高中數學課件離散型隨機變量的均值與方差

1、2.1 離散型隨機變量及其分布2.2 二項分布及其應用2.3 離散型隨機變量的均值與方差2.4 正態(tài)分布第二章隨機變量及其分布第二章 小結2.3離散型隨機變量的均值與方差2.3.1 離散型隨機變量的均值(第一課時)2.3.1 離散型隨機變量的均值(第二課時)2.3.2 離散型隨機變量的方差2.3.1離散型隨機變量的均值(第一課時)返回目錄 1. 什么是數學期望? 在分布列中是怎樣計算的? 2. 數學期望是反映變量的什么特征? 在實際應用中起什么作用?學習要點 問題1. 某商場要將單價分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認

2、為混合后的定價應該是多少?按比例算得 1 kg 的混合糖果中, 18 元/kg 的占 kg,24 元/kg 的占 kg,36 元/kg 的占 kg.那么這 1 kg 糖果的價格應該是=23 (元/kg).是這三種糖果在混合中的權數.這就是混合后的平均價, 問題1. 某商場要將單價分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認為混合后的定價應該是多少? 又問: 如果在混合好的糖果中隨機抽出一顆, 抽到 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的概率分別是多少? 根據古典概型:P(18元/kg) =P(24元/kg) =

3、P(36元/kg) =概率恰與權數相同. 于是前面的平均價可怎樣求得單價乘以概率后求和.用分布列表示如下: 問題1. 某商場要將單價分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認為混合后的定價應該是多少? 又問: 如果在混合好的糖果中隨機抽出一顆, 抽到 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的概率分別是多少? X182436P平均價為:18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36).=23 (元/kg).一般地, 若離散型隨機變量 X 的分布列為pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1+

4、x2p2+xipi+xnpn則稱為隨機變量 X 的均值或數學期望.均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平.如: 下表是某果品的概率分布列, X 表示銷售價.X (元/kg)15106P0.30.60.1請同學們估計這批 8000 kg 果品的銷售收入.如: 下表是某果品的概率分布列, X 表示銷售價.0.10.60.3P61015X (元/kg)請同學們估計這批 8000 kg 果品的銷售收入.E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn這批果品的平均價:=150.3+100.6+60.1=11.1 (元/kg)估計 8000 kg 果品的銷售收入為11.18000=88800 (元).

5、問題2. 在數學必修3中, 我們學習過樣本平均數, 與這里的數學期望是相同概念嗎? 說說你的認識?樣本平均數數學期望數據來源實際統計數規(guī)律數 (概率p)計算公式反映特征實際意義樣本平均情況變量平均情況估計總體平均情況推測結果平均情況樣本平均數與數學期望比較:練習: (補充)某地區(qū) 5 月份下雨的天數 X 的分布列如下0.160.2350.2330.340.0820.020.030.01P710X求這個地區(qū) 5 月份下雨天數的均值.解:這個地區(qū) 5 月份下雨天數的均值為E(X) =00.01+10.03+20.08+30.23+40.3+50.23+60.1+70.02= 3.97.即 估計這個

6、地區(qū) 5 月份有 4 天下雨. 例1. 在籃球比賽中, 罰球命中 1 次得 1 分, 不中得 0 分. 如果運動員罰球命中的概率為 0.7, 那么他罰球 1 次的得分 X 的均值是多少?解:由題意知 X 服從兩點分布, 其取值范圍是0, 1.因為 P(X=1)=0.7,則 P(X=0)=1-0.7=0.3.所以 E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.7+00.3= 0.7.(問: 由此題你能得到一個什么結論?) 一般地, 如果隨機變量 X 服從兩點分布, 那么 E(X)=1p+0(1-p)=p.于是有 若 X 服從兩點分布, 則 E(X)=p.即: 隨機變量服從兩點分布的均值等于成功

7、概率.如:某地區(qū)端午節(jié)下雨的概率是0.8, 則這地區(qū)端午節(jié)下雨的均值就是 0.8.拋擲一枚圖釘落地后針尖向上的概率是 0.3,拋擲圖釘落地后針尖向上的均值就是 0.3.練習: (課本64頁)第 1、2、3、4 題.練習: (課本64頁) 1. 離散型隨機變量的數學期望一定是它在試驗中出現的概率最大的值嗎? 請用具體事例說明.解:不一定.如下面兩個分布列:X-55P0.40.6Y012P0.70.10.2E(X) = -50.4+50.6= 15.E(Y) = 00.7+10.1+20.2= 0.50.2. 已知隨機變量 X 的分布列為0.230.140.320.10.20.1P510X求 E(

