量子力學入門

1、量子力學入門第1頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第一個量子理論普朗克和黑體輻射 鐵匠房里的高溫金屬加工品。橘黃色的光芒是物體因高溫而發(fā)射出的熱輻射之中看得見的那一部分。圖片中每一樣物品同樣以熱輻射形式散發(fā)著光芒，但亮度不足，且肉眼看不見較長的波長。遠紅外線攝影機可捕捉到這些輻射。熱輻射即物體因其自身溫度而從物體表面發(fā)射出來的電磁輻射。如果有一個物體經(jīng)過充分加熱以后，會開始發(fā)射出光譜中紅色端的光線而變得火紅。再進一步加熱物體時會使顏色發(fā)生變化，發(fā)射出波長較短（頻率較高）的光線。而且這個物體既可以是完美的發(fā)射體，同時也可以是完美的吸收體。當物體處于冰冷狀態(tài)時，看起來是純粹

2、的黑色，此時物體幾乎不會發(fā)射出可見光，而且還會吸納落在物體上的光線。這個理想的熱發(fā)射體就被視為黑體，而黑體發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。第2頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三在19世紀末期，熱輻射在實驗上已有相當清晰的描述。維恩位移定律指出輻射最強處的波長，斯特藩-玻爾茲曼定律指出每一單位面積發(fā)射出的總能量。當溫度逐步遞增時，光的顏色會從紅色轉(zhuǎn)成黃色，再轉(zhuǎn)成白色、藍色。當峰值波長移向紫外線時，藍色波長中仍有足夠的輻射會發(fā)射出來，使物體持續(xù)顯現(xiàn)成藍色。物體絕對不會變得看不見，可見光的輻射會以單調(diào)形式逐步增強。1所有頻率段所發(fā)射的輻射量都會增強，但較短波長處的增強幅度相對要大的

3、多，因此在強度分布里的峰值就會移向較短的波長。 不同溫度下的黑體所輻射出的總能量和峰值波長。經(jīng)典電磁理論過份高估增強幅度，特別是短波長的部分。瑞利金斯定律符合實驗數(shù)據(jù)中的長波長部分。但在短波長部分，經(jīng)典物理預(yù)測熾熱物體所發(fā)射出的能量會趨于無窮大。這個被稱為紫外災(zāi)難的結(jié)果顯然是錯的。第3頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第一個能夠完整解釋熱輻射光譜的模型是由馬克斯普朗克于1900年提出的普朗克把熱輻射建立成一群處于平衡狀態(tài)的諧振子模型。為了符合實驗結(jié)果，普朗克不得不假設(shè)每一個諧振子必定以自身的特征頻率為能量單位的整數(shù)倍，而不能隨意發(fā)射出任意量的能量。也就是說，每一個諧振子

4、的能量都經(jīng)過“量子化”。每一個諧振子的能量量子與諧振子的頻率成一比例，這個比例常數(shù)就稱為普朗克常數(shù)。普朗克常數(shù)的符號為h，其值為 6.631034 J s，頻率f的諧振子能量E為 此處普朗克定律是物理學中第一個量子理論，也使普朗克榮獲1918年的諾貝爾獎“為表揚普朗克對于能量量子的發(fā)現(xiàn)和促使物理學進步的貢獻”。但當時普朗克認為量子化純粹只是一種數(shù)學把戲，而非（我們今日所知的）改變了我們對世界的理解的基本原理。第4頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三1690年，惠更斯提出了光的波動學說用以解釋干涉和折射現(xiàn)象，7而艾薩克牛頓堅信光是由極其微小的粒子構(gòu)成的，他把這種粒子叫作“光

5、子（corpuscles）”。由于牛頓本人的高度權(quán)威，微粒說在很長的一段時間占據(jù)著上風，1827年，托馬斯楊和奧古斯丁菲涅耳用實驗證明了光存在干涉現(xiàn)象，這是和“微粒說”不相容的。隨著波動學說的數(shù)學理論逐漸完善，到19世紀末，無論是實驗還是理論上，牛頓的理論都失去了以往的地位。1874年，喬治強斯頓史東尼 首次提出了電荷的概念，它是帶電體的基本量，不能再被拆分成更小的部分。電荷也就成為了第一個被量子化的物理量。1873年，詹姆斯克拉克麥克斯韋給出了著名的麥克斯韋方程，在理論上證明振蕩的電路能夠產(chǎn)生電磁波，這使得純粹的通過電磁測量手段來測量電磁波的速度成為了可能。而測量結(jié)果顯示電磁波的速度非常的接

