電動力學教程電磁場基本規(guī)律

1、第二章 電磁場的基本規(guī)律 本章主要討論電動力學的實驗基礎 確立靜止和穩(wěn)定情況的分布電荷與分布電流的概念；在電荷守恒的前提下，確立電流連續(xù)性方程。 在庫侖實驗定律和安培力實驗定律的基礎上建立電場強度和磁感應強度的概念。 在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計算電場與磁場的矢量積分公式。 在電磁感應定理的基礎上引入位移電流的概念。引言2.1 電磁場的源變量1. 電荷及電荷密度 體電荷密度 (Volume Charge Density)體電荷：電荷分布于三唯空間。本教程約定：場源(源點)的分布空間一律用帶撇的坐標表示；場(場點)的分布空間用不帶撇的坐標表示。體電荷密度：（3維） 面電荷密度(Sur

2、face Charge Density)面電荷：電荷分布在某一薄層(曲面)上。面電荷密度： 線電荷密度(Line Charge Density)線電荷：電荷分布在某一 曲線上。線電荷密度：（2維）（1維） 點電荷 (Point Charge)qxy 位于空間 處帶電量為q的點電荷，其電荷密度可以用數(shù)學上的函數(shù)描述： 是場點的位置矢量。且而（0維）2. 電流及電流密度 體電流密度(Volume Current Density)體電流： 電流分布于三維空間體電流密度：描述空間各點電流的大小和方向的差異定義 體電流密度矢量J: 空間任一點J 的方向是該點上電流的方向，其大小等于在該點與J 垂直的單位

3、面積上的電流，即S 為電流密度的方向，也是面元S的法向單位矢量。通過任意曲面S的電流：即為電流密度矢量場J 的通量。體電流密度和體電荷密度的關系：v 是電荷定向運動的速度 面電流密度(Surface Current Density)面電流： 電流分布在某一薄層(曲面)上面電流密度矢量JS ：其方向規(guī)定為電流的流向，其大小定義為在垂直于電流方向上單位長度的電流，即lS 是面電流方向的單位矢量。通過薄層上任意有向曲線l 的電流lS 為薄層(即曲面S)的法向單位矢量為有向曲線l 的線元矢量 證明：在有向曲線上任取一線元矢量 ，如圖。流過線元 的電流是 與 的夾角。令 且 、 和 構(gòu)成右手螺旋關系。利

4、用代入上式則通過有向曲線l 的電流得證。面電流密度和面電荷密度的關系：v 是電荷定向運動的速度例題： 一個半徑為a的導體球帶電荷量為Q，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。Qayxz 線電流(Line Current )線電流： 電流沿某一細線(導線)流動電流元矢量 ：其方向規(guī)定為電流的方向， 是導線上的任意線元矢量。II2.2 電流連續(xù)性方程S 考慮任意閉合曲面S，由于電荷守恒，單位時間內(nèi)從S內(nèi)流出的電荷量(i.e. 流過S的電流)應該等于閉曲面S所包圍的體積V內(nèi)的電荷減少量，即q- 電流連續(xù)性方程之積分形式改寫成應用散度定理則有由于S任意，故體積V也任意，則- 電流連續(xù)性方

5、程之微分形式討論：對于恒定電流，有故恒定電流的電流連續(xù)性方程為或說明恒定電流場J 是無散場，無散度源(通量源)。 由于 ，故令 ，A是某個矢量場，則流過任意曲面S的電流最后一步使用了Stockes定理。對比恒定磁場B的環(huán)路定理不難發(fā)現(xiàn)所以有可見，恒定磁場H的旋度等于磁場的漩渦源密度，即電流密度。2.3 真空中靜電場的基本規(guī)律 靜電場的基本實驗定律是庫侖定律，由庫侖定律可以導出電場強度的表達式，在此基礎上結(jié)合矢量分析，可進一步導出靜電場其他的基本規(guī)律-Gauss定理和環(huán)路定理。庫侖定律電場強度矢量分析電場散度 (Gauss定理)電場旋度 (環(huán)路定理)定義（本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖）1. 庫侖定律 (Ko

