2023屆高三新高考數(shù)學(xué)試題一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題6.3等比數(shù)列 教案講義 （Word解析版）

1、 共14頁(yè)/第頁(yè)6.3 等比數(shù)列課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.新高考3年考題題 號(hào)考 點(diǎn)數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)抽象2020()卷18 求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2020()卷18 求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的有關(guān)概念 = 1 * GB2 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比

2、數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（）.用遞推公式表示為：an+1 = 2 * GB2 等比中項(xiàng)：如果a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，由等比數(shù)列的定義可知G2=ab . = 3 * GB2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形： = 1 * GB3 等比數(shù)列an中，ana則an當(dāng)n=1時(shí)，也成立，故an = 2 * GB3 an=a1qn-1 a = 4 * GB2 等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列an中an=a（ = 1 * ROMAN I）當(dāng)q=1時(shí)，an=c，等比數(shù)列an是非零常數(shù)列. 它的圖象是在直線y=c（ = 2 * ROMAN II）當(dāng)q0且q1時(shí)，等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=

3、cqn是關(guān)于y=a1qqx（當(dāng)q1且a10時(shí)，等比數(shù)列當(dāng)q1且a10時(shí)，等比數(shù)列當(dāng)0q0當(dāng)0q1且a10（ = 3 * ROMAN III）當(dāng)q0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)，且a與b有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng).2.常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列.1【P24 T2】復(fù)印紙幅面規(guī)格采用A系列，其幅面規(guī)格為：A1,A2,A3,A9所有規(guī)格的紙張的幅寬(以x表示)和長(zhǎng)度(以y表示)的比例關(guān)系都為x:y=1:2；將A1紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A2規(guī)格；A2紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A3規(guī)格；如此對(duì)開(kāi)至A9規(guī)格，現(xiàn)有A12【P41 T7】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S

4、n=3n+2-92(1)證明： 考點(diǎn)一等比數(shù)列的判定與證明【方法儲(chǔ)備】1.證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法： = 1 * GB2 定義法：當(dāng)a10時(shí)，證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1a = 2 * GB2 等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+12a2.判定一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，用到的結(jié)論： = 1 * GB2 通項(xiàng)公式： ancqnan是以cq = 2 * GB2 前n項(xiàng)和公式法：Sn=kqn-k (k為常數(shù),q0,1) 數(shù)列an是以q【典例精講】例1. (2021海南省模擬) 在S3=17，S1+S2=4，S2=4S1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答相應(yīng)問(wèn)題：已知數(shù)列Sn滿足

5、Sn0，且Sn+1=3Sn例2. (2021江蘇省徐州市月考) 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為(1)求a1，a2，(2)是否存在常數(shù)，使得an+為等比數(shù)列？若存在，求出【名師點(diǎn)睛】1.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.2.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.【靶向訓(xùn)練】 練1-1(2022湖南省婁底市期末.多選) 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，下列說(shuō)法正確的是()A. 若Sn=n2+1，則an是等差數(shù)列B. 若Sn=3n-1，則an練1-2(2021江蘇省無(wú)錫市月

6、考.多選) 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an是Sn與(0)的等差中項(xiàng)，則下列結(jié)論中正確的是 A. 當(dāng)且僅當(dāng)=2時(shí)，數(shù)列an是等比數(shù)列B. 數(shù)列an一定是單調(diào)遞增數(shù)列C. 數(shù)列1a考點(diǎn)二等比數(shù)列中的基本量運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a12.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論，當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn=na1；當(dāng)q1【典例精講】例3.(2022廣東省茂名市模擬) 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，則下列選項(xiàng)正確的是()A. 若S3=4,S6=12，則S9=29B. 若a1=1,q=34，則Sn【名師點(diǎn)睛】1.等差

7、數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a12.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022廣東省佛山市模擬.多選) 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a10=32a5A. 數(shù)列an的公比為2B. 數(shù)列an的公比為2C. S練2-2(2021山東省濟(jì)寧市期末.多選) 如圖，已知點(diǎn)A,B,C是O上三個(gè)不同定點(diǎn)，Q為弦AB的中點(diǎn)，DnnN*是劣弧BC上異于B、C的一系列動(dòng)點(diǎn)，連接ADn交BC于Pn，點(diǎn)PnnN*滿足PnC=A. 數(shù)列an+1是等比數(shù)列B. a3=7考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類(lèi)：(1)通項(xiàng)

8、公式的變形(2)等比中項(xiàng)的變形(3)前n項(xiàng)和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口【典例精講】例4. (2021湖南省常德市月考.多選) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為T(mén)n，并且滿足條件a11，aA. 0q1C. Sn例5. (2021江西省上饒市模擬) 已知公比不為1的等比數(shù)列，存在s，tN*，滿足asat=A. 712B. 916C. 17【名師點(diǎn)睛】1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+q，則am2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解

