2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(湖南卷)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014湖南,理1)滿足z+iz=i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z=(A.12+12iC.-12+12i答案:B解析:由已知,得z+i=zi,則z(1-i)=-i,即z=-i故選B.2.(2014湖南,理2)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則().A.p1=p2p3B.p2=p3p1C.p1=p3y,則-xy

2、,則x2y2.在命題pq;pq;p(q);(p)q中,真命題是().A.B.C.D.答案:C解析:由題易知命題p為真,命題q為假,則p為假,q為真.故pq為假,pq為真,p(q)為真,(p)q為假.故選C.6.(2014湖南,理6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖.如果輸入的t-2,2,則輸出的S屬于().A.-6,-2B.-5,-1C.-4,5D.-3,6答案:D解析:由題意知,當(dāng)-2t0時,y=2t2+1,得y(1,9.故當(dāng)t0,2(1,9=0,9時,S=t-3,S-3,6.故選D.7.(2014湖南,理7)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示.將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等

3、于().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:由三視圖可得原石材為如右圖所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半徑最大的球,則此球與平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此時球的半徑與ABC內(nèi)切圓的半徑相等,故半徑r=6+8-102=2.8.(2014湖南,理8)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為().A.p+q2C.pqD.(p+1答案:D解析:設(shè)第一年年初生產(chǎn)總值為1,則這兩年的生產(chǎn)總值為(p+1)(q+1).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,則(1+x)2=(

4、p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1)9.(2014湖南,理9)已知函數(shù)f(x)=sin(x-),且023 f(x)dx=0,則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸是A.x=56B.x=C.x=3D.x=答案:A解析:由已知,得023 sin(x-)dx=-cos(x-)|023=-cos2即=23-+2n,nZ,或=-23-+2n解得=n+3,nZ,或0=-23+2n,nZ故f(x)=sinx-n-令x-n-3=k+2,kZ,得x=m+56,令m=0,得x=56,故選10.(2014湖南,理10)已知函數(shù)f(x)=x2+ex-12(x0)令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-1

5、2,作函數(shù)M(x)=e-x-12的圖象,顯然當(dāng)a0時,函數(shù)y=ln(x+a)的圖象與M(x)當(dāng)a0時,若函數(shù)y=ln(x+a)的圖象與M(x)的圖象有交點(diǎn),則ln a12,則0ae.綜上ae.故選B二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分.(一)選做題(請考生在第11,12,13三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分)11.(2014湖南,理11)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為4的直線l與曲線C:x=2+cos,y=1+sin(為參數(shù))交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x答案:(cos -sin )=1解析:由題意得曲線C的方程為(x-2)2+(y

6、-1)2=1.又|AB|=2,故直線l過曲線C的圓心(2,1),則直線方程為y-1=x-2,即x-y-1=0,故直線l的極坐標(biāo)方程為(cos -sin )=1.12.(2014湖南,理12)如圖,已知AB,BC是O的兩條弦,AOBC,AB=3,BC=22,則O的半徑等于.答案:3解析:如右圖,由已知AOBC,可得E是BC的中點(diǎn),即BE=2,故AE=AB2-BE2=1.在RtBOE中,OB2=BE2+OE2,即r2=(2)2+(r-1)13.(2014湖南,理13)若關(guān)于x的不等式|ax-2|3的解集為x-53x1答案:-3解析:由|ax-2|3,得-1ax5.若a0,顯然不符合題意,當(dāng)a0時,

7、解得5ax-1a,故-1a=13,(二)必做題(1416題)14.(2014湖南,理14)若變量x,y滿足約束條件yx,x+y4,yk答案:-2解析:畫出可行域如圖所示:畫直線l0:y=-2x,平移直線l0,當(dāng)過A(k,k)時,使得z最小,由最小值為-6,可得3k=-6,解得k=-2.15.(2014湖南,理15)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F兩點(diǎn),則ba=.答案:1+2解析:由題意,知Ca2,-a,又C,F在拋物線y2=2px(p0)上,所以a由,得b2a2=2b+aa,即解得ba=12(負(fù)值舍去)故ba=1+216.(2014湖南,理16)在平面直