8、X).解:E(X)=00.1+10.2+20.3+30.2+40.1+50.1=2.3. 3. 拋擲一枚硬幣, 規(guī)定正面向上得 1 分, 反面向上得 -1 分, 求得分 X 的均值解:因為 P(正面向上)=0.5,P(反面向上)=0.5,即 P(X=1)=0.5,P(X=-1)=0.5.所以 X 的均值為E(X)=10.5+(-1)0.5=0. 4. 產量相同的 2 臺機床生產同一種零件, 它們在一小時內生產出的次品數 X1, X2 的分布列分別如下:問哪臺機床更好? 請解釋你所得出結論的實際含義.X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2解:各臺機床生產出次品數的均

9、值如下:E(X1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1.0.E(X2)=00.3+10.5+20.2=0.9.第二臺機床較好.如果同是生產 10 件零件, 兩臺機床都可能出現1 件次品.但如果生產的零件數很多時, 第二臺機床出現的次品數就明顯的比第一臺機床少.【課時小結】1. 數學期望在分布列中:pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn. 離散隨機變量 X 的平均值稱為變量 X 的數學期望, 用 E(X) 表示.【課時小結】2. 數學期望的意義 數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平. 在實際應用中, 反映事件發(fā)生結果的平均狀態(tài).某機床產

10、品出現的平均次品數.某月降雨天數的平均情況.某射手中靶環(huán)數的平均情況等.如:習題 2.3A 組第 2、4 題.習題 2.3A 組2. 若隨機變量 X 的分布列為且 E(X)=1, 求 a 和 b.b2aP10X解:因為 E(X) =又于是解得 4. 現要發(fā)行 10000 張彩票, 其中中獎金額為 2 元的彩票 1000 張, 10 元的彩票 300 張, 50 元的彩票 100 張, 100 元的彩票 50 張, 1000 元的彩票 5 張, 1 張彩票可能中獎金額的均值是多少?解:設中獎金額為 X, 其分布列如下:X210501001000P0.10.030.010.0050.0005則 E

11、(X)=20.1+100.03+500.01+1000.005+10000.0005=2.答: 1 張彩票可能中獎金額的均值是 2 元.2.3.1離散型隨機變量的均值(第二課時)返回目錄 1. 隨機變量服從二項分布時, 其數學期望有什么特點? 它的值是多少? 2. 隨機變量 Y 是變量 X 的一次函數時, Y 的數學期望與 X 的數學期望有什么關系?學習要點 問題3. 如果隨機變量 X 服從二項分布, 你能計算它的均值嗎?X01knPE(X)= np.由二項式定理得E(X)=np(p+1-p)n-1于是有若 XB(n, p), 則 E(X)=np. 練習(補充). 在一個盒子中裝有相同型號的

12、3 個白球和 7 個黑球, 從中任取 3 個球. (1) 求取得白球的個數 X 的分布列和數學期望; (2) 如果每取得 1 個白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分數 Y 的分布列和數學期望.解:(1)從盒中抽一個球是白球的概率 p=0.3,隨機變量 X 服從二項分布 XB(3, 0.3), 則分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)=np=30.3=0.9.用分布列數字計算檢驗:E(X)=00.343+10.441+20.189+30.027=0.9. 練習(補充). 在一個盒子中裝有相同型號的 3 個白球和 7 個黑球, 從中任取 3 個球. (1)

13、 求取得白球的個數 X 的分布列和數學期望; (2) 如果每取得 1 個白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分數 Y 的分布列和數學期望.解:(2)由題意得 Y=5X-1,隨機變量 Y 的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027E(Y)= -10.343+40.441+90.189+140.027=3.5.則 Y 的取值范圍是-1, 4, 9, 14則 P(Y= -1) =P(X=0),P(Y=4) =P(X=1),P(Y=9) =P(X=2),P(Y=14) =P(X=3).-14914 練習(補充). 在一個盒子中裝有相同型號的 3 個白球和 7 個黑球, 從

