相似三角形比例線段及判定

1、龍文教育個(gè)性化輔導(dǎo)授課案教師：學(xué)生：時(shí)間:2013年月日時(shí)間相似三角形知識(shí)點(diǎn)整理重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：1、相似三角形的判定性質(zhì)是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn).2、利用相似三角形性質(zhì)判定解決實(shí)際應(yīng)用的問題是難點(diǎn)。內(nèi)容提要一、本章的兩套定理第一套(比例的有關(guān)性質(zhì))：bdaeTOC o 1-5 h zdeaboadbe(oadbe(比例基本定理)baeda土be土d HYPERLINK l bookmark4合比性質(zhì)：7bd=(bdn0),等比性質(zhì):n涉及概念：第四比例項(xiàng)比例中項(xiàng)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)黃金分割等。二、有關(guān)知識(shí)點(diǎn)：1相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2相似三角形

2、的表示方法：用符號(hào)“s”表示，讀作“相似于”。3相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截成的三角形與原三角形相似。5相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型全等三角形的判定SAS斜三角形直角三角形SSSAAS(ASA類型全等三角形的判定SAS斜三角形直角三角形SSSAAS(ASA)HL相似三角形的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相

3、似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。6直角三角形相似：直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。相似三角形的面積比等于相似比的平方。相似三角形的傳遞性如果ABCsAABC,A1B1C1A2B2C2，那么ABCsA2B2C2三、注意1

4、、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個(gè)判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個(gè)定理確定了相似三角形的兩個(gè)基本圖形“A”型和“8”型。ADDEAE在利用定理證明時(shí)要注意A型圖的比例ABpcAC角形的三條邊，而比的后項(xiàng)是另一個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊，ADDEAEDB=BC=EC的錯(cuò)誤。2、相似三角形的基本圖形I.平行線型：即A型和X型。I.相交線型每個(gè)比的前項(xiàng)是同一個(gè)三它們的位置不能寫錯(cuò)，尤其是要防止寫成B.EC3、掌握相似三角

5、形的判定定理并且運(yùn)用相似三角形定理證明4、4、5、6、添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。對(duì)比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問題，對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。5、小亮同學(xué)想利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，如圖，他在某一時(shí)刻立1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為1.2米，同時(shí)旗桿的投影一部分在地面上BD處，另一部分在某一建筑的墻上CD處，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為9.6米和2米,求旗桿AB的高度.知識(shí)考點(diǎn)：本節(jié)知識(shí)在考題中，主要涉及用比例的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理。由于比例的性質(zhì)在應(yīng)用時(shí)有其限制條件，一些中

6、考題又以此為背景設(shè)計(jì)分類求解題。精典例題：xyx一y,z【例1】已知：=H0，那么丿=。345x,y,z分析：此類問題有多種解法，一是善于觀察所求式子的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用等比性質(zhì)求解；二是利用方程的觀34了點(diǎn)求解，將已知條件轉(zhuǎn)化為x5z,y5z,代入所求式子即可得解；三是設(shè)“k”值法求解，這種方法對(duì)于解有關(guān)連比的問題十分方便有效，要掌握好這一技巧。龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校1答案：3變式1：已知bdf3，若b2d+/3豐0，則b2dr3bdf3b2d+f32xy|3z變式2：已知x:y:z=2:1:3，求的值。x+2y,a+b一ca一b+cb+

7、c一a,變式3：已知k，則k的值為。cba2答案：(1)3；(2)3；(3)1或一2；【例2】如圖，在厶ABC中，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,且AE=AF,EF的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：CD:BD=CF:BE。分析：在題設(shè)中，沒有平行的條件，要證明線段成比例，可考慮添加平行線，觀察圖形，對(duì)照結(jié)論，需要變換比CF:BE，為了變換比CF:BE，可以過點(diǎn)C作BE的平行線交ED于G，并設(shè)法證明CG=CF即可獲證。龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校本例為了實(shí)現(xiàn)將比CF:

