量子力學(xué)第六章

1、量子力學(xué)第六章第1頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三第2頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 波函數(shù)隨時(shí)間的演化可用Green函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。 格林函數(shù)的含義是： 時(shí)刻，粒子處于 ，則 時(shí)刻， 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度振幅就 是 ，即 第3頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 B粒子數(shù)守恒 在非相對(duì)論的情況下，波函數(shù)應(yīng)滿足方程 這即要求，凡滿足Schrodinger eq.的波函數(shù)，必須滿足上式。 若取 第4頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三則 稱為幾率流密度矢。這即為幾率守恒的微分形式。 第5頁，共58頁，2

2、022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 C. 多粒子體系的薛定諤方程 設(shè)：體系有 個(gè)粒子，質(zhì)量分別為 ，所處的位勢(shì)為 ，相互作用為 ，則其中第6頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 . 不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài)問題 我們已介紹一些極為有用的特例，即位勢(shì)與時(shí)間無關(guān) 。 （1） 不含時(shí)間的薛定諤方程 由于H與t無關(guān)，可簡(jiǎn)單地用分離變數(shù)法求特解。 第7頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 即H與t無關(guān)時(shí)，含時(shí)間的薛定諤方程的特解為： 其中 方程被稱為不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。 根據(jù)態(tài)疊加原理 第8頁，共58頁，2022年，5月20日，

3、21點(diǎn)40分，星期三 是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解，也就是，是 該體系的一個(gè)可能態(tài)。所以普遍的可能態(tài)一定可 表為第9頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三通常稱 （其中 ）為定態(tài)波函數(shù)。 對(duì)體系可按各種定態(tài)波函數(shù)展開來表示。但只有按自身的定態(tài)波函數(shù)展開時(shí)，系數(shù) C 才與t無關(guān)。否則與t有關(guān)。 （2）定態(tài)： A. 定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱為體系的定態(tài)，或者說，以波函數(shù) 第10頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 B. 定態(tài)的性質(zhì)：若體系Hamiltonian與t無關(guān)，則 1體系的幾率密度不隨時(shí)間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無幾率源）。這表明，

4、在任何地方都無幾率源，空間的幾率密度分布不變。 第11頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 2幾率流密度矢，不隨時(shí)間變化。 3. 任何不含 t 的力學(xué)量在該態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化。第12頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 4. 任何不顯含 t 的力學(xué)量在該態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。 第13頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三2.6 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 由于粒子應(yīng)由態(tài)函數(shù) 來描述。因此，就不能像經(jīng)典那樣以每時(shí)刻 ， 來描述（事實(shí)上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動(dòng)量并不一定取一個(gè)值）。但是否仍能像經(jīng)典那樣在 處發(fā)現(xiàn)粒子具有動(dòng)量 呢？ 第14

5、頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 W.Heisenberg指出：當(dāng)我們測(cè)量客體的動(dòng)量如有一測(cè)不準(zhǔn)度 （即客體動(dòng)量在這區(qū)域中的幾率很大），我們?cè)谕瑫r(shí)，不可能預(yù)言它的位置比 更精確。也就是說，在同一時(shí)刻測(cè)量動(dòng)量和位置，其測(cè)不準(zhǔn)度必須滿足類似 這稱為Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 第15頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 應(yīng)該注意：這是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果; 當(dāng)然也是波一粒兩象性的結(jié)果；自然也是波函數(shù)幾率解釋和態(tài)疊加原理的結(jié)果。 我們將從幾個(gè)方面來論述它:（1）一些例子： A. 具有確定動(dòng)量 （一維運(yùn)動(dòng)）的自由粒子， 是以 來描述，其幾率密度 第16頁，共5

6、8頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 所以，對(duì)任何 處的相對(duì)幾率都相同。也就是說，發(fā)現(xiàn)粒子在 區(qū)域中的幾率都相同。所以， 的不準(zhǔn)確度為 ，雖 ，但不違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 B如一個(gè)自由粒子是由一系列沿x方向的平面波疊加而成的波包描述。設(shè)：k很小， 變化很緩慢，可近似取為 第17頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三所以， 第18頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三第19頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 這是具有一定形狀沿x方向傳播的波包。波包的極大值位置為 ，所以它移動(dòng)的速度 即粒子的速度，如前述稱為群速度。在 時(shí)，位

