“垂徑定理”與解題思路分析

1、PAGE6“垂徑定理”與解題思路分析垂徑定理及其推論是“圓”一章最先出現(xiàn)的重要定理，它是證明圓內(nèi)線段、弧、角相等關(guān)系及直線垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也是學(xué)好本章的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)：一圓的軸對(duì)稱(chēng)是垂徑定理的理論基礎(chǔ)同學(xué)們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)知道了把圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，直徑兩邊的兩個(gè)半圓就會(huì)重合在一起。因此，課本首先通過(guò)一張圓形紙片沿著一條直徑對(duì)折，直徑兩側(cè)的兩個(gè)半圓能重合這一事實(shí)，指出圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，然后利用這一性質(zhì)給出了垂徑定理，并利用圓的對(duì)稱(chēng)性證明。所以，圓的軸對(duì)稱(chēng)性是垂徑定理的理論基礎(chǔ)。二垂徑定理及其推論的題設(shè)與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系在垂徑定理推論中，

2、一是隱含著一條直線；二是該直線具有以下性質(zhì)：1經(jīng)過(guò)圓心，2垂直于弦，3平分這條弦，4平分這條弦所對(duì)的劣弧，5平分這條弦所對(duì)的優(yōu)弧。垂徑定理可以簡(jiǎn)記為：由于垂徑定理本身的結(jié)論有多個(gè)，因此在構(gòu)造逆命題時(shí)也會(huì)有多個(gè)，這就需要掌握構(gòu)造逆命題的技巧。例如：以1、3為條件的逆命題為：如果過(guò)圓心的一條直線平分該圓內(nèi)的一條弦不是直徑，那么這條直線垂直于弦，且平分弦所對(duì)的弧。類(lèi)似地，同學(xué)們一定會(huì)分別寫(xiě)出以1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5為條件的逆命題。由于一條直線如果具備上述五條性質(zhì)中的任何兩條時(shí)，這條直線唯一確定，所以，上述九個(gè)逆命題都是真命題，它們都是垂徑定理的推論。垂徑定理連

3、同推論在內(nèi)共十條定理。對(duì)于這十條定理，同學(xué)們切不可死記硬背，關(guān)鍵要抓住它們的特點(diǎn)，即一條直線具有上面所說(shuō)的五條性質(zhì)中的任何兩性質(zhì)，就有其余三條性質(zhì)具有性質(zhì)1、3時(shí)，所說(shuō)的弦不是直徑，這是因?yàn)槿绻@里的弦是直徑的話，兩條直徑總是互相平分的，但它們未必垂直。三靈活應(yīng)用垂徑定理及其推論解題垂徑定理及其推論，主要應(yīng)用于研究直徑與同圓中的弦、弧之間的垂直平分關(guān)系，其內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但要能靈活應(yīng)用卻非易事?，F(xiàn)舉例說(shuō)明。1、利用垂徑平分弦所對(duì)的弧構(gòu)成相等的圓周角例1已知如圖，ABC內(nèi)接于O，BDAO交AC于D，求證：ABBC=BDAC。思路分析：欲證ABBC=BDAC即證，需證BADCAB，已有公共角BAD=

4、BAC，還需證圓周角ABD=C，則需證明，顯然延長(zhǎng)BD交ABC的外接圓于E，運(yùn)用垂徑垂直平分弦所對(duì)的弧即可得證。2、利用垂徑垂直平分弦，構(gòu)成等分線段例2如圖，AB是O的直徑，AECD于E，BFCD于F，求證：CE=DF。思路分析：過(guò)O作OHCD，即得證。例3已知如圖，AB是O的直徑，弦CD在AB一側(cè)，CECD于E，DFCD于F。求證：AE=BF。思路分析：此題是圓和直角梯形，且點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，由此聯(lián)想梯形基本輔助線，故作OGCD于G，再聯(lián)系垂徑垂直平分弦有OE=OF，故AE=BF。3、利用垂徑垂直弦，構(gòu)造成特殊四邊形例4如圖，半徑為10cm的O中，弦ABCD于E，AB=CD=16cm，求OE的長(zhǎng)。思路分析：把OE放到三角形或特殊四邊形才有利于計(jì)算。故作OFAB于F，OGCD于G，EGOF為正方形，得OE。4、利用垂徑垂直弦，構(gòu)造特殊三角形例5如圖，O的弦ABCD，AB、CD的弦心距分別為OM和ON，求證：OMCD，則，又OA=OC，從而OMON。5、利用垂徑是過(guò)圓心的直徑，構(gòu)造成勾股定理例6如圖，O是ABC的外接圓，D是的中點(diǎn)，BD交AC于E，CD，O到AC的距離為