8、BE轉(zhuǎn)換成比CD:BD的目的，還有多種不同的添畫平行線的方法，它們的共同特征都是構(gòu)造平行線截得的線段成比例的基本圖形，請(qǐng)你們參考圖形，自己去構(gòu)思證明。變式1圖變式1：已知如圖,D是ABC的邊BC的中點(diǎn),變式變式1圖變式1：已知如圖,D是ABC的邊BC的中點(diǎn),變式2：如圖，BD1答案：(1)3；(2)13:3；【例3】如圖，在ABC中，P為中線AM上任D,BP的延長(zhǎng)線交AC于E,連結(jié)DE。求證：DEBC；如圖，在厶ABC中，DEBC,DC、BE交于M,試問：M是否為BC的中點(diǎn)？解析：(1)延長(zhǎng)AM至Q,使MQ=MP.BM=MC,四邊形BPCQ是平行四邊形:DC=5:3，E為AD的中點(diǎn),1BE3，

9、求7C的值。求BE:EF的值。且AE一點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線交AB于于P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC例3圖龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校.CDBQ,BEQCADAPAE_DPQEC.DEBC(2)過B作BQ#CD交AM的延長(zhǎng)線于Q.DE.DEBC,ADAPAEDPQEC龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校APAE甩瓦，BEQC四邊形BPCQ是平行四邊形M是BC的中點(diǎn)探索與創(chuàng)新：【問題】請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問題：三角形內(nèi)角平分

10、線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。如BDAB圖，AABC中，AD是角平分線。求證：。DCACBDAB分析：要證DCAC，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在BDABB、D、C在同一條直線上,ABD與厶ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式=DCAC中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于E,從而得到BD、BDABCD、AB的第四比例項(xiàng)AE,這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AE=ACoDCAC證明：過C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于ECEAD=Z3Z1=ZECEAD=

11、Z3Z1=ZEE問題圖=AE=ACBDABCEAD=DCAEBDABdCAC上述證明過程中，用了哪些定理(寫出兩個(gè)定理即可)；在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個(gè)填入后面的括號(hào)內(nèi)()數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想分類討論思想答案：轉(zhuǎn)化思想=4cm,BC=7cm,“、35答案：cm評(píng)注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：已知AD是厶=4cm,BC=7cm,“、35答案：cm評(píng)注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：；若x:y:z2:4:7，且3x-y,2z=；若x:y:z2:4:7，且

12、3x-y,2z=32，則x1、若，貝y=n3nz=。2、若土止Xi!k，則k=zXy2、3、4、1、已知數(shù)3、6,請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)是.如圖，在口ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，BE:EC=2:3,AE交BD于點(diǎn)F,、選擇題：已知如圖，ABCD,AB_OACDAD3、4、1、已知數(shù)3、6,請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)是.如圖，在口ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，BE:EC=2:3,AE交BD于點(diǎn)F,、選擇題：已知如圖，ABCD,AB_OACDAD貝yBF:FD=2、3、4、A、AD與BC相交于點(diǎn)O,OA_OBOD

13、BCB、填空第4題圖則下列比例式中正確的是(C、AB_OBCDOCD、)_OBADODBC選擇第1題圖選擇第2題圖如圖，在ABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,A、DE=1,BC=7C、DE=3,BC=5FG=4,貝y()B、DE=2,BC=6D、DE=2,BC=8如圖，BD、CE是厶ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn)，則PQ:BC=()A、1：3如圖，ll,1253A、B、1：4AF5FB,BC=4CD,若AE=kEC,C、1：5D、選擇第3題圖選擇第4題圖D、解答第1題圖龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校1、21、2、線于F。3

14、、三、解答題:DK已知如圖，AD=DE=EC,且ABDFEH,AH交DF于K,求的值。KF如圖，口ABCD中，EF交AB的延長(zhǎng)線于E,交BC于M,交AC于P,交AD于N,交CD的延長(zhǎng)求證：PEPMPFPN。AFm如圖，在ABC中，AC=BC,F為底邊AB上一點(diǎn)，寺=一(m、n0),取CF的中點(diǎn)D,連BFn結(jié)AD,并延長(zhǎng)交BC于結(jié)AD,BE求的值；EC如果BE=2EC，那么CF所在的直線與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論;龍文教育龍文教育-您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校mE點(diǎn)能否為BC的中點(diǎn)？如果能，求出相應(yīng)的的值；如果不能，說明理由。n4、如圖，已知梯形ABCD中，ADBC4、如圖，已

