廣東省廣州市太和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

1、廣東省廣州市太和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 若，且，則下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 參考答案：C2. 學(xué)校周三要排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)和生物6門不同的課程，若第一節(jié)不排語文且第六節(jié)排生物，則不同的排法共有（）A96種B120種C216種D240種參考答案：A3. 設(shè)為過拋物線的焦點(diǎn)的弦，則的最小值為（ ）A B C D無法確定參考答案：C 解析：垂直于對稱軸的通徑時(shí)最短，即當(dāng)4. 已知直線l與曲線y=x2+3x1切于點(diǎn)（1，3），則直線l的斜率為（）A

2、1B1C3D5參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的斜率【分析】利用求導(dǎo)法則求出曲線解析式的導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)，求出的導(dǎo)函數(shù)值即為直線l的斜率【解答】解：求導(dǎo)得：y=2x+3，直線l與曲線y=x2+3x1切于點(diǎn)（1，3），把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得：yx=1=5，則直線l的斜率為5故選D5. 設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，定義（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，則使得取最小值的點(diǎn)有（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無數(shù)多個(gè)參考答案：D6. .已知兩座燈塔A、B與一島C的距離都是，燈塔A在島C的北偏東，燈塔B在島C的南偏東，則燈塔A與燈塔B的距離為（ ）A、 B、

3、 C、 D、參考答案：B7. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間是 （ ） 參考答案：B8. 設(shè)f（x）=xlnx，若f（x0）=2，則x0=（）Ae2BeCDln2參考答案：B【考點(diǎn)】65：導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則【分析】利用乘積的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（x0）=2解方程即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x0）=2lnx0+1=2x0=e，故選B9. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且,直線AB交y軸于點(diǎn)P.若,則橢圓的離心率是( ) A B C. D參考答案：D10. 一個(gè)樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的

4、平均數(shù)和中位數(shù)分別是( )（A）13,12 （B）13,13 （C）12,13 （D） 13,14 參考答案：B略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 若1，a，b，c，9成等差數(shù)列，則b=_，ac=_參考答案：b=5，ac=21略12. 對任意，都存在，使得，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_參考答案：【分析】令，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得f（x）1，e2，然后令g（x）axex，由x1x2，g（x1）g（x2），可知ymlnmm與yg（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，f（x）lnx0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)1xe2，f（x）lnx0，

5、f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)?令g（x）axex，則g（x）aex，且x1x2，g（x1）g（x2），當(dāng)a0時(shí)，g（x）aex0恒成立，g（x）在R上單調(diào)遞減，與x1x2，g（x1）g（x2），矛盾當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)xlna時(shí)，g（x）aex0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xlna時(shí)，g（x）aex0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，g（x），當(dāng)x+時(shí)，g（x）且g（x）maxg（lna）alnaa，當(dāng)x1x2時(shí)，若g（x1）g（x2）mlnmm，則ymlnm與yg（x）有2個(gè)不同的交點(diǎn)，alnaae2e2lne2e2，又a0由f(x)的單調(diào)性可得ae2，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（e2，+）故答案

6、為：（e2，+）【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于中檔題.13. 一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動員98人，其中男運(yùn)動員有56人按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動員人數(shù)是參考答案：12【考點(diǎn)】分層抽樣方法【分析】根據(jù)田徑隊(duì)的男女運(yùn)動員數(shù)目和用分層抽樣要抽取的數(shù)目，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，利用每個(gè)個(gè)體被抽到的概率乘以女運(yùn)動員的數(shù)目，得到結(jié)果【解答】解：田徑隊(duì)有男女運(yùn)動員98人，其中男運(yùn)動員有56人，這支田徑隊(duì)有女運(yùn)動員9856=42人，用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動員中抽取一

7、個(gè)容量為28的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=田徑隊(duì)有女運(yùn)動員42人，女運(yùn)動員要抽取42=12人，故答案為：12【點(diǎn)評】本題主要考查了分層抽樣，在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，這是解決這種問題的依據(jù)，屬于基礎(chǔ)題14. 在ABC中，若b=1，c=，C=，則a= 參考答案：1【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算【分析】先根據(jù)b，c，c，由正弦定理可得sinB，進(jìn)而求得B，再根據(jù)正弦定理求得a【解答】解：在ABC中由正弦定理得，sinB=，bc，故B=，則A=由正弦定理得a=1故答案為：115. 命題“3mx2+mx+10恒成立”則實(shí)數(shù)m的取值范圍為參考答案：0，12）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題【分析】由命題

8、“3mx2+mx+10恒成立”得到對任意xR不等式3mx2+mx+10恒成立然后分m=0和m0求解m的范圍，當(dāng)m0時(shí)得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組后與m=0取并集得答案【解答】解：命題“3mx2+mx+10恒成立”，即對任意xR不等式3mx2+mx+10恒成立，當(dāng)m=0時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)m0時(shí)，需，解得：0m12，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0，12）故答案為：0，12）16. 由下列事實(shí)：，,可得到合理的猜想是 。參考答案：17. 已知為雙曲線（，且）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)下面四個(gè)命題（）的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； 的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的

9、圓心必在直線上； 的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)其中真命題的代號是（寫出所有真命題的序號）參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（I）求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間.參考答案：解：（I） 2分又 4分由解得：。 6分（）當(dāng)時(shí)， 8分令得：或令得： 增區(qū)間為：，減區(qū)間為：12分略19. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根，判斷所求根的左右導(dǎo)函數(shù)的符號，從而可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于時(shí)恒成立，令，利用

10、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得的最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令，得.（，1）1（1，ln2）ln2（ln2，+）+00+極大值 極小值 所以，極大值=； 極大值（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，,等價(jià)于當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以，?，=,（2，1）1（1，0）+0極大值則，因此，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題. 不等式恒成立問題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.20. 已知和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢

11、圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）直線（m0）與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)OMN面積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線l的方程 參考答案：（1）和是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上，依題意，又，故-2分由得b2=3-3分故所求橢圓C的方程為-4分（2）由，消y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，整理得m2=4k2+3-6分由條件可得k0，N（0，m）所以-8分將m2=4k2+3代入，得 因?yàn)閨k|0，所以，-10分當(dāng)且僅當(dāng)，則，即時(shí)等號成立，SOMN有最小值-11分因?yàn)閙2

12、=4k2+3，所以m2=6，又m0，解得故所求直線方程為或-12分21. 設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=9x+7，若f（x）a+1對一切x0成立，求a的取值范圍參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)不等式恒成立即可得到結(jié)論【解答】解：y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）a+1對一切x0成立，f（0）=0a+1，即a1，當(dāng)x0，則x0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=9x+7，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=9x+7=f（x），則f（x）=9x+7，f（x）=9x+7，由6|a|7a+1，即6|a|a8當(dāng)a0，則不等式等價(jià)為5a8，即a，成立當(dāng)a0，則不等式等價(jià)為7a8，即a，綜上：a或aa1，a22. 如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA平面ABCD，且ADBC，ABAD，BC=2AD=2，AB=AS=（）求證：SBBC；（）求點(diǎn)A到平面SBC的距離；（）求面SAB與面SCD所成二面角的大小參考答案：（）證明：SA平面ABCD，SABC，又BCAB，BC平面SAB，又