9、題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022天津市模擬) 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bb1+b6+A. 1B. 22C. -2練3-2(2022安徽省淮南市模擬) Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若2S4 考點(diǎn)四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論：當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn=na1；當(dāng)q12.等比數(shù)列最值有關(guān)問(wèn)題的解題思路求解此類(lèi)問(wèn)題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解，有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用3.解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成

10、等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來(lái)單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過(guò)運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解【典例精講】例6.(2021江蘇省南通市月考) 設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an0，若S6A. 14B. 12C. 20例7.(2022山東省萊蕪市月考) 已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足nN*(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an中不在數(shù)列【名師點(diǎn)睛】1.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1與q1分類(lèi)討論，防止因忽略q2.涉及最值問(wèn)題時(shí)，要注意方程思想與不等式知識(shí)的應(yīng)用.【靶向訓(xùn)練】練4-1(2021廣東省揭陽(yáng)

11、市模擬.多選) 已知等比數(shù)列an的公比為q，且a5A. a3+a72B. 練4-2(2021河北省邢臺(tái)市期中) 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為Sn，Tn，公比為正數(shù)，且a3=16，S3=112，則使TA. 8B. 9C. 12D. 13易錯(cuò)點(diǎn)1 利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽略公比q=1例8. (2022安徽省蚌埠市月考) 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=32，S3=92(1)若a3,m,答案解析【教材改編】1【解析】由題意，若A1長(zhǎng)寬(2a,a)，A2長(zhǎng)寬a,2a224a=2，可得a=8，則A1長(zhǎng)寬由上知：9張紙的面積是首項(xiàng)為642，公比為19張紙的面積之和：642故答

12、案為：642，5112【解析】(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n+2-3n+12=3n+1，又a1=S1=9，符合上述通項(xiàng)公式，所以an的通項(xiàng)公式為a【考點(diǎn)探究】例1.【解析】(1)證明：數(shù)列Sn中，Sn0，且Sn+1=3Sn+2，所以Sn+1+1=3(Sn+1)，數(shù)列Sn+1是公比q=3的等比數(shù)列；(2)選擇條件，不存在，因?yàn)镾3=17，所以S3+1=18，因?yàn)镾n+1是公比為3的等比數(shù)列，所以(S1+1)32=18，解得S1=1，Sn+1=23n-1，Sn=23n-1-1；當(dāng)n1時(shí)，Sn-1=23n-2-1，Sn-Sn-1=an=43n-2，因?yàn)閍1=1，不符合上式，所以數(shù)列

13、an不是等比數(shù)列，所以不存在選擇條件，不存在，因?yàn)槔?.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，S1=a當(dāng)n=2時(shí)，S2=a當(dāng)n=3時(shí)，S3解得a3(2)假設(shè)a則(a即(9+)2=(3+)(21+)下面證明aSn=2an+1=2(an+3)=存在=3，使得數(shù)列an+3是首項(xiàng)為aa即a練1-1.【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若Sn=n2+1，則a1=S1=2，a2=S2-S1=3，a3=S3-S2=5，則an不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若Sn=3n-1，則a1練1-2.【解析】因?yàn)閍n是Sn與的等差中項(xiàng)，所以2a又2an-1=Sn-1所以數(shù)列an是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得an=2n-1，故

14、選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)1得q0，由于a11，a9a101，則q0且q1由a9-1a10-1若a10a9，則q1，而a11，則an=a1qn-11，則由a91，a100,lga100，所以數(shù)列l(wèi)g因?yàn)閘ga10+lga因?yàn)?q1，所以數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以Sn故選：AD例5.【解析】存在s，tN*，滿足asat=a42，s+t=8，且s，t N*，則2s+12t=18(s+t)(2s+12t)=18(2+12+2ts+s2t)，令x=ts，則2ts+s2t=2x+12x練3-1.【解析】在等差數(shù)列bn中，由b1+b6+在等比數(shù)列an中，由a2a1-a3a9=1-(3)練3-2.【解答】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由于2S4=S2+2，2S4=2(a1+a1q+a1q2+a1q3)，S2+2=a1+a1q+2，所以2(a1+a1q+a1q2+a1例6.【解析】設(shè)等比數(shù)列的an的公比q0，q1，S6-2S3=5，a1q6-1q-1-2a1q3-1例7.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1=2，b2=4，an=2log2bn，可得b1=2，a2=4，則d=2，q=2，an=2n，bn=2n，nN*；(2)由題意可得cn的前幾項(xiàng)為6，10，12，14，18，20，22，練4-1.【解析】根據(jù)題意，依次分析選