6、近于光速。也就是說，光也是一種電磁波。亨里克赫茲制作了一個能夠產(chǎn)生低于可見光頻率的電磁波（現(xiàn)在我們稱之為微波）的儀器。早期研究的爭議在于如何解釋電磁輻射的本質(zhì)，一些人認為這是因為其的粒子性，而另一些人宣稱這是一種波動現(xiàn)象。在經(jīng)典物理里，這兩種思想是完全相悖的。第5頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三不久之后的一些實驗現(xiàn)象如光電效應(yīng)，只能把光看作“一份一份”的或是將其量子化才能得到合理的解釋。當光照射在金屬表面，電子會離開初始位置逸出。這種現(xiàn)象的一些特點只能在光的能量不連續(xù)的假設(shè)下才能被合理解釋。在一個光電設(shè)備（照相機的曝光表等），光照射在金屬感應(yīng)器表面使得電子逸出。增加光

7、的強度（同一頻率的光）能夠讓更多的電子逸出。而如果想要使電子的速度更快也就是動能更大，必須增加光的頻率。因此，光強只決定了光電流的大小，也可以說是電路中電壓的大小。這個現(xiàn)象和傳統(tǒng)的波動模型相悖，因為傳統(tǒng)模型是源自對聲波和海洋波的研究，這個模型的結(jié)論是，振動源的初相位也就是強度大小決定了所產(chǎn)生波的能量大小。同時，如何讓表現(xiàn)出光的粒子性和波動性的實驗現(xiàn)象和諧共處的問題，也擺在了物理學家的面前。第6頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三從光譜學開始的突破當一束白光通過光學棱鏡，光柵，錐面鏡或者是雨后的彩虹時，它就被分解成了各種顏色的光。這樣的光譜說明了，白光是由所有頻率的有色光組

8、成的。在受熱或者是受某種能量激發(fā)時，由單一元素組成的樣品能夠輻射出可見光，它的光譜被稱為放射光譜。光譜和元素的種類以及外界加熱的溫度有關(guān)。和白光的光譜不同，這種光譜是間斷的，并不是從紫色到紅色連續(xù)出現(xiàn)每種顏色，而是分別形成了一些具有不同顏色的窄帶（亮線），窄帶與窄帶之間存在黑色暗帶，這就是所謂的“線狀光譜”。放射光譜的譜線能夠超出可見光的范圍，我們能使用特殊的照相設(shè)備和電子設(shè)備檢測到它們。第7頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三最初，人們認為原子電磁輻射的模式是類似于小提琴的一根弦“輻射”出聲波那樣的-不僅僅只有一種基本頻率（整個弦一起在最低頻率振動，同時向一個方向運動）

9、，還應(yīng)該有高頻諧波（頻率是基頻的整數(shù)倍，弦上不同的地方位移可能相反，類似于正弦波）的成分。但如何用數(shù)學語言簡潔合理的描述某種元素的譜線分布一直困擾著人們，直到1885年，才由約翰雅各布巴耳末給出了一個簡單的公式來描述氫原子的譜線，如下： 表示波長, R是里德伯常量，而n 是大于2的整數(shù) 這個公式還能推廣到適用于別的一些元素的原子光譜，但這不是關(guān)鍵的，我們感興趣的是，為何第一個分數(shù)的分母是一個整數(shù)的平方？第8頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三進一步的發(fā)展便是彼得塞曼發(fā)現(xiàn)了塞曼效應(yīng)，隨后亨得里克洛侖茲給出了其物理解釋（兩人一起獲得了1902年諾貝爾物理學獎）。洛倫茲假設(shè)氫原

10、子的譜線是由電子躍遷產(chǎn)生的，這很容易由對原子本身的分析得到。由于運動的電子會產(chǎn)生電磁場，因此電子的行為就能夠被外磁場所影響，就像磁鐵之間互相吸引一樣。若假設(shè)電子在特定的不同的軌道上躍遷時向外輻射電磁波而形成譜線，賽曼效應(yīng)就得到了合理的解釋。但經(jīng)典物理做不到這些，它不能告訴我們電子為何不螺線狀墜入原子核，不能告訴我們?yōu)楹卧拥能壍烙休椛渥V線需要的性質(zhì)來描述巴爾末公式，不能告訴我們?yōu)槭裁措娮拥墓庾V都不是連續(xù)的。而這一切，都預(yù)示著，變革即將到來。第9頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三普朗克常數(shù)經(jīng)典物理有一個關(guān)于黑體輻射問題的推論：當頻率增大時，黑體輻射將會釋放出無限大的能量（

11、瑞利-金斯定律）。這個結(jié)論當然是荒謬的，可觀測到的實驗現(xiàn)象也是讓人無法理解：黑體的輻射光譜的能量密度隨著頻率從零開始遞增達到一個峰值（峰值頻率和輻射源的溫度有關(guān)）后再逐漸衰減至零。1900年，馬克斯普朗克給出了一個能夠解釋黑體光譜實驗現(xiàn)象的經(jīng)驗公式（利用數(shù)學插值法），但他不能使之和經(jīng)典物理相協(xié)調(diào)。 他得出的結(jié)論是，和從前大家所普遍相信的不一樣，經(jīng)典物理并不適用于微觀世界。第10頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三普朗克的公式適用于任意的波長和頻率的情況下，同時限制了發(fā)散的能量傳輸?！霸诮?jīng)典物理里，.振動的能量僅僅取決于其振幅，而振幅的大小是沒有任何限制的?！?9 他的理論

