再談數(shù)量關(guān)系

1、再談數(shù)量關(guān)系 一次校本教研引發(fā)的思考余諄 湖北省黃石市龔家巷小學(xué) 在一次以“解決問題的教學(xué)”為主題的校本教研中，一位有著28年教齡的教師（該教師是剛接手這個班的數(shù)學(xué)）率先提出：“我在分?jǐn)?shù)乘法的解決問題例2的教學(xué)中，化了一節(jié)課才是讓學(xué)生掌握了這道題的數(shù)量關(guān)系，你們是怎樣教學(xué)的??？”同年級的楊老師說：“你還講了數(shù)量關(guān)系？言外之意是這個可不提倡了??！我們是直接讓學(xué)生讀題，根據(jù)自己的理解列出算式就可以了，如果列不出就借助線段圖來幫助理解?！笔前?！曾幾何時(shí)，我們的“應(yīng)用題”教學(xué)，教師都是引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系來思考、解答?，F(xiàn)如今，隨著新課改的“解決問題”來取代“應(yīng)用題”，特別是當(dāng)專家解讀應(yīng)用題被取

2、代的理由：對“應(yīng)用題”的學(xué)習(xí)過程充滿了“模仿、記憶、識別、練習(xí)”等；因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)教學(xué)中，“教師滿足于頭頭是道地給學(xué)生分析等量關(guān)系，機(jī)械地列出方程、解答問題；更有甚者給學(xué)生把問題分類，并就每一類問題提供主要的等量關(guān)系和解題套路，什么行程問題、濃度問題這樣的教學(xué)，沒有探索、沒有研究，也沒有挑戰(zhàn)性，有的只是被動的接受和機(jī)械的模仿、操練，使具有良好教育作用的課題變了味，應(yīng)用意識和實(shí)踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。”廣大具有“學(xué)習(xí)精神”、“創(chuàng)新精神”和“改革精神” 的小學(xué)數(shù)學(xué)戰(zhàn)線上教師們，就對“應(yīng)用題”噤若寒蟬了，對多年在解答“應(yīng)用題”時(shí)的數(shù)量關(guān)系分析更是敬而遠(yuǎn)之了。生怕一個不小心，領(lǐng)回一頂“穿新鞋走老路”

3、、 “不領(lǐng)會新課改理念”等等帽子。那么，在新課改后的課堂，還要不要有“應(yīng)用題”那樣分析題目中的數(shù)量關(guān)系、等量關(guān)系呢？我想就自己的課堂談?wù)劯惺芎腕w會，以期和各位同仁真誠交流。分析數(shù)量關(guān)系是解決問題的基石。新課改后的“解決問題”要改革原來“應(yīng)用題”機(jī)械化的教學(xué)，運(yùn)用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和運(yùn)算意義來進(jìn)行“解決問題”，可以說有一定的意義。但如果數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)僅僅停留在生活經(jīng)驗(yàn)和初步的運(yùn)用意義上是不夠的。一是生活經(jīng)驗(yàn)畢竟是直觀形象思維，是淺顯的、不易撲捉的、有個性化的。如：二年級上冊學(xué)生接觸“求比一個數(shù)多（少）幾”的問題時(shí)，學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，可以判斷是用減法來解決。如果此時(shí)教師僅僅停留在此，不去提升學(xué)生的思維

4、，讓學(xué)生構(gòu)建“較大數(shù)較小數(shù)相差數(shù)”的數(shù)量關(guān)系式。那在后面“求比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少”的問題，學(xué)生將僅僅憑生活經(jīng)驗(yàn)很難判斷了，那時(shí)知識的“前攝效應(yīng)”就會出現(xiàn)了。更重要的是將會影響六年級“求比一個數(shù)多（少）幾分之幾”的問題解決。二是運(yùn)算意義太抽象，能理解運(yùn)算的意義，并去解決一步問題已經(jīng)很不錯了，如果是隱藏條件的兩步問題或多步問題，那就無從入手了。例如：學(xué)習(xí)了整數(shù)乘法的意義之后，學(xué)生運(yùn)用乘法的意義求幾個幾相加的和用乘法計(jì)算來解決“每只兔子拔5只蘿卜，3只兔子拔（ ）只（人教版第二冊第53頁）”注：為了敘述的方便，本文中所列舉的例子都是把教材中的“解決問題”像如此進(jìn)行簡化后的語言。，會很容易。但

