2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(全國卷)2

1、絕密 啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.(2017全國2,理1)3+i1+i=(A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析3+i1+i=(3+i)(1-答案D2.(2017全國2,理2

2、)設(shè)集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,則B=()A.1,-3B.1,0C.1,3D.1,5解析由AB=1,可知1B,所以m=3,即B=1,3,故選C.答案C3.(2017全國2,理3)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞解析設(shè)塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由x(1-27)1-答案B4.(2017全國2,理4)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1

3、,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36解析由題意,可知該幾何體由兩部分組成,這兩部分分別是高為6的圓柱截去一半后的圖形和高為4的圓柱,且這兩個圓柱的底面圓半徑都為3,故其體積為V=12326+324=63,故選B答案B5.(2017全國2,理5)設(shè)x,y滿足約束條件2x+3y-30,2xA.-15B.-9C.1D.9解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示,結(jié)合目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義可得z在點B(-6,-3)處取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故選A.答案A6.(2017全國2,理6)

4、安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種解析先把4項工作分成3份有C42C21C11A22種情況,再把3名志愿者排列有A答案D7.(2017全國2,理7)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績,看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績解析因為甲不知道自己的成績,所以乙、丙的成

5、績是一位優(yōu)秀一位良好.又因為乙知道丙的成績,所以乙知道自己的成績.又因為乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好,所以甲、丁的成績也是一位優(yōu)秀一位良好.又因為丁知道甲的成績,所以丁也知道自己的成績,故選D.答案D8.(2017全國2,理8)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的a=-1,則輸出的S=()A.2B.3C.4D.5解析程序框圖運行如下:a=-1,S=0,K=1,進入循環(huán),S=0+(-1)1=-1,a=1,K=2;S=-1+12=1,a=-1,K=3;S=1+(-1)3=-2,a=1,K=4;S=-2+14=2,a=-1,K=5;S=2+(-1)5=-3,a=1,K=6;S=-3+16=3,a=-1,

6、K=7,此時退出循環(huán),輸出S=3.故選B.答案B9.(2017全國2,理9)若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4A.2B.3C.2D.2解析可知雙曲線C的漸近線方程為bxay=0,取其中的一條漸近線方程為bx+ay=0,則圓心(2,0)到這條漸近線的距離為2ba2+b2=22-12=3,答案A10.(2017全國2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.32B.155C.105解析方法一:如圖,取AB,BB1,B1C1的中點M,N,P,連結(jié)MN,N

7、P,PM,可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.由題意可知BC1=2,AB1=5,則MN=12AB1=52,NP=12BC1取BC的中點Q,連結(jié)PQ,QM,則可知PQM為直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221-12=7,即AC=又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=7在MQP中,可知MP=MQ在PMN中,cosPNM=MN2+又異面直線所成角的范圍為0,故所求角的余弦值為105方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1補成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖,連結(jié)C1D,BD,則AB1與BC1所成的角為BC1D.由題意可知BC1=2

8、,BD=22+12-22可知BC12+BD2=C1D所以cosBC1D=25=105答案C11.(2017全國2,理11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1解析由題意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)的極值點,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:

9、x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以當(dāng)x=1時,f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故選A.答案A12.(2017全國2,理12)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則PA(PB+PC)的最小值是(A.-2B.-32C.-43D.解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y所

10、以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-3當(dāng)點P的坐標為0,32時,PA(PB+PC)取得最小值為-答案B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(2017全國2,理13)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.解析由題意可知抽到二等品的件數(shù)X服從二項分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,則DX=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案1.9614.(2017全國2,理14)函數(shù)f(x)=sin2x+3cos x-34(x0,2)的最大值是解析由題

11、意可知f(x)=1-cos2x+3cos x-34=-cos2x+3cos x+14=-cosx因為x0,2,所以cos x所以當(dāng)cos x=32時,函數(shù)f(x)取得最大值1答案115.(2017全國2,理15)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則k=1n1解析設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由題意可知a1+2d=3所以Sn=na1+n(n-所以1Sn=2所以k=1n1=21-答案216.(2017全國2,理16)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N,若M為FN的中點,則|FN|=.解析設(shè)N(0,a),由題意可知F(2,0).又M為FN

12、的中點,則M1,因為點M在拋物線C上,所以a24=8,即a2=32,即a=4所以N(0,42).所以|FN|=(2-0答案6三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(2017全國2,理17)(12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.解(1)由題設(shè)及A+B+C=,得sin B=8sin2B2故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得

13、17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517(2)由cos B=1517得sin B=8故SABC=12acsin B=417又SABC=2,則ac=172由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-217=4.所以b=2.18.(2017全國2,理18)(12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)

14、量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);箱產(chǎn)量50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).附:,K2=n(解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)

15、殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.620.66=0.409 2.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+0.5-0.19.(2017全國2,理19)(12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=B

16、C=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.解(1)取PA的中點F,連結(jié)EF,BF.因為E是PD的中點,所以EFAD,EF=12AD由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD,以A為坐標原點,AB的方向為x軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,

17、1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0 x1),則BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因為BM與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,|z即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)PM=PC,則x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,所以M1-22,設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則m所以可取m=(0,-6,2).于是cos=m因此二面角M-AB-D的余弦值為10520.(2017全國2,理20)(12分)設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:x

18、22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足(1)求點P的軌跡方程;(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點解(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2 NM得x0=x,y0因為M(x0,y0)在C上,所以x22+因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQPF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=

19、又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以O(shè)QPF=0,即又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.(2017全國2,理21)(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2f(x0)2-2.解(1)f(x)的定義域為(0,+).設(shè)g(x)=ax-a-ln x,則f(x)=xg(x),f(x)0等價于g(x)0.因為g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-1x,g(1)=a-1,得a=1若a=1,則g(x)=1-1x.當(dāng)0 x1時,g(x)1時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點,故g(x)g(1