2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(北京卷)理

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)本試卷共5頁,150分,考試時長120分鐘,考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.(2013北京,理1)已知集合A=-1,0,1,B=x|-1x1,則AB=().A.0B.-1,0C.0,1D.-1,0,1答案:B解析:-1,0,1x|-1x0,x+m0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0,y0),滿足x0A.-,4C.-,-2答案:C解析:圖中陰影部分表示可行域,要求可行域內(nèi)

2、包含y=12x-1上的點,只需要可行域的邊界點(-m,m)在y=12x-1下方,也就是m-12m-1,即m0).由切割線定理可得,PA2=PDPB,即32=9k25k,可得k=15PD=95,PB=5在RtAPB中,AB=PB2-12.(2013北京,理12)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是.答案:96解析:連號有4種情況,從4人中挑一人得到連號參觀券,其余可以全排列,則不同的分法有4C41A33=13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=a+b(,R),則=答案:4

3、解析:可設(shè)a=-i+j,i,j為單位向量且ij,則b=6i+2j,c=-i-3j.由c=a+b=(6-)i+(+2)j,6-=414.(2013北京,理14)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為.答案:2解析:過E點作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于點E1,連接D1E1,過P點作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于點H,P點到直線CC1的距離就是C1H,故當C1H垂直于D1E1時,P點到直線CC1距離最小,此時,在RtD1C1E1中,C1HD1E1,D1E1C1H=C1D1C1E1,C1H

4、=25三、解答題共6小題,共50分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟.15.(2013北京,理15)(本小題共13分)在ABC中,a=3,b=26,B=2A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因為a=3,b=26,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得3sin所以2sinAcosAsinA=(2)由(1)知,cos A=63所以sin A=1-又因為B=2A,所以cos B=2cos2A-1=13所以sin B=1-在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=53所以c=asinCsin16.(2013北京,理16)(本小題共13分)下圖是

5、某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)解:設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i=1,2,13).根據(jù)題意,P(Ai)=113,且AiAj=(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達當日空氣重度污染”,則B=A5A8.所以P(B)=P(A5A8)=P(A5)+P(A8)=

6、213(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,且P(X=1)=P(A3A6A7A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=413P(X=2)=P(A1A2A12A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=413P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=513所以X的分布列為:X012P544故X的期望EX=0513+1413+2(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.17.(2013北京,理17)(本小題共14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5,(1)

7、求證:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)證明:在線段BC1上存在點D,使得ADA1B,并求BDBC解:(1)因為AA1C1C為正方形,所以AA1AC.因為平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個平面的交線AC,所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC,AA1AB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如圖,以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z),則n令z=3,則x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,

8、平面B1BC1的法向量為m=(3,4,0).所以cos=n由題知二面角A1-BC1-B1為銳角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為1625(3)設(shè)D(x,y,z)是直線BC1上一點,且BD=BC所以(x,y-3,z)=(4,-3,4).解得x=4,y=3-3,z=4.所以AD=(4,3-3,4).由ADA1B=0,即9-25=0,解得=因為9250,1,所以在線段BC1上存在點D,使得ADA1此時,BDBC1=18.(2013北京,理18)(本小題共13分)設(shè)L為曲線C:y=lnxx在點(1,0)(1)求L的方程;(2)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.解:(1)設(shè)f(x)

9、=lnxx,則f(x)=所以f(1)=1.所以L的方程為y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),則除切點之外,曲線C在直線L的下方等價于g(x)0(x0,x1).g(x)滿足g(1)=0,且g(x)=1-f(x)=x2當0 x1時,x2-10,ln x0,所以g(x)1時,x2-10,ln x0,所以g(x)0,故g(x)單調(diào)遞增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切點之外,曲線C在直線L的下方.19.(2013北京,理19)(本小題共14分)已知A,B,C是橢圓W:x24+y2=1上的三個點,O(1)當點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;(2)當

10、點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.解:(1)橢圓W:x24+y2=1的右頂點B的坐標為(2,0因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.所以可設(shè)A(1,m),代入橢圓方程得14+m2=1,即m=3所以菱形OABC的面積是12|OB|AC|=1222|m|=(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形.因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m(k0,m0).由x2+4y2=4,y=kx+m消y并整理得(1+4k2)x2設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x22=-4km所以AC的中點為M-4因為M為AC和OB的交點,所以直

11、線OB的斜率為-14因為k-14k-1,所以AC與所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小題共13分)已知an是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an+1,an+2,的最小值記為Bn,dn=An-Bn.(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*,an+4=an),寫出d1,d2,d3,d4的值;(2)設(shè)d是非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3,)的充分必要條件為an是公差為d的等差數(shù)列;(3)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2

12、,3,),則an的項只能是1或者2,且有無窮多項為1.解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3.(2)(充分性)因為an是公差為d的等差數(shù)列,且d0,所以a1a2an.因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,).(必要性)因為dn=-d0(n=1,2,3,),所以An=Bn+dnBn.又因為anAn,an+1Bn,所以anan+1.于是,An=an,Bn=an+1,因此an+1-an=Bn-An=-dn=d,即an是公差為d的等差數(shù)列.(3)因為a1=2,d1=1,所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1.故對任意n1,anB1=1.假設(shè)an(n2)中存在大于2的項.設(shè)m為滿足am2的