降落傘的選擇 優(yōu)化

1、降落傘的選擇 組員：史少陽、尋鑫、周茜茜 時間：2014-8-6一、摘要 本模型研究的是降落傘的選購方案，該問題是在保證物資不被損壞的情況下，用最小的費用去完成空投，屬于最優(yōu)化問題。因此，本文以由降落傘的傘面費（由半徑?jīng)Q定）、繩索（由長短決定）、固定使用費（常數(shù)）構(gòu)成的總費用最小為目標(biāo)函數(shù)，以空投質(zhì)量和落地速度為約束條件，建立了一個線性規(guī)劃模型。在對傘進(jìn)行受力分析時，利用牛頓運動定律及已知條件，在假設(shè)的前提下列出重力與阻力的關(guān)系式，并列出微分方程對阻力系數(shù)k進(jìn)行求解。我們采用物理方法，并利用MATLAB軟件進(jìn)行作圖和數(shù)值運算，得到了k=2.95747。由于題中已限制最大落地速度為20m/s，所

2、以，當(dāng)速度為20m/s時，傘的載重量最大，最后利用LINDO軟件求解可得：x1=0，x2=0,x3=6,x4=0,x5=0,即購買半徑為3m的降落傘6個時，總費用最少為4932元。關(guān)鍵字： 線性規(guī)劃 MATLAB軟件 LINDO軟件二、問題重述現(xiàn)在某災(zāi)區(qū)需要空投2000kg的救災(zāi)物資，需要選擇一些降落傘以保證在高度不超過500米，降落傘落地的速度不超過20m/s，使得空投任務(wù)得以圓滿完成。為了研究方便，假設(shè)降落傘是長為L（L=1），共16根繩索連接掛于球心正下方球面處，每個降落傘的價格由3部分組成：傘面費（由半徑?jīng)Q定），繩索費（由長度決定），固定使用費（常數(shù)），為了計算降落傘下降的過程中的阻力

3、系數(shù)，可以做如下實驗，選擇半徑r=3m，載重量m=300kg的降落傘，從高度為500m的高空下落，t與高度s的關(guān)系見下表：試選擇降落傘。22.533.54傘面費651703506601000036912151821242730500470425372317264215160108551三、模型分析本題是一個在有限資源問題下的優(yōu)化問題，根據(jù)題目可知，在達(dá)到空投質(zhì)量和落地速度一定的前提下，來確定降落傘的選擇方案。因此，我們可以以費用最小為目標(biāo)函數(shù)，以空投質(zhì)量和落地速度為約束條件，來最終確定各類降落傘的數(shù)量。其中總費用以降落傘的費用、繩索的費用、固定使用費構(gòu)成，傘面費用由傘的半徑r決定，繩索費用由繩

4、索的長度及單價決定，由圖一可知繩索的長度又由降落傘的半徑?jīng)Q定，即：，固定費用為定值200。 因為題中已給出每種傘面的半徑，所以每種傘的價格為定值，在滿足空投物資要求的條件下，使總費用最少。因此，我們需要確定每種傘的最大承載量。然后進(jìn)行線性規(guī)劃，確定總固定費用為定值200，費用和每種傘的個數(shù)。四、符號說明 = 1 * GB2 ：分別表示購買半徑為的降落傘的個數(shù)； = 2 * GB2 ：分別表示半徑為的降落傘的價格； = 3 * GB2 ：表示空氣阻力系數(shù)； = 4 * GB2 ：表示降落傘的載重量； = 5 * GB2 ：表示的降落傘最大載重量; = 6 * GB2 : 表示時刻降落傘的下落高度

5、； = 7 * GB2 ：表示重力加速度； = 8 * GB2 ：分別表示傘面費、繩索費、固定使用費； = 9 * GB2 : 空投物資的總質(zhì)量； = 10 * GB2 ：單個繩索長度；五、模型假設(shè) = 1 * Arabic 1. 假設(shè)傘是標(biāo)準(zhǔn)的半球面，并且重物在傘的正下方；假設(shè)物資可以任意分割；假設(shè)將降落傘和繩索及物資整體看為質(zhì)點；假設(shè)降落傘和繩索的質(zhì)量忽略不計；假設(shè)降落傘的落地速度不超過20m/s;假設(shè)降落傘在降落的過程中只受重力和一個可以認(rèn)為是非重力因素作用的合力；降落傘的阻力與速度和面積的乘機(jī)成正比，系數(shù)稱為空氣阻力系數(shù)為常數(shù)。六、模型建立第一步：計算各規(guī)格降落傘的價格。已知其價格由傘

6、面費、繩索費、固定使用費三部分構(gòu)成，其中傘面費題中已給出，繩索費由單位長度的價格乘以長度得，固定使用費為常數(shù)。由已知及計算可得其總費用如下：i1234565170350660100018122627131736220020020020020044659682211771562第二步：計算阻力系數(shù)對降落傘經(jīng)行受力分析見圖1：由牛頓運動定理及假設(shè)有：即解之得： 積分有：由假設(shè)原實驗表變?yōu)椋?3691215182124273003075128183236285340392445449作圖如下：由圖像可見圖像后段幾乎為線性關(guān)系，即后期幾乎為勻速運動，則選擇t=9s后的點做線性回歸，通過MATLAB軟件

7、回歸得由分析則：另一方面，已知：作v(t)-t圖如下：可得：第三步：求各種規(guī)格的最大載重量事實上上式可寫為： ,為減函數(shù)，因而當(dāng)時， ，則。那么為單調(diào)遞增函數(shù)，故也為單調(diào)遞增函數(shù)。由此可得當(dāng)=20m/s時，每種規(guī)格的傘取得最大承載量，由聯(lián)立消去參數(shù)t，得到當(dāng)=2，2.5，3，3.5，4時，將帶入上式，則:152.396238.119342.892466.713619.585第四步：寫出目標(biāo)函數(shù)由分析可知，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為總費用最小值，即降落傘運輸物資的約束條件為：八、模型求解由于已知： ，,則所得線性規(guī)劃為通過求解可得x1=0 ，x2=0 ，x3=6 ，x4=0 ，x5=0 此時 z=4932則在此次降落傘的選擇中：半徑為3m的降落傘選6個，可得總費用最小為4932元。九、模型評價與推廣優(yōu)點：1、優(yōu)化模型可使問題在處理時更加清晰明了。2、該模型的應(yīng)用方法可推廣到其他領(lǐng)域，具有一定的代表性。缺點：1、建立理想化模型，使在降落過程中只受重力與可以認(rèn)為是非重力共同作用的合力。2、只考慮物資掛于傘正下方的情況。3、貨物可以任意分割，且把繩索與物資都看成指點，忽略其體積因素。推廣：該模型不僅適用于解決這一個問題，同時對解決另外一些生產(chǎn)過程中的最大利潤問題等一些優(yōu)化問題也有很強(qiáng)的適用性。十、參考 HYPERLINK /view/afc8474df7ec4af