期性 .(2) 求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) , (3) 列表 , 確定函數(shù)的單