14、中任取 3 個球. (1) 求取得白球的個數 X 的分布列和數學期望; (2) 如果每取得 1 個白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分數 Y 的分布列和數學期望.問:(1) Y=5xi-1 與 xi 的概率相等嗎? (2) Y=5X-1 的數學期望與 X 的數學期望有什么關系?(1) P(Y=5xi-1)=P(X=xi).(2) E(Y)=3.5=50.9-1=5E(X)-1. 一般地, 若 X 是隨機變量, Y=aX+b (a, b是常數)也是隨機變量, P(Y=axi+b)=P(X=xi)=pi, 則Y 的分布列為Yax1+bax2+baxi+baxn+bPp1p2pipn于是

15、 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+Pn)=aE(X)+b.即E(aX+b)=aE(X)+b. 例2. 一次單元測驗由 20 個選擇題構成, 每個選擇題有 4 個選項, 其中僅有一個選項正確. 每題選對得 5 分, 不選或選錯不得分, 滿分100分. 學生甲選對任意一題的概率為 0.9, 學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個. 分別求學生甲和學生乙在這次測驗中成績的均值.解:設學生甲選對的題數為 X1, 學生乙選對的題數為 X2,X1, X2 服從二項分布, 即X1B(20,

16、 0.9),X2B(20, 0.25).得E(X1)=np1=200.9=18,E(X2)=np2=200.25=5. 即學生甲選對題數的均值為 18 題, 學生乙選對題數的均值為 5 題. 例2. 一次單元測驗由 20 個選擇題構成, 每個選擇題有 4 個選項, 其中僅有一個選項正確. 每題選對得 5 分, 不選或選錯不得分, 滿分100分. 學生甲選對任意一題的概率為 0.9, 學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個. 分別求學生甲和學生乙在這次測驗中成績的均值.解設學生甲選對的題數為 X1, 學生乙選對的題數為 X2,X1, X2 服從二項分布, 即X1B(20, 0.9),X

17、2B(20, 0.25).得E(X1)=np1=200.9=18,E(X2)=np2=200.25=5. 即學生甲選對題數的均值為 18 題, 學生乙選對題數的均值為 5 題.設學生甲測驗得分為 Y1, 學生乙測驗得分為 Y2,則 Y1=5X1, Y2=5X2,所以 E(Y1)=5E(X1)=518=90.E(Y2)=5E(X2)=55=25. 例3. 根據氣象預報, 某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25, 有大洪水的概率為 0.01, 該地區(qū)某工地上有一臺大型設備, 遇到大洪水時要損失 60000元, 遇到小洪水時要損失 10000元, 為保護設備, 有以下 3 種方案: 方案 1: 運走設

18、備, 搬運費為 3800元. 方案 2: 建保護圍墻, 建設費為 2000元, 但圍墻只能防小洪水. 方案 3: 不采取措施.試比較哪一種方案好.解:計算各方案的損失費如下:方案 1: 不管有無洪水, 都損失 3800元.方案 2: 設損失費為 X, 則分布列為X2000(無洪水)2000(小洪水)62000(大洪水)P0.740.250.01 例3. 根據氣象預報, 某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25, 有大洪水的概率為 0.01, 該地區(qū)某工地上有一臺大型設備, 遇到大洪水時要損失 60000元, 遇到小洪水時要損失 10000元, 為保護設備, 有以下 3 種方案: 方案 1: 運走設

19、備, 搬運費為 3800元. 方案 2: 建保護圍墻, 建設費為 2000元, 但圍墻只能防小洪水. 方案 3: 不采取措施.試比較哪一種方案好.解:計算各方案的損失費如下:方案 1: 不管有無洪水, 都損失 3800元.方案 2: 設損失費為 X, 則分布列為0.742000(無洪水)0.010.25P62000(大洪水)2000(小洪水)X則 E(X)=20000.74+20000.25+620000.01=2600 (元).方案 3: 設損失費為 Y, 則分布列為Y0(無洪水)10000(小洪水)60000(大洪水)P0.740.250.01則 E(Y)=00.74+100000.25+