7、相為 第20頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三在 時(shí)，位相也為 所以，位相傳播速度 ，如前述稱為相速度。 這個(gè)波包擴(kuò)展度的區(qū)域不是任意小，即 第21頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三第22頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三于是有 所以要波包僅局限于空間一定區(qū)域，相應(yīng) 的擴(kuò)展度不可能任意小；當(dāng) 的擴(kuò)展度一定時(shí)，那波包的擴(kuò)展度也不可能任意小。 （2）一些實(shí)驗(yàn)： A位置測(cè)量：一束電子平行地沿 方向入射，通過窄縫 ，從而測(cè)出 方向的位置。在 方向有一不確定度y=a，而人們認(rèn)為 第23頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40

8、分，星期三但事實(shí)上，通過縫后，在不同位置接收到的電 子數(shù)的多少顯示出干 涉圖象（電子數(shù)的大 ?。?，這一單縫干涉 的第一極小為即通過單縫后，電子在 方向的動(dòng)量不再為 0， 第24頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三而在0附近有一寬度 所以，當(dāng)測(cè)量y的位置越精確（即a越小），那動(dòng)量在y方向越不精確，它們的精確度至少要 滿足 B用顯微鏡測(cè)量電子的位置：一束具有確定動(dòng)量 的電子沿x軸運(yùn)動(dòng)。用顯微鏡觀察被電子散射的光束來測(cè)量電子的位置。但成的像是一衍射斑點(diǎn)。所以，顯微鏡的分辯率為（即電子位 第25頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三置的精度） 事實(shí)上，光子是一

9、個(gè)個(gè)到達(dá)屏上（ ） 第26頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 （3）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果 因波粒兩象性的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，要求用波函數(shù)來描述物質(zhì)粒子，且要求對(duì)波函數(shù)進(jìn)行幾率解釋，并有疊加性。 用 來描述物質(zhì)粒子時(shí)，它總可以表為由Fourier逆變換有 第27頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 從Fourier變換理論知： 的擴(kuò)展范圍（即有意義的區(qū)域）和它的富氏變換 所擴(kuò)展的范圍不能同時(shí)任意小。 幾率解釋態(tài)疊加原理給出了Fourier變換理論用在量子力學(xué)波函數(shù)時(shí)的物理含意。第28頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三（4）

10、能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 A能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：在狹義相對(duì)論 中， ， 都看作四度矢，所以有 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，即推測(cè) 也應(yīng)有。 當(dāng)固定t時(shí)，有 第29頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三現(xiàn)固定x，有 B能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的物理含意 1在空間固定處，發(fā)現(xiàn)體系如有一不確 定的時(shí)間間隔t，那該體系的能量必有一擴(kuò) 展度E，且有 。 第30頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 例如：若一個(gè)自由粒子的波包寬 ，它通過 所需時(shí)間 。所以，在間隔 內(nèi)，都有可能在 處發(fā)現(xiàn)粒子。由 所以，這一自由粒子波包的能量并不是取確定值，而是有一擴(kuò)展度。第31頁，共58頁，2022年，5月2

11、0日，21點(diǎn)40分，星期三 2體系幾率分布發(fā)生大的改變需時(shí)間t，那體系的能量不確定度為 ，使 例1：定態(tài)：其幾率分布不隨時(shí)間變，所以要使這一分布發(fā)生變化，則要求 ，所以 （即具有確定能量）。 例2：若體系的波函數(shù)為 第32頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三所以幾率分布在 和 之間振蕩，振蕩周期 。所以體系幾率分布發(fā)生明顯變化的時(shí)間間隔 ， 即 。第33頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 3若體系能量有一不確定度E，體系保持不變的平均時(shí)間不小于 例：不穩(wěn)定體系的能級(jí)有一定寬度 ，所以，平均壽命 。 （5）一些應(yīng)用舉例：測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可用作一些 問題的數(shù)

12、量級(jí)的估計(jì) A類氫離子的基態(tài)能量估計(jì)： 設(shè)：類氫離子的電子軌道半徑為 r（在一第34頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三平面中），所以，不確定度 。因此 ，于是， 由 所以， 第35頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 B. 考慮重力下粒子的“靜止” 現(xiàn)作一簡(jiǎn)單的估計(jì): 經(jīng)典“基態(tài)”是靜止的。而量子粒子其位置有一不確定度 ，動(dòng)量也有一不確定度 。所以， ，第36頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三所以，對(duì)于經(jīng)典物理學(xué)，則認(rèn)為 z=0。而對(duì)于量子粒子則為 i.塵粒： , ; ii. 電子： 。 C. 介子質(zhì)量的預(yù)言 核子與介子場(chǎng)相