5、如果僅僅讓學(xué)生停留在求“3個5的和可以列式35”，不去滲透“共拔的蘿卜每只兔子拔的個數(shù)兔子的只數(shù)”注：為了敘述的方便，本文中所列舉的例子都是把教材中的“解決問題”像如此進(jìn)行簡化后的語言。三是數(shù)學(xué)問題畢竟不能都是生活中的問題，還有純數(shù)學(xué)知識的判斷、推理等等。例如“正反比例的判斷”。在一次網(wǎng)絡(luò)教研活動中，有教師提出“學(xué)生判斷正反比例很難，原因何在？”我從自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)分析，其中不乏是數(shù)量關(guān)系的教學(xué)缺失，導(dǎo)致學(xué)生不會找出正確的數(shù)量關(guān)系，從而不會判斷。就像“某種粗細(xì)均勻的鐵絲，長度和質(zhì)量成什么比例？”這個判斷，學(xué)生根本找不出長度、質(zhì)量與粗細(xì)均勻三者之間的數(shù)量關(guān)系，肯定就無法判斷了。再如有這樣一道題：給

6、水池注水，給了注水高度和注水時(shí)間的關(guān)系圖，讓學(xué)生判斷注水高度和注水時(shí)間有何關(guān)系？并說明理由。學(xué)生根據(jù)關(guān)系圖可以判斷是注水高度和注水時(shí)間正比例關(guān)系，但在說明理由時(shí)，卻不知“注水高度注水時(shí)間”得到什么量。四是新課改后的教材對小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算意義淡化，讓學(xué)生解決此類問題更是迷茫。例如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，教材注重的是分?jǐn)?shù)乘法的算法，淡化了分?jǐn)?shù)乘法的意義?？雌饋頌閷W(xué)生減少了枯燥、抽象的分?jǐn)?shù)乘法意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)起來會更輕松，但也為分?jǐn)?shù)乘法解決問題埋下了障礙。我見過一個學(xué)生會解決“一件商品原價(jià)是800元，現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的9/10，現(xiàn)價(jià)多少元？”但遇到“一件商品原價(jià)是800元，為了促銷，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)低1/10銷售，

7、現(xiàn)價(jià)多少元？”時(shí)，就直接用“8001/10”來解決。顯然是沒明白“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)低1/10”的意義隱含著“現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的9/10”或“現(xiàn)價(jià)比原價(jià)低原價(jià)的1/10”。如此總總，原來“應(yīng)用題”解答時(shí)的數(shù)量關(guān)系分析是教學(xué)的關(guān)鍵，現(xiàn)在也依然是“解決問題”所必須的基石。分析數(shù)量關(guān)系是思維發(fā)展的橋梁。小學(xué)生思維發(fā)展年齡特點(diǎn)是“直觀形象思維逐步向抽象邏輯思維過度”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將起到很好的促進(jìn)作用。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，原來應(yīng)用題教學(xué)中許多優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)值得我們借鑒。如:分析法、綜合法、作圖法等等都是幾代數(shù)學(xué)教育工作者積累的很好方法，這些方法對提高學(xué)生思維能力十分有幫助。首先，分析法、綜合法是分析與綜合思維在數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系分析

8、中的具體應(yīng)用。如分析法是分析思維的具體應(yīng)用，是對要解決的數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成數(shù)量進(jìn)行研究，根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系，找出解決這個問題的兩個最直接的重要數(shù)量，這些數(shù)量中有的可能是已知的，有的是未知的，再把未知的數(shù)量做為中間問題，找出解這個中間問題所需要的數(shù)量，這樣逐步推理，直到所需要的數(shù)量都能從題目中找到為止。綜合法是綜合思維的具體應(yīng)用，是對所獲得的數(shù)學(xué)信息的各數(shù)量的屬性進(jìn)行整合，選擇兩個已知的相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，提出可以解決的問題；再選擇兩個已知數(shù)量（所求出的數(shù)量這時(shí)就成為已知數(shù)量），又提出可以解決的問題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出題目的問題為止。為了清楚看出兩種分析方法的思維過程，我們舉例來說明。西塞

9、山區(qū)在牧羊湖地段疏通一條排水渠，原計(jì)劃每天疏通800米，6天疏通完。實(shí)際4天疏通完，每天疏通了多少米？綜合法分析法排水渠的總長實(shí)際每天疏通了多少米米？綜合法分析法排水渠的總長實(shí)際每天疏通了多少米米？實(shí)際實(shí)際疏通的天數(shù)（4天）原計(jì)劃疏通的天數(shù)(6天)原計(jì)劃每天疏通的米數(shù)（原計(jì)劃疏通的天數(shù)(6天)原計(jì)劃每天疏通的米數(shù)（800米）其次，分析法和綜合法的應(yīng)用將會促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。在教學(xué)中，低、中年級滲透綜合法來分析數(shù)量關(guān)系，在整合“已知的相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，提出可以解決的問題”中還可以培養(yǎng)概括和抽象思維的發(fā)展。中、高年級逐步滲透分析法分析數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生的思維由目標(biāo)出發(fā)，根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系，分