12、導出了一個重要推論，輻射的能量和輻射的頻率成正比關(guān)系，頻率越高，能量越大。為了解釋這個推論，他做了這樣的假設(shè)：宏觀的輻射源（如黑體）是由數(shù)量巨大的基本諧振子構(gòu)成的，振子的頻率在零到無窮大之間分布（不久以后證實了這種基本諧振子就是原子或分子），于是普朗克做了更進一步的假設(shè)：任一振子的能量“E”和它的頻率“f”成正比，而且是某種整倍數(shù)關(guān)系。如下所示： 在此式里，n =1, 2, 3,.。“h”由普朗克首先引入的是基本物理學常數(shù)，為了紀念他的功績，被命名為“普朗克常數(shù)”。20 h 是一個非常小的量, 大約是 6.6260693 10-34 焦耳-秒。如果我們知道“h”和光子的頻率，就能用這個方程計算

13、出光子的能量。 給出一個例子：如果一束光的頻率是540 1012 赫茲。那么這束光的每一個光子的能量就是“h” （5401012 hertz）。因此光子的能量就是3.58 10-19 焦, 就是大約2.23 電子伏特。第11頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三在早期關(guān)于光的研究中，存在對光的兩種相互競爭的描述方式：作為波在真空中傳播，或是作為微小粒子沿直線傳播。普朗克表述了光的能量是量子化的，凸顯出了它的粒子性。這種表述讓我們明白了光是如何以量子化形式傳播能量的。但是，光的波動性又是我們理解衍射和干涉之類的現(xiàn)象所必須的。1905年，愛因斯坦引入普朗克常量來解釋光電效應(yīng)而獲

14、得成功，他假設(shè)一束光是由大量的光量子（也就是后來的光子）組成的，21在這個前提下，一個光子具有的能量是不變的且和其頻率成正比關(guān)系（不同的光子具有不同的能量）。盡管這個建立在普朗克量子化假設(shè)上的理論聽起來類似于牛頓的微粒學說，但愛因斯坦的光子同時還具有頻率這種性質(zhì)，其能量還和頻率成正比，這是和過去不一樣的，但無論如何，光的“粒子說”以一種折中的方式回來了。第12頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三粒子和波的概念都源自于我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)驗。我們不看“看見”單獨的光子（事實上我們的觀測就是利用光子來進行的），我們只能間接的觀察它們的一些性質(zhì)。比如我們從表面覆蓋著油膜的水坑里看

15、見光反射出各種顏色。把光看做某種波，我們能解釋這種現(xiàn)象。23而對于其它一些現(xiàn)象，比如照相機中的曝光表的工作原理，我們又習慣把光看做某種和感光屏相撞的粒子。無論是哪種方式，我們都是在用日常生活中由經(jīng)驗得到的一些概念來描述那一個我們永遠無法直接看到或者感知到的世界。當然，無論是波動說或者粒子說都不能讓人完全滿意?？偟膩碚f，任何一種模型都只是對實際情形的近似描述。每一種模型都有它適用的范圍，超出這個范圍后，該模型也許就不能作出精確的描述了。牛頓力學對于我們的宏觀世界來說仍是足夠?qū)嵱玫?。我們?yīng)該認識到波和粒子的概念都是源自于我們的宏觀世界的，我們用它們來解釋微觀世界在一定程度上并不合理。有些物理學家，

16、比如班尼旭霍夫曼使用了“波粒二象性”來描述這種微觀世界的“實在”，而在接下來的討論中，使用“波”還是“粒子”將取決于我們從哪個方向去研究量子力學的現(xiàn)象。第13頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三約化普朗克常數(shù)（狄拉克常數(shù)）普朗克常數(shù)最初只是連接光的能量和頻率的比例因子。波爾在他的理論中推廣了這個概念。波爾用原子的行星模型來描述電子的運動，但起初他并不理解為何2和普朗克常數(shù)一起出現(xiàn)在了他推導出的數(shù)學表述中。不久之后，德布羅意假設(shè)電子也如同光子那樣具有頻率，而其此頻率必須滿足電子在特定軌道穩(wěn)定存在的駐波條件。這就是說，電子波圓周運動的軌跡必須光滑的銜接起來，波峰和波谷連續(xù)分布

17、。中間不能有間斷，周長的每一段都是振動的一部分，而且波形不能重疊。很自然的我們可以得出軌道的周長“C”是波長“”的正整數(shù)倍。我們在知道軌道半徑“r”之后就能夠計算出周長，在利用周長計算出電子的波長，數(shù)學表述如下： 解出得: 這個方程用半徑“r”表示出了決定頻率和波長的軌道周長，就這樣，因為半徑和周長之間的固有關(guān)系，2再一次出現(xiàn)在了量子力學中。第14頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第15頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第16頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第17頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第18頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第19頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第20頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第21頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第22頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第23頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第24頁，共33頁，2022年，5月20日，21點33分，星期三第25頁，共33