20、600000.01=3100 (元).相比之下, 選擇方案 2 平均損失要小些.【小結】1. 二項分布的數學期望若 XB(n, p),則 E(X)=np.【小結】2. 線性變量的數學期望 若 Y=aX+b (X 是隨機變量, a, b 是常數), 則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.若 XB(n, p),則 E(Y)=anp+b.練習: (課本64頁)第 5 題.習題 2.3A 組第 3 題.B 組第 1、2 題. 5. 同時拋擲 5 枚質地均勻的硬幣, 求出現正面向上的硬幣數 X 的均值.解:拋擲 1 枚硬幣出現正面上向的概率為 p=0.5,則 XB(5, 0.5).所以 X 的均值

21、為E(X)=np=50.5=2.5.練習: (課本64頁) 3. 一名射手擊中靶心的概率是 0.9, 如果他在同樣條件下連續(xù)射擊 10 次, 求他擊中靶心的次數的均值.解:設這名射手擊中靶心的次數為 X, 則XB(10, 0.9).所以這名射手擊中靶心的均值為E(X)=np=100.9=9.習題 2.3A 組B 組 1. 拋擲兩枚骰子, 當至少有一枚 5 點或一枚 6 點出現時, 就說這次試驗成功, 求在 30 次試驗中成功次數 X 的均值.解:設拋擲一枚骰子出現的點數為 x.則拋擲兩枚骰子成功的概率為p=P(x15)+P(x15)P(x25)因為成功次數 X 服從二項分布, 即所為 E(X)

22、=np 2. 一臺機器在一天內發(fā)生故障的概率為 0.1. 若對臺機器一周 5 個工作日不發(fā)生故障, 可獲利 5 萬元; 發(fā)生 1 次故障仍可獲利 2.5 萬元; 發(fā)生 2 次故障的利潤為 0 元; 發(fā)生 3 次或 3 次以上故障要虧損 1 萬元. 這臺機器一周內可能獲利的均值是多少?解:設這臺機器在 5 天內發(fā)生故障的次數為 X,則 XB(5, 0.1),那么 X 的分布列為X012345P0.59050.32810.07290.00810.00040.00001設所獲利潤為 Y, 則 Y 的分布列為Y52.50-1P0.59050.32810.07290.0085 2. 一臺機器在一天內發(fā)生

23、故障的概率為 0.1. 若對臺機器一周 5 個工作日不發(fā)生故障, 可獲利 5 萬元; 發(fā)生 1 次故障仍可獲利 2.5 萬元; 發(fā)生 2 次故障的利潤為 0 元; 發(fā)生 3 次或 3 次以上故障要虧損 1 萬元. 這臺機器一周內可能獲利的均值是多少?解:設這臺機器在 5 天內發(fā)生故障的次數為 X,則 XB(5, 0.1),那么 X 的分布列為342P510X0.59050.32810.07290.00810.00040.00001設所獲利潤為 Y, 則 Y 的分布列為-10P2.55Y0.59050.32810.07290.0085于是 E(Y) =50.5905+2.50.3281+00.0

24、729-10.0085= 3.76425.答: 這臺機器一周內可能獲利的均值是3.76425萬元.2.3.2離散型隨機變量的方差返回目錄 1. 隨機變量的方差是怎樣計算來的一個數值? 它反映隨機變量的什么特征?2. 隨機變量的方差有什么實際意義?學習要點 3. 服從兩點分布、二項分布的方差怎樣計算? 問題1. 根據兩名同學以往參加射擊比賽的成績記錄, 下面是他們各自中靶環(huán)數 X 的分布列第一位同學中靶環(huán)數X1的分布列:0.3180.2790.2070.100.090.03P1065X1第二位同學中靶環(huán)數X2的分布列:0.4180.3390.2070.050.01P65X2他們的成績一樣嗎? 如

25、果要選派其中一人去參加比賽, 應該派誰較恰當?E(X1)=50.03+60.09+70.2+80.31+90.27+100.1=8;E(X2)=50.01+60.05+70.2+80.41+90.33=8.平均成績相同.再觀察分布列的圖形:0.10.20.30.45678910X1POX1 分布列0.10.20.30.456789X2POX2 分布列環(huán)數較分散.環(huán)數集中在 8, 9 環(huán).問題: 用什么數來表示分散與集中這一特點?分析兩隨機變量與平均數的偏移程度:X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.330.03個

