小學(xué)奧數(shù) 不定方程與不定方程組.教師版與學(xué)生版

1、不定方程不定方程組教學(xué)目利整及奇偶性解不定方程不方的試值技巧學(xué)解定方程的經(jīng)典例題知識精一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元 世就開始研究不定方程，因此常稱 不定方程為丟番圖方程中是究不定方程最早的國家公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題， 公元 世的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學(xué)家秦九韶 大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題重要方 法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程同樣有著重

2、要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中用這個工具 解題。二、不定方程基本定義、義不方程（組）是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程（組、定程解使定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯。、究定程解三問：判斷何時有解；有解時確解的個數(shù)求出所有的解三、不定方程的試值技巧、奇偶性、整除的特點（能被 2、3 等數(shù)字整除的特性）、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）例題精模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程【 1 求方 2x8 的整數(shù)【考點】不定方程 【度2 星 【型】解答【解析】 方法一由原方程易得 2xx4y因此對 y 的任意一個值都

3、一個 與對應(yīng)，3-2-3.不定方程與不定方程組 .題庫教師版page 1 of 7 并且，此時 x 與 y 的必滿原方程，故這樣的 x 與 y 是方程的一組解，即原方 3 2 ，其中 k 任意數(shù)說明 由 y 取的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解方二根據(jù)奇偶性知道 是數(shù)8 為數(shù)，所以若 8 成， 必偶數(shù)，當(dāng) y0 x；當(dāng) y2，； y4，本題有無窮多個解?！敬鸢浮繜o窮多個解【鞏固】 求程 2x9 的數(shù)【考點】不定方程 【度2 星 【型】解答【解析】 因為 2(x，所以，不論 x 和 y 取整，都有 2|2x，但 2 ，因此，不論 x 和 y 取什么整數(shù)2x6y 都不可能等于 ，即原方程無整數(shù)

4、解說：題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解。【答案】無整數(shù)解【 2 求方 10y 的正數(shù)【考點】不定方程 【度2 星 【型】解答【解析】 因為 與 10 最大公約數(shù)為 2，而 2|34，兩邊約去 ，得 5y， 的個位是 0 或 兩 情況，2x 是偶數(shù)，要想和為 ， 的位只能是 5y 為數(shù)即可2x 的位為 2，所以 x 的值 為 1、x1 時2x15，x6 時2x ，y1x 時，17 ，無解 所以方程有兩組整數(shù)解為： y 【答案】 , 【鞏固】 求程 3x 的整數(shù)【考點】不定方程 【度2 星 【型】解答【解析】 由 3x5y， 是 的數(shù)，要想和為 12（3 倍數(shù) 也 3 的數(shù)，所以 為 3

5、 的倍數(shù)即 可，所以 的值為 0、6、y0 時，125y，x4x3 時12，無解所以方程的解為： 4 【答案】 4 【鞏固】 解定程 2 40 （中 均正數(shù)）【考點】不定方程 【度2 星 【型】解答【解析】 方法2x 是數(shù)要想和為 （偶數(shù) 也偶數(shù)即 y 為數(shù)也可以化簡方程 2 40，【答案】40 x 20 y 2 , y 4知道 y 為數(shù)，所以方程解為： , 2 4模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程【 3 求不方 7 y 1288 正數(shù)有少？ 3-2-3.不定方程與不定方程組 .題庫教師版page 2 of 7 ， 【考點】不定方程 【度3 星 【型】 ， 【解析】 本題論 x 或 y 情況都較多

6、，故不可能逐一試驗檢驗可知 是 的數(shù)，所以1 也 7 的倍數(shù)，則 y 是 7 的數(shù)設(shè) 原方程可變?yōu)?， 可為 12，16由于每一個 的都確定了原 方程的一組正整數(shù)解，所以原方程共有 組正整數(shù)解【答案】16 組【 4 求方 5y 的數(shù)【考點】不定方程 【度3 星 【型】解答 y y【解析】 方法：利用歐拉分離，由原方程，得 ， x2y ，使方程有整數(shù)解3 y必須為整數(shù) 取 y2得 x10 1041，故 x，y2 y當(dāng) y5得 x10 1022，故 x， y當(dāng) y8得 x10 103 無所以方程的解為： 方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)3x 是 3 的數(shù)，和 31 除 3 余 1，所以 5y 除以 3 余

