量子力學(xué)第三章

1、量子力學(xué)第三章第1頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三1 一維無限深勢(shì)阱（一）一維運(yùn)動(dòng) （二）一維無限深勢(shì)阱 （三）宇稱 （四）討論第2頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（一） 一維運(yùn)動(dòng)所謂一維運(yùn)動(dòng)就是指在某一方向上的運(yùn)動(dòng)。此方程是一個(gè)二階偏微分方程。若勢(shì)可寫成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，則 S-方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez于是S-方程化為三個(gè)常微分方程：當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng) V(x,y,z) 中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其 Schrodi

2、nger 方程為：第3頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三其中第4頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（二）一維無限深勢(shì)阱求解 S 方程 分四步： （1）列出各勢(shì)域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù)-a 0 aV(x)IIIIII第5頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（1）列出各勢(shì)域的 S 方程方程可 簡(jiǎn)化為：-a 0 aV(x)IIIIII勢(shì)V(x)分為三個(gè)區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函數(shù)分別為 I(x),II(x) 和 III (x)。則方程為：22第6頁，

3、共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢(shì)壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII1。單值，成立； 2。有限：當(dāng)x - ， 有限條件要求 C2=0。第7頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三使用標(biāo)準(zhǔn)條件 3。連續(xù)： 2）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)： 在邊界 x = -a，勢(shì)有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因?yàn)椋?若I(-a) = II(-a)， 則有，0 = A cos(-a + ) 與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果 A si

4、n(-a + )= 0 矛盾，二者不能同時(shí)成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。1）波函數(shù)連續(xù)：-a 0 aV(x)IIIIII第8頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三(1)+(2)(2)-(1)兩種情況：由（4）式第9頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三討論狀態(tài)不存在描寫同一狀態(tài)所以 n 只取正整數(shù)，即于是：或第10頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三于是波函數(shù)：由（3）式類似 I 中關(guān)于 n = m 的討論可知：第11頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三綜合 I 、II 結(jié)果，最后得：對(duì)應(yīng) m =

5、2 n對(duì)應(yīng) m = 2n+1第12頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。第13頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三由此可見，對(duì)于一維無限深方勢(shì)阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處， = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動(dòng)能量本征值是分立能級(jí)，組成分立譜。（4）由歸一化條件定系數(shù) A第14頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三小結(jié) 由無窮深方勢(shì)阱問題的求解可以看 出，解S方程的一般步驟如下：一、列出各勢(shì)域上的S方程； 二、求解S方程； 三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值

6、、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值； 四、由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。第15頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（三）宇稱（1）空間反射：空間矢量反向的操作。（2）此時(shí)如果有： 稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）；（3）如果在空間反射下，則波函數(shù)沒有確定的宇稱。第16頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（四）討論一維無限深 勢(shì)阱中粒子 的狀態(tài)（2）n = 0 , E = 0, = 0，態(tài)不存在，無意義。 而n = k, k=1,2,.可見，n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。（1）n = 1, 基態(tài)， 與經(jīng)

7、典最低能量為零不同， 這是微觀粒子波動(dòng)性的表 現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒 有意義的。第17頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（4）n*(x) = n(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。（5）定 態(tài) 波 函 數(shù)（3）波函數(shù)宇稱第18頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三作 業(yè)周世勛：量子力學(xué)教程第二章 2.3、 2.4、 2.8第19頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三2 線性諧振子（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù)

8、 （6）討論（三）實(shí)例第20頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為 x = Asin( t + )。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0 = 0，即平衡位置處于勢(shì) V = 0 點(diǎn)，則第21頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（2）為什么研究線性諧振子自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及

9、輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，V 有一極小值V0 。在 x = a 附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0第22頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a, V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。第23頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（二）線性諧振子（1）方

10、程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論第24頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（1）方程的建立線性諧振子的 Hamilton量：則 Schrodinger 方程可寫為 ：為簡(jiǎn)單計(jì)， 引入無量綱變量代替x，此式是一變系數(shù) 二階常微分方程第25頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) 時(shí)波函數(shù) 的行為。在此情況下， 1第26頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三其中 H() 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即： 當(dāng)有限時(shí)，

11、H()有限； 當(dāng)時(shí)，H()的行為要保證() 0。將()表達(dá)式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H() 所滿足的方程：2. H()滿足的方程第27頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三3.級(jí)數(shù)解我們以級(jí)數(shù)形式來求解。 為此令：用 k 代替 k第28頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。 因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè) 線性獨(dú)立解。可分別令：b0 0, b1=0. Heven(); b1 0, b0=0. Hodd().即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + b