10、析出解決這個問題的兩個最直接的重要數(shù)量，還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的推理、歸納能力。同時(shí)，讓學(xué)生運(yùn)用“綜合思維”及“分析思維”對一些問題分析進(jìn)行比較完整的“敘說訓(xùn)練”，即結(jié)合對數(shù)量關(guān)系的分析說出解題思路，通過這種“出聲的思維”來暴露學(xué)生的思維過程、強(qiáng)化思維成果，更可以發(fā)展思維能力。 分析數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)建模的途徑。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，廣義地講，一般表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。新課改試圖要改變那種運(yùn)用“數(shù)學(xué)模式”去機(jī)械解題，要改變那種只會解書本數(shù)學(xué)問題而不會解生活中數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)狀。雖然經(jīng)過課改，數(shù)學(xué)課堂發(fā)生了很大的變化，但學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)中問題的能力怎樣呢？有一次，我和六年級的兒子一起坐

11、公共汽車，我靈機(jī)一動，隨口就問了一句“如果車站每5分鐘要發(fā)一趟車，假如你是公交公司的經(jīng)理，準(zhǔn)備在3號車這個線路購置車，要計(jì)算出購置車的臺數(shù)，準(zhǔn)備怎么解決？”這一數(shù)量關(guān)系簡單的數(shù)學(xué)問題，竟讓六年級、全班數(shù)學(xué)成績第二名的兒子想了很久，最后還在我的提醒下才想出解決問題的方法。事后，我就想：是什么原因讓六年級學(xué)生對“一輛車來回的總時(shí)間每輛車間隔的時(shí)間=需要的臺數(shù)”這樣的簡單問題束手無策呢？應(yīng)該是他對生活中的問題與相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型沒有建立聯(lián)系，因此在分析時(shí)對動態(tài)的車輛運(yùn)動，難以把握。估計(jì)費(fèi)以時(shí)日會解決，但一下卻尋找不到解決問題的簡潔途徑。這也正暴露了北京師范大學(xué)的周玉仁教授對“解決問題”教學(xué)的擔(dān)心：課改

12、后的教學(xué)將關(guān)注的重心過多地放在對信息的收集、整理上，對數(shù)量關(guān)系的形成與分析顯得比較單薄，導(dǎo)致教學(xué)從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系形成”這個重要的數(shù)學(xué)建模的過程。這樣的教學(xué)，勢必削弱了學(xué)生解決問題時(shí)的思考過程，縮小了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的空間，與新課程對“解決問題”教學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)是相去甚遠(yuǎn)的。實(shí)踐表明，只有進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析，積累必要的數(shù)量結(jié)構(gòu)，才能使學(xué)生在獲取信息后形成解題思路，學(xué)會解決問題?？梢?，新課程中的教學(xué)并不是害怕數(shù)量關(guān)系模型化的問題，而是改革怎樣使用數(shù)量關(guān)系獲取數(shù)學(xué)模型和如何運(yùn)用數(shù)量關(guān)系模型去解決實(shí)際問題。例如，學(xué)習(xí)“連除、乘除混合運(yùn)算”（北師大版教材三年級上冊），可

13、以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)：（1）出示題目。題中告訴我們哪些數(shù)學(xué)信息？要解決什么問題？ （2）要求平均每層放多少本書，可以用什么方法來計(jì)算？（讓學(xué)生提出模型假設(shè)：每個書架書的本數(shù)一個書架的層數(shù)=平均每層放多少本書）（3）哪個信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？（利用數(shù)學(xué)模型解決中間問題：圖書總數(shù)書架個數(shù)=每個書架書的本數(shù)）（4）讓學(xué)生獨(dú)立列式計(jì)算并嘗試列出綜合算式。（模型求解）（5）分析每一步的意義。（讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)模型作出解釋）（6）還可以怎樣解？（拓展模型）（7）總結(jié)兩步計(jì)算問題解決的共同模型及關(guān)鍵（先解決中間問題，再解決最后問題，每一步的問題解決都要根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系模型來進(jìn)行），引導(dǎo)學(xué)生理出解決兩步實(shí)際問題的知識鏈，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化遷移，逐步提高解決數(shù)學(xué)問題的一般能力。（8）小軍去游泳池游泳，他在泳道內(nèi)游了2個來回，共游了100米，這個游泳