7、1（ 除 3 余 1據(jù)這個情況用余數(shù)的和 與乘積性質(zhì)進行判定為：取 y1，230（舍）y2，1（合題意）y3，（舍）y42y，（舍）y52y，1（符合題意）y62y，4（舍）當(dāng) y6 時結(jié)果超過 31不符合題意。 所以方程的解為： 【答案】 y 【鞏固】 解程 7 x y 其 、 均為整）【考點】不定方程 【度3 星 【型】解答【解析】 方法一 x 4 的數(shù)，和 89 除以 4 余 1所以 7x 除 4 余 （3以成 3x 除 4 余 ，根據(jù)這個情況用余數(shù)的與乘積性質(zhì)進行判定為）x1，3，（舍）x2，6，（舍）x3，9，（符合題意）x4，12，0（舍）x5，15，3（舍）x6，18，2（舍）x

8、7，21，1（符合題意）x8，24，0（舍）x9，27，3（舍）x103x303042（舍）3-2-3.不定方程與不定方程組 .題庫教師版page 3 of 7 4 4 所以方程的解為： , , 方法二：利用歐拉分離法，由原方程， y 89 x x x ， 的值為 倍數(shù)即可，所以方程的解為： , 【答案】 , y y 模塊三、解不定方程組 1200b 800 16000【 5 解方 （ 其 ab、 均為整 ）【考點】不定方程 【度3 星 【型】解答 80【解析】 根據(jù)式的性質(zhì)將第一方程整理得 ，根據(jù)消元的思想將第二個式子擴大 倍減后為：(9a b c) a 整后得 b 20 根等式性質(zhì)， 為數(shù)

9、， 為偶數(shù)，所以5 為數(shù)，所以 a 為偶數(shù)，當(dāng) 時 20 ，所以 c ，當(dāng) a 時， 5 b 20 ， 所以無解。所以方程解為 【答案】 【 6 解不方 1 3 y (其中 、 均正數(shù)【考點】不定方程 【度3 星 【型】解答 y 300【解析】 根 據(jù)等式的性質(zhì)將第一方程整理得 y ，根據(jù)消元思想與第二個式子相減得 200，根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時除以 ：7 ，根據(jù)等式性質(zhì)4 y為 倍數(shù)， 為 4 的數(shù)，所以7 y 4 為 4 的倍數(shù)，所以 為 的數(shù)試值如下 18, 11, 78 【答案】 78 z 81 z 843-2-3.不定方程與不定方程組 .題庫不定方程不定方程組教師版page 4 of

10、 7教學(xué)目利整及奇偶性解不定方程不方的試值技巧學(xué)解定方程的經(jīng)典例題知識精一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元 世就開始研究不定方程，因此常稱 不定方程為丟番圖方程中是究不定方程最早的國家公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題， 公元 世的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學(xué)家秦九韶 大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題重要方 法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程同樣有著重 要的地位，所以

11、本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中用這個工具 解題。二、不定方程基本定義、義不方程（組）是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程（組、定程解使定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯。、究定程解三問：判斷何時有解；有解時確解的個數(shù)求出所有的解三、不定方程的試值技巧、奇偶性、整除的特點（能被 2、3 等數(shù)字整除的特性）、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）例題精模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程【 7 求方 2x8 的整數(shù)3-2-3.不定方程與不定方程組 .題庫教師版page 5 of 7【鞏固】 求程 2x9 的數(shù)【 8 求方 10y 的正數(shù)【鞏固】 求程 3x 的整數(shù)【鞏固】 解定程 2 40 （中 均正數(shù)）模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程【 9 求不方 7 y 1288 正數(shù)有少