12、k(-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：該式對(duì)任意都成立， 故同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，只含偶次冪項(xiàng)只含奇次冪項(xiàng)則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2第29頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件(I)=0 exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限(II) 需要考慮無窮級(jí)數(shù)H()的收斂性為此考察相鄰 兩項(xiàng)之比：考察冪級(jí)數(shù)exp2的 展開式的收斂性比較二級(jí)數(shù)可知： 當(dāng)時(shí)， H()的漸近 行為與exp2相同。單

13、值性和連續(xù)性二條件自然滿足， 只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。因?yàn)镠()是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)， 即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x=0, x 或=0, 。第30頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù) H() 必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求 H() 從某一項(xiàng)（比如第 n 項(xiàng)）起 以后各項(xiàng)的系數(shù)均為零，即 bn 0, bn+2 = 0. 代入遞推關(guān)系)得：結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。第31頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星

14、期三（4）厄密多項(xiàng)式附加有限性條件得到了 H()的 一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密 多項(xiàng)式，記為 Hn()，于是總波 函數(shù)可表示為：由上式可以看出，Hn() 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。歸一化系數(shù)Hn() 也可寫成封閉形式： = 2n+1第32頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：從上式出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系： 應(yīng) 用 實(shí) 例例：已知 H0 = 1, H1=2，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2H1-2nH0 = 42-2下面給出前幾個(gè)厄密 多項(xiàng)式具體表達(dá)式： H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12

15、 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+120基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)(x)的遞推關(guān)系：第33頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（5）求歸一化系數(shù) ( 分 步 積 分 )該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與 exp-2 的 乘積，當(dāng)代入上下限=后，該項(xiàng)為零。繼續(xù)分步積分到底因?yàn)镠n的最高次項(xiàng) n的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dn = 2n n!。于是歸一化系數(shù)則諧振子 波函數(shù)為：(I)作變量代換，因?yàn)?x， 所以d= dx； (II)應(yīng)用Hn()的封閉形式。第34頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（6）討論3. 對(duì)應(yīng)一個(gè)諧

16、振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0=1/2 0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。1。上式表明，Hn()的最高次項(xiàng)是(2)n。所以： 當(dāng) n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含的偶次項(xiàng)； 當(dāng) n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含的奇次項(xiàng)。2. n具有n宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp-2/2是的偶函數(shù)，所以n的宇稱由厄密多項(xiàng)式 Hn() 決定為 n 宇稱。第35頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三n = 0n = 1n = 24.

17、 波函數(shù)然而，量子情況與此不同 對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是： 0() = |0()|2 = = N02 exp-2 分析上式可知：一方面表明在= 0處找到粒子的幾率最大； 另一方面，在|1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零， 與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在| x| V0 情況因?yàn)?E 0, E V0, 所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改寫為：上述三個(gè)區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：第48頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三定態(tài)波函數(shù)1,2,3 分別乘以含時(shí)因子 exp-iEt/ 即可看出： 式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第

18、二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在 x a 的III 區(qū)沒有反射波，所以 C=0，于是解為：利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。 首先， 解單值、有限條件滿足。1. 波函數(shù)連續(xù)綜合 整理 記之2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)波函數(shù)意義第49頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三3. 求解線性方程組4. 透射系數(shù)和反射系數(shù)求解方程組得:為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被 勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。I 透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為透射系數(shù) D = JD/JIII 反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為反射系數(shù) R = JR/JI其物理

19、意義是：描述貫穿到 x a 的 III區(qū)中的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直 x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子（在 x a 的III區(qū)，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。同理得反射系數(shù)：第52頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（2）E V0情況故可令： k2=ik3， 其中k3=2(V0-E)/ 1/2。 這樣把前面公式中的 k2 換成 ik3 并注意到： sin ik3a = i sinh k3a即使 E V0，在一般情況下，透射系數(shù) D 并不等于零。0 aV(x)xV0入射波+反射波透射波因 k2=2(E-V0)/ 1/2，當(dāng) E 1時(shí)故4可略透射系數(shù)則變?yōu)椋捍致怨烙?jì)，認(rèn)為 k1

20、k3 （相當(dāng)于E V0/2）, 則 D0 = 4是一常數(shù)。下面通過實(shí)例來說明透射系數(shù) 的量級(jí)大小。于是：第54頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三例1: 入射粒子為電子。設(shè) E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得 D 0.51。若a=5 10-8cm = 5 ， 則 D 0.024，可見 透射系數(shù)迅速減小。 質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p/e 1840。 對(duì)于a = 2 則 D 2 10-38。 可見透射系數(shù)明顯的依賴于 粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度。量子力學(xué)提出后，Gamow 首先用勢(shì)壘穿透成功的說明 了放射性元素的衰變現(xiàn)象。例2: 入射粒子換成質(zhì)子。第55頁，共59頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)39分，星期三（2）任意形狀的勢(shì)壘則 x1 x2貫穿勢(shì)壘V(x)的 透射系數(shù)等于貫穿這些小 方勢(shì)壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)是不太嚴(yán)格的，但該式與嚴(yán)格