8、角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動點(diǎn)D滿足|CD|=1,則|OA+OB+OD答案:1+7解析:設(shè)動點(diǎn)D(x,y),則由|CD|=1,得(x-3)2+y2=1,D點(diǎn)軌跡為以(3,0)為圓心,半徑為1的圓.又OA+OB+OD=(x-1所以|OA+OB+故|OA+OB+OD|的最大值為點(diǎn)(3,0)與(1,-3)之間的距離與1的和,即(3-1三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2014湖南,理17)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,(1)求

9、至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.分析:在第(1)問中,考慮到欲求概率的事件包含的互斥事件較多,因此可先求其對立事件的概率,再根據(jù)互為對立事件的概率之和為1,求得原事件的概率.在第(2)問中,先列出該企業(yè)所獲利潤的所有可能的取值,然后用相互獨(dú)立事件的概率公式求出各個概率值,列出表格即得分布列,最后利用數(shù)學(xué)期望的定義求得期望值.解:記E=甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功,F=乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功.由題設(shè)知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)且事件E與F,E與

10、F,E與F,E(1)記H=至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功,則H=EF,于是P(H)=P(E)P(F故所求的概率為P(H)=1-P(H)=1-215(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元),則X的可能取值為0,100,120,220.因P(X=0)=P(EF)=1325=215,P(X=100P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)故所求的分布列為X0100120220P2346數(shù)學(xué)期望為E(X)=0215+100315+120415+220618.(本小題滿分12分)(2014湖南,理18)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若

11、cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC分析:對于第(1)問,由已知ACD中三邊求角,很容易想到利用余弦定理進(jìn)行求解.對于第(2)問,目標(biāo)為求BC的長度,而BC是ABC中的邊.又AC已知,AC所對的角CBA的正弦已知,所以聯(lián)想到利用正弦定理來求,但需要BAC的正弦值.而已知中有cosBAD的值,發(fā)現(xiàn)BAC=BAD-CAD,因此用兩角差的正弦公式求得sinBAC,從而問題得解.解:(1)如題圖,在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=AC故由題設(shè)知,cosCAD=7+1-(2)如題圖,設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因?yàn)閏osCAD=277,cosBAD=-所以sinCAD=1-co

12、s2CAD于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=321在ABC中,由正弦定理,BCsin故BC=ACsin19.(本小題滿分12分)(2014湖南,理19)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.分析:在第(1)問中,從“四邊形ACC1A1,BDD1B1均為矩形”出發(fā)可證得四棱柱的一條側(cè)棱與底面ABCD的兩條對角線垂直,則該側(cè)棱與底面ABCD垂直.而OO

13、1與任一側(cè)棱平行,因此可證得OO1底面ABCD.在第(2)問中可利用兩種方法求解,第1種方法為幾何法,首先由點(diǎn)O1向二面角的棱B1O作垂線,再將垂足H與C1連接,然后通過線面垂直的性質(zhì)等證明C1HO1即為所求二面角的平面角,最后再在直角三角形中,通過三角函數(shù)求得二面角的余弦值;第2種方法為空間向量法,先根據(jù)條件證得OB,OC,OO1兩兩垂直,從而以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,然后分別求出二面角的兩個面的法向量,利用向量的夾角公式即可求得二面角的余弦值.圖(a)(1)證明:如圖(a),因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為矩形,所以CC1AC.同理DD1BD.因?yàn)镃C1DD1,所以CC1BD.而ACBD=O,

14、因此CC1底面ABCD.由題設(shè)知,O1OC1C.故O1O底面ABCD.(2)解法1:如圖(a),過O1作O1HOB1于H,連接HC1.由(1)知,O1O底面ABCD,所以O(shè)1O底面A1B1C1D1,于是O1OA1C1.又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1B1D1,從而A1C1平面BDD1B1,所以A1C1OB1,于是OB1平面O1HC1,進(jìn)而OB1C1H.故C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.不妨設(shè)AB=2.因?yàn)镃BA=60,所以O(shè)B=3,OC=1,OB1=7.在RtOO1B1中,易知O1H=OO1O而O1C1=1,于是

