排列組合問題的幾種基本方法課件

1、2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞1解排列組合問題的幾種基本方法2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞2要明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個數(shù)作全排列.若干個不同的元素局部“等分”有 個均等堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m! 若干個不同的元素“等分”為 個堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m! 非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積. 分組（堆）問題的六個模型：無序不等分；無序等分；無序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.)處理問題的原則：1.分組（堆）問題202

2、2/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞3例1.有四項不同的工程，要發(fā)包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程. 共有多少種不同的發(fā)包方式？解：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個步驟：先將四項工程分為三“堆”，有種分法；再將分好的三“堆”依次給三個工程隊，有3!6種給法.共有6636種不同的發(fā)包方式.1.分組（堆）問題2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞4例2 . 7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？ 解：分兩步進(jìn)行： 幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊

3、元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插孔)： 解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.2.插空法：2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞5相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個”元素，然后再進(jìn)行整體排列.3.捆綁法例3 . 6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法? 解：（1）分兩步進(jìn)行：甲 乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊： 幾個元素必須相鄰時,先捆綁

4、成一個元素，再與其它的進(jìn)行排列.2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞6例4.5個人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：將5個人依次站成一排，有解法2：先讓甲乙之外的三人從5個位置選出3個站好，有種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué)

5、 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞7變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線? 解: 如圖所示1234567將一條路經(jīng)抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個和七個組成!所以, 四個和七個一個排序就對應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有 條不同的路徑. 4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列，有種排法.2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞8 n個 相同小球放入m(mn)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等

6、價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.例5. 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4 個教學(xué)班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有_種.5.剪截法（隔板法）：解： 問題等價于把16個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題. 將16個小球串成一串，截為4段有 種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有455種 .2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞9 n個 相同小球放入m(mn)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串

7、從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.變式： 某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4 個教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有_種.5.剪截法：解： 問題等價于先給2班1個，3班2個，4班3個，再把余下的10個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題. 將10個小球串成一串，截為4段有 種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有84種 .2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞10編號為1至n的n個小球放入編號為1到 n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小

8、球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.6.錯位法：特別當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.例6. 編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有_種.解： 選取編號相同的兩組球和盒子的方法有 種,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.故所求方法有159135種.2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞117.剔除法 從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法. 例7. 從集合0,1,2,3,5,7,11中任取3個元素分別作為直線方程Ax+

9、By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線有_條.解：所有這樣的直線共有 條，其中不過原點的直線有 條，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線有210-18030條. 排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進(jìn)行取舍.2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞12B B 鞏固練習(xí)2022/9/27新疆奎屯市第一高級中學(xué) 2022/10/1新疆奎屯市第一高級中學(xué) 特級教師王新敞13A 4. 5個人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（）A.6B.12C.