26、|5-8|0.09個|6-8|0.2個|7-8|0.31個|8-8|0.27個|9-8|0.03個|10-8|0.01個|5-8|0.05個|6-8|0.2個|7-8|0.41個|8-8|0.33個|9-8|0.090.180.200.270.060.030.10.200.33與平均值的偏移程度與平均值的偏移程度+=0.8.=0.66.X2 與均值的偏移程度要小些, 較集中于均值附近.為了去掉絕對值符號, 改用平方:設離散型隨機變量 X 的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則 (xi-E(X)2 描述了xi (i=1, 2, , n) 相對于均值 E(X)為這些偏離程度的加權平均,

27、刻畫了隨機變量 X 與其均值 E(X) 的平均偏離程度. 我們稱 D(X) 為隨機變量 X 的方差, 并稱其算術平方根 為隨機變量 X 的標準差. 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量偏離于均值的平均程度. 方差或標準差越小, 則隨機變量偏離于均值的平均程度越小.的偏離程度, 而(練習): 請計算兩名同學射擊環(huán)數的方差 D(X).X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.33 E(X1)=E(X2)=8, D(X1) = (5-8)20.03+(6-8)20.09+(10-8)20.1= 0.27+0.36+0.2

28、+0+0.27+0.4= 1.5.D(X2) = (5-8)20.01+(6-8)20.05+(9-8)20.33= 0.09+0.2+0.2+0+0.33= 0.82.D(X2)D(X1), 第二名較穩(wěn)定. 如果 X 服從兩點分布時,D(X)=p(1-p).(同學們可以證明這一結論) 如果 X 服從二項分布時, 即 XB(n, p),D(X)=np(1-p).(此證明較繁, 不要作求) 當 Y=aX+b (a, b 為常數) 時,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 例4. 隨機拋擲一枚質地均勻的骰子, 求向上一面的點數 X 的均值、方差和標準差.解:拋擲骰子點數 X 的分布列如下:X1

29、23456P(請同學們完成 E(X), D(X), ) 例4. 隨機拋擲一枚質地均勻的骰子, 求向上一面的點數 X 的均值、方差和標準差.解:拋擲骰子點數 X 的分布列如下:X123456P=3.5.2.92.1.71. 例5. 有甲乙兩個單位都愿意聘用你, 而你能獲得如下信息:甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應職位的概率P20.40.30.20.1根據工資待遇的沖差異情況, 你愿意選擇哪家單位?解:求各單位的均值與方差.E(X1)=12000.4+140

30、00.3+16000.2+18000.1=1400.D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000. 例5. 有甲乙兩個單位都愿意聘用你, 而你能獲得如下信息:0.10.20.30.4獲得相應職位的概率P11800160014001200甲單位不同職位月工資X1/元0.10.20.30.4獲得相應職位的概率P22200180014001000乙單位不同職位月工資X2/元根據工次待遇的沖差異情況, 你愿意選擇哪家單位?解:求各單位的均值與方差.E(X1)=12000.4+14000.3+160

31、00.2+18000.1=1400.D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000.E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400.D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1=160000.E(X1)=E(X2),平均工資相等.D(X1)D(X2),第一家工資級差小于第二家.如果希望工資差距小一些, 就選擇第一家.如果能力出眾, 很快會獲得高職位, 就選擇第二

32、家.練習: (課本68頁)第 1、2、3 題.練習: (課本68頁)1. 已知隨機變量 X 的分布列為0.10.20.40.20.1P43210X求 D(X) 和解:E(X)=00.1+10.2+20.4+30.2+40.1=2.D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.2+(2-2)20.4+(3-2)20.2+(4-2)20.1=1.2.1.1. 2. 若隨機變量 X 滿足 P(X=c)=1, 其中 c 為常數, 求 D(X).解:E(X)=c.D(X)=(c-c)21=0.3. 方差在實際中有什么作用? 請用具體實例說明.解:方差刻畫的是與平均值的偏離程度, 是反映隨機變量的穩(wěn)定性. 在實際應用中, 如果幾個方案均值相同, 而關心的問題希望較為穩(wěn)定, 就應該選擇方差較小的方案. 如果關心的問題有特殊性, 如方差大的運動員最近狀態(tài)非常好, 可能會取得他的最好成績; 招錄專業(yè)技術人員時, 各科招考成績方差大, 是否所需專業(yè)最高; 投資時, 喜歡冒險以獲得最大收益.如: 選擇運動員參賽; 按多科招考成績選擇綜合管理人員; 希望有較穩(wěn)定收益的投資等.【課