15、C1H=O1故cosC1HO1=O1即二面角C1-OB1-D的余弦值為257圖(b)解法2:因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD是菱形,因此ACBD.又O1O底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖(b),以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.不妨設(shè)AB=2.因?yàn)镃BA=60,所以O(shè)B=3,OC=1,于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2).易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個法向量.設(shè)n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一個法向量,則n

16、取z=-3,則x=2,y=23,所以n2=(2,23,-3).設(shè)二面角C1-OB1-D的大小為,易知是銳角,于是cos =|cos|=n1故二面角C1-OB1-D的余弦值為25720.(本小題滿分13分)(2014湖南,理20)已知數(shù)列an滿足a1=1,|an+1-an|=pn,nN*.(1)若an是遞增數(shù)列,且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,求p的值;(2)若p=12,且a2n-1是遞增數(shù)列,a2n是遞減數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式分析:對于第(1)問,根據(jù)an是遞增數(shù)列,可將已知|an+1-an|=pn的絕對值符號去掉.再根據(jù)a1=1,用p表示出a2,a3來,然后由條件a1,2a2,3a3成

17、等差數(shù)列,建立關(guān)于p的方程求出p的值.對于第(2)問,可先由已知條件a2n-1是遞增數(shù)列與a2n是遞減數(shù)列建立不等關(guān)系,再依據(jù)已知條件|an+1-an|=pn得出a2n-a2n-1與a2n+1-a2n的表達(dá)式.最后利用累加法,求出an.解:(1)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=13,p=0當(dāng)p=0時,an+1=an,這與an是遞增數(shù)列矛盾.故p=13(2)由于a2n-1是遞增數(shù)列,因而a2n+1-a2n-10,于是(a2n+

18、1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但122n0,因此a2n-a2n-1=122因?yàn)閍2n是遞減數(shù)列,同理可得,a2n+1-a2nb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e1;雙曲線C2:x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F3,F4,離心率為e2.已知e(1)求C1,C2的方程;(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點(diǎn).當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時,求四邊形APBQ面積的最小值.分析:對于第(1)問,利用條件,結(jié)合平方關(guān)系將e1e2=32,|F2F4|=3-1表示成關(guān)于a,b的方程組,求解a,b的值,寫出C1,C2的方程.對于第(2)問,求四邊形APBQ面積的

19、最小值可建立函數(shù)求最值.設(shè)直線AB的方程為x=my-1,與C1的方程聯(lián)立,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)M的坐標(biāo).通過M的坐標(biāo),寫出PQ的直線方程,將其與C2聯(lián)立,并用m表示出|PQ|.再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A,B到直線PQ的距離,結(jié)合條件和根與系數(shù)的關(guān)系把距離用m表示出來,從而可將面積S表示為m的函數(shù),最后利用分離常數(shù)法求最值解:(1)因?yàn)閑1e2=32,所以a2-b2aa2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,從而F2(b,0),F4(3b,0),于是3b-b=|F2F4|=3-1,所以b=1,a2=2.故C1,(2)因AB不垂直于y軸,且過點(diǎn)F1(-1,0),故可

20、設(shè)直線AB的方程為x=my-1.由x=my-1,x22+y2=1得(m2易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是上述方程的兩個實(shí)根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4于是AB的中點(diǎn)為M-2故直線PQ的斜率為-m2,PQ的方程為y=-m2x,即mx+2y=由y=-m2x,x22-y所以2-m20,且x2=42-m2,y從而|PQ|=2x2+y2設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d,則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d,所以2d=|m因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線mx+2y=0的異側(cè),所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,從而2d=(m又因?yàn)閨y1-y2|=(y所以2d=22故四邊形APBQ的面積S=12|PQ|2d=221+m2而00,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)-2x(1)討論f(x)在區(qū)間(0,+)上的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)+f(x2)0,求a的取值范圍.分析:對于第(1)問,先計(jì)算f(x),再觀察f(x)=0是否有解,對a進(jìn)行討論.若無解,則直接判斷f(x)符