13、互作用而導(dǎo)致與另一核子作用。如核力是通過核子交換新的量子（介子）來實(shí)現(xiàn)。若該介子的靜止質(zhì)量為，則核子在發(fā)射前后有一能量不確定度（改變），i.第37頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三其最小的值為 。因此時(shí)間有一（最大）不確定度（由于動(dòng)能改變沒計(jì)入，所以能量改變以最小估計(jì)。因而時(shí)間不確定度，即體系保持不變的平均時(shí)間是最大估計(jì)）即 的范圍內(nèi)的任何時(shí)間發(fā)射介子都有較大的幾率?？稍谶@一段時(shí)間內(nèi)，任一時(shí)間發(fā)射，可移動(dòng)的最大距離或在最遠(yuǎn)處而被第38頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三另一核子吸收（下一時(shí)刻將發(fā)射另一介子），所以二核子交換一個(gè)介子的相互作用的最大力

14、程（即介子的康普頓波長的 ）。實(shí)驗(yàn)測(cè)得核力力程為1.4fm。所以， 第39頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三即得 （實(shí)驗(yàn)值為139MeV） 就我個(gè)人的看法： 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是對(duì)兩個(gè)物理量同時(shí)測(cè)量結(jié)果可能值的最佳區(qū)域（或不確定度）關(guān)系的約束，它不是測(cè)量的影響。 第40頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 第三章 一維定態(tài)問題 現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的問題來應(yīng)用所得的原理和方程：一維，不顯含時(shí)間的位勢(shì)且位勢(shì)有一定性質(zhì)時(shí)，如則三維問題可化為一維問題處理。所以一維問題是解決三維問題的基礎(chǔ)。 第41頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三3.1一般性質(zhì)

15、設(shè)粒子具有質(zhì)量m，沿x軸運(yùn)動(dòng)，位勢(shì)為 ，于是有 （1）定理1：一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí)（束縛態(tài)），一般是不簡(jiǎn)并的。 簡(jiǎn)并度（degeneracy）：一個(gè)力學(xué)量的某個(gè)測(cè)量值，可在 n 個(gè)獨(dú)立的（線性無關(guān)的）波函數(shù)中測(cè)得，則稱這一 測(cè)量值是具有n 重簡(jiǎn)并度。第42頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 如某能量本征值有 n 個(gè)獨(dú)立的定態(tài)相對(duì)應(yīng)，則稱這能量本征值是 n 重簡(jiǎn)并的。 證：假設(shè) , 是具有同樣能量的波函數(shù) (1) (2)第43頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三從而得 于是 (c是與 x 無關(guān)的常數(shù))對(duì)于束縛態(tài) （或在有限區(qū)域有某值使 ），所以 c0。

16、從而有 第44頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 若 不是處處為零，則有應(yīng)當(dāng)注意: . 分立能級(jí)是不簡(jiǎn)并的，而對(duì)于連續(xù)譜時(shí)， 第45頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三若一端 ，那也不簡(jiǎn)并。但如兩端都不趨于0（如自由粒子），則有簡(jiǎn)并。 當(dāng)變量在允許值范圍內(nèi)（包括端點(diǎn)）， 波函數(shù)無零點(diǎn)，就可能有簡(jiǎn)并存在。（因常數(shù)c0）。 當(dāng) V(x) 有奇異點(diǎn)，簡(jiǎn)并可能存在。因這時(shí)可能導(dǎo)致 處處為零。 第46頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三推論：一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù)（當(dāng)然可 保留一相因子）。 證 令 （ 都是實(shí)函數(shù)）則 第47頁，共

17、58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 但對(duì)束縛態(tài)，沒有簡(jiǎn)并，所以只有一個(gè)解，因而 Rn 和 In 應(yīng)是線性相關(guān)的，所以 因此， 第48頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 （2）不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的。 （1） （2）第49頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三所以 從而證明得 。（3）振蕩定理：當(dāng)分立能級(jí)按大小順序排列，一般而言，第n+1條能級(jí)的波函數(shù)，在其取值范圍內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)（即有n個(gè)x點(diǎn)使 ，不包括邊界點(diǎn)或遠(yuǎn)）。所以 從而證明得 。第50頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三第51頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 基態(tài)無節(jié)點(diǎn)（當(dāng)然處處不為零的波函數(shù)沒有這性質(zhì)，如 （它是簡(jiǎn)并的），同樣，多體波函數(shù)由于反對(duì)稱性，而可能無這性質(zhì)） （4）在無窮大位勢(shì)處的邊條件：首先討論有有限大小的間斷點(diǎn)，由方程即 第52頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三 由于 存在，即 存在，即 的導(dǎo)數(shù)存在，所以函數(shù)連續(xù)，也就是波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 而在位勢(shì)是無窮時(shí)又如何呢？設(shè) 第53頁，共58頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三令 , 所以， 得解 第54頁，共58頁，2022年