量子力學(xué)算符之間的對(duì)易關(guān)系

1、量子力學(xué)算符之間的對(duì)易關(guān)系第1頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三1 算符之間的對(duì)易關(guān)系 1.1 算符的基本運(yùn)算關(guān)系 （1）算符之和：算符 與 之和 定義為 為任意函數(shù) 一般 ，例如粒子的哈 密頓算符是動(dòng)能算符 與勢(shì)能算符 之和 （2）算符之積：算符 與 之積定義為 （1） （2） 第2頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三算符之積對(duì)函數(shù)的作用有先后作用次序問(wèn)題 一般不能顛倒 個(gè)相同算符 的積定義為算符 的 次冪 例如 則 為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號(hào)（3） （5） 第3頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三若稱(chēng)算符 與 是不對(duì)易

2、的（不能交換位置） 即若 稱(chēng)算符 與 是對(duì)易的 即下面幾個(gè)經(jīng)常使用的對(duì)易關(guān)系 請(qǐng)自行證明（6） （7） 第4頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三1.2 坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子 相互對(duì)易動(dòng)量算符是微分算符 因?yàn)?則坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符：設(shè) 為任意函數(shù)（12） （13） 第5頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三比較后可得 但是 同理可得坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的其它對(duì)易關(guān)系式 可概括為 其中坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系是最基本的對(duì)易關(guān)系，其它力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。 （14a） （14b） (14c) 第6頁(yè)，共24頁(yè)，2022年

3、，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三1.3 角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系只證明其中一個(gè)，請(qǐng)注意證明方法記憶方法：從左至右以 依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個(gè)指標(biāo)錯(cuò)位即為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。 (15) 第7頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三以相同的推導(dǎo)方法和記憶規(guī)律，有 另外有 （16） （17） （18） 第8頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三1.4 幾個(gè)重要的推論 (1) (2) （3）球坐標(biāo)下 是 的函數(shù)，若有徑向函數(shù)算符 則 （19） （20） （21） （22） 第9頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三2 共同本征函數(shù)完備系 2.1

4、共同本征函數(shù)完備系帶來(lái)算符對(duì)易 設(shè)兩個(gè)算符 和 有一個(gè)共同的本征函數(shù) ，則必有 及 ，即在 態(tài)中可以同時(shí)確定 這兩個(gè)力學(xué)量的數(shù)值，那么 這似乎提醒我們有 ，但下結(jié)論過(guò)早，因?yàn)檫@只是針對(duì)某一個(gè)特殊函數(shù)（本征函數(shù) ），如果 和 有一組完備的共同本征函數(shù)，對(duì)于任意態(tài)函數(shù) （23） 第10頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三有 則 這時(shí)才說(shuō) 和 是對(duì)易的。這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)算符，即如果一組算符有共同的本征函數(shù)完備系 ，則這組算符對(duì)易例如即在 態(tài)中 同時(shí)有確定值 及 ，所以 是 的共同的本征函數(shù)，并且是完備的，所以 （24） 第11頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)4

5、1分，星期三2.2 逆定理：如果一組算符對(duì)易，則這組算符有組成完備 系的共同的本征函數(shù)。 這里僅就非簡(jiǎn)并本征函數(shù)系加以證明 若算符 和 相互對(duì)易，對(duì)于 的本征函數(shù) ，有 可見(jiàn) 也是算符 的屬于本征值 的本征函數(shù)。已經(jīng)假定 非簡(jiǎn)并，所以對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)本征函數(shù) 和 最多只能相差一個(gè)常數(shù)，所以（26） （25） （27） 第12頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三可見(jiàn)， 同時(shí)也是 的屬于本征值 的本征函數(shù)。同理，對(duì) 的其它本征函數(shù)也有此結(jié)論。所以， 和 有組成完備系的共同的本征函數(shù)。 例如，角動(dòng)量算符 ，所以它們有組成完備系的共同的本征函數(shù) ，在 態(tài)中，力學(xué)量同時(shí)有確定值 及 。

6、 氫原子哈密頓算符所以， 對(duì)易，它們有組成完備系的共同的本征函數(shù) ，在該態(tài)中三者同時(shí)有確定值： （28） 第13頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三2.3 力學(xué)量完全集 有些情況下，力學(xué)量 的本征值是全部簡(jiǎn)并或部分簡(jiǎn)并的，一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)若干個(gè)本征函數(shù)。所以，只以 的本征值不足以完全確定本征函數(shù)，這時(shí)必定存在和 獨(dú)立且和 對(duì)易的其它力學(xué)量 。如果 的共同的本征函數(shù)仍然有簡(jiǎn)并，則必定還存在獨(dú)立于 而又和 對(duì)易的其它力學(xué)量 ， 的共同的本征函數(shù)是否還有簡(jiǎn)并？ 我們定義：一組相互對(duì)易而又相互獨(dú)立的力學(xué)量算符，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡(jiǎn)并的，即這組本征值完全確定一個(gè)共同本征函數(shù)

7、，則這組力學(xué)量稱(chēng)為力學(xué)量完全集。在完全集中，力學(xué)量的數(shù)目一般稱(chēng)為體系的自由度。第14頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三例題一 任意態(tài) 求 態(tài)中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函數(shù)所組成， 列表對(duì)應(yīng)求解：第15頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三解法二 由 得 由 正交歸一性得 第16頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三例題二 在對(duì)某一狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，同時(shí)得到能量 能唯一確定這一狀態(tài)嗎？ 解：能。因?yàn)槿齻€(gè)力學(xué)量對(duì)易， 故共同本征態(tài)為 第17頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三例題三

8、求粒子處于 時(shí)角動(dòng)量 分量和 分量的平均 值 。 解：首先應(yīng)注意， 是 的共同本征函數(shù)，而 不對(duì)易，故 不是 的本征函數(shù)。 利用對(duì)易關(guān)系 ，則 第18頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三同理 由于坐標(biāo) 與 的對(duì)稱(chēng)性，可得 ，故3 不確定關(guān)系 若算符 和 不對(duì)易時(shí)，常記為 是一個(gè)力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義 （29） （30） （31） 第19頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三注意， 仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計(jì)積分利用 的厄米性，可推出(課本p91)最后得出不確定關(guān)系(代數(shù)中二次式理論) 不確定關(guān)系（32） （33） （34） （35） 第20頁(yè)，共

9、24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易時(shí)，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時(shí)有確定值, 或者說(shuō)，它們不能有共同本征函數(shù)。 對(duì)不確定關(guān)系 應(yīng)著重掌握其物理意義 例如 所以可見(jiàn)，若動(dòng)量確定， ；則 ，即位置 完全不確定。試想，動(dòng)量為 的自由粒子以波長(zhǎng) 的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時(shí)，你能說(shuō)出粒子的確定位置嗎？或 （36） 第21頁(yè)，共24頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)41分，星期三反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫(xiě)為即位于 點(diǎn)的波（粒子）是許多不同波長(zhǎng)（動(dòng)量）的平面波的疊加，你能說(shuō)出該波的波長(zhǎng)（粒子的動(dòng)量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，是粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見(jiàn)教材。（37） 第22頁(yè)，