15、知梯形ABCD中，ADBC,AB=DC=3,P為BC上一點(diǎn)，PE#AB交AC于E,PFCD交BD于F,設(shè)PE、PF的長(zhǎng)分別為a、b,x二ab。那么當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，x的值是否變化？若變化，求出x的范圍；若不變,求出x的值,并說明理由。F解答第2題圖FB解答第3題圖P解答第4題圖龍文教育龍文教育-您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校龍文教育龍文教育-您值得信賴的專業(yè)化個(gè)性化輔導(dǎo)學(xué)校相似三角形的判定填空:若若線已TOC o 1-5 h z若3x-7y=0,貝卩y：x=，/=。若若線已a(bǔ)=7,b=4,c=5,則b,a,c的第四比例項(xiàng)d=段a=4,b=6,則a,b的比例中項(xiàng)為。知：=,則=,=。5.

16、已知：a：b：c=3：4：5,a+b-c=4,則4a+2b-3c=。6.若=,則x=。TOC o 1-5 h z已知：AABC中，DE/BC交AB于D,AC于E,AB=10,AD-DB=2,BC=9,則DE=。已知：RtAABC中，ZACB=90,CD丄AB于D,AD=4,BD=2，則CD=,AC=。AABC中，ZACB=90,CD是高，AC=3,BC=4,則CD=,AD=,BD=。AABC中，AB=AC=10,ZA=36,BD是角平分線交AC于D,則CD=。等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為。AABC中，DE/BC,DE交AB,AC于D,E,AD：DB=5：4,則S梯形BCED：

17、SAADE=。兩個(gè)相似多邊形面積比是1：3,則周長(zhǎng)比是。兩個(gè)相似多邊形的面積比為25：9,其中一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為45,貝9另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為。如果兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為35cm和14cm,它們的周長(zhǎng)差為60cm,那么這兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)分別為。選擇題：在AABC中，DE/BC交AB于D,AC于E,若四邊形DECB的面積為AADE面積的3倍，則DE：BC=()A、1：3B、1：9C、3：1D、1：2如圖，在AABC中=,=，設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P,則CP：PE=()。A、5：1TOC o 1-5 h zB、4：lC、3：lD、5：2個(gè)直角三角形兩條直角邊之比是1：2,則它們?cè)谛边吷仙溆暗谋?/p>

18、是（）A、l：血B、l：C、l：4D、l：5AABC中，AD丄BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F,則下列式子中錯(cuò)誤的是（）5.AABC形ADEF的A、A、AD2=BDDCB、5.AABC形ADEF的A、C、DE2=AEEBD、AD2=AFAC中，D,E,F分別在AB,BC,AC上,四邊形ADEF是菱形，AB=a,AC=b,則菱邊長(zhǎng)是（）TOC o 1-5 h zB、C、D、正方形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，BMICE于M,AB=6cm,則BM的長(zhǎng)為（）。A、12cmB、cmC、3cmD、cm要把一個(gè)三角形的面積擴(kuò)大到原來面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長(zhǎng)要增大到原來的（）倍。A、2B、4C、2D、64梯形ABCD中，AD/BC,AC、BD交于E點(diǎn)，SAADE：SAADC=1：3,貝SAADE：SADBC=（）。A、l：3B、l：4C、l：5D、l：6（三）已知：如圖，在AABC中，AD為中線，E在AB上,AE=AC,CE交AD于F,EF：FC=3：5,EB=8cm，求：AB,AC的長(zhǎng)。（四）矩形DGFE內(nèi)接于AABC,DG：DE=3：5,S矩形DGFE=60cm2,高AH=10cm,求：SAABC。（五）如圖，在AABC中，AD是BC邊上中線，E是AD中點(diǎn)，求