6、ulombs Law)真空中兩個點電荷q1、q2之間的靜電力表示q1對q2的作用力表示q2對q1的作用力迭加原理：(N個點電荷系統(tǒng))q1q22. 電場強度 (Electric Field)定義式(q0是檢驗電荷)根據(jù)定義式導出不同電荷分布激發(fā)的電場強度： 點電荷的電場qP場點源點o 點電荷系統(tǒng)的電場（迭加原理） 電荷連續(xù)分布的帶電體的電場 體電荷的場 面電荷的場 線電荷的場+_doPz例1： 計算電偶極子的電場強度。電偶極子 - 相距很小距離d的兩個等量異號的點電荷(+q和-q)組成的系統(tǒng)。解：以兩點電荷連線為z軸，連線的中點為原點建立坐標系，如圖。 由迭加原理，偶極子在任意場點P的場強分別是

7、+q和-q在場點P的電場強度。而 以及 在電磁理論中，通常討論的是遠離偶極子的區(qū)域內(nèi)的場，即有 ，此時+_doPz利用級數(shù)展開代入上式有類似地因此，場點P的電場強度近似為引入電偶極矩矢量 則球坐標中，偶極矩矢量則 故+_doPzdP(0,0,z)xyz例2：計算均勻帶電環(huán)形薄圓盤(內(nèi)半徑a、外半徑b)軸線上 任意點P的電場強度。dS解：在盤面上取如圖示的面元dS在圓柱坐標系下其位置矢量其帶電量 是面電荷密度。軸線上任意點P的位置矢量：則軸線上任意點P的電場強度為注意，這里z和 是常量，但 是隨變化的變量。由于故2. 靜電場的散度和旋度 亥姆霍茲定理指出，任一矢量場由它的散度、旋度和 邊界條件唯

8、一確定，因此要確定靜電場，就需要先討論它的散度和旋度。 靜電場的散度和Gauss定理由電場強度的表達式取其散度，并利用函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)果(附錄)：（1）兩邊作體積分qenc代表V內(nèi)的電荷總量。左邊利用散度定理之后，有 (1)式表明靜電場是有散場，任意點的散度和該點的電荷密度有關，靜電荷是靜電場的通量源。電荷密度為正，稱發(fā)散源；為負則稱匯聚源。（2）(2)式即為Gauss定理得積分形式，(1)式為其微分形式。Gauss定理是庫侖定律的必然結(jié)果。高斯定理微分形式積分形式附錄： (1)式證明利用則有(此處利用率函數(shù)的積分性質(zhì))也可以不使用函數(shù)的性質(zhì)作出證明：此時，上面的積分結(jié)果為0；因此只有當 時

9、，積分才為不0，此時 可提出積分號外：故有 靜電場的旋度和環(huán)路定理由電場強度的表達式取其旋度：利用 ，將E 改寫 這里最后一步是由于算符只對場點坐標(不帶撇)作用。表明靜電場是無旋的，電場線不構(gòu)成閉合曲線(非渦漩結(jié)構(gòu))結(jié)果：(3)意義：單位正點電荷沿閉合路徑l運動一周，電場做功為0- 靜電場是保守場。取其面積分，并利用Stockes定理(4)-環(huán)路定理環(huán)路定理也是庫侖定律的必然結(jié)果。 真空中靜電場的基本方程微分形式積分形式這組方程揭示靜電場的基本性質(zhì)：有散、無旋、保守性或2.4 真空中恒定磁場的基本規(guī)律 恒定磁場的基本實驗定律是安培定律，由安培定律可以導出磁場強度的表達式，在此基礎上結(jié)合矢量分

10、析，可進一步導出恒定磁場其他的基本規(guī)律磁通連續(xù)性原理和環(huán)路定理。安培定律磁場強度(畢-薩定理)矢量分析磁場散度 (連續(xù)性原理)磁場旋度 (環(huán)路定理)定義（本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖）1. 安培力定律 (Ampres Law) O 安培力定律描述了真空中兩個電流回路間作用力(安培力)的規(guī)律。定律內(nèi)容： 真空中兩電流回路C1、C2，載流分別為I1、I2，則C1上電流元 對C2上電流元 的作用力為 其中真空中磁導率則回路C1對C2的作用力為 回路C2對C1的作用力為2. 磁感應強度矢量B磁場：電流在其周圍形成的一種物質(zhì)。磁場的重要特性：會對處于其中的運動電荷(電流)產(chǎn)生力的作用，稱為磁場力，從而表現(xiàn)為電流與電

11、流之間的作用力。磁感應強度B: 描述磁場分布，可由安培力定律得到其表達式從場的觀點，C1和C2之間的作用是經(jīng)由場(磁場)完成的故 是I1的磁場對I2的作用，改寫 的表達式為中的項只和電流I1有關，可視為電流I1在電流元 處的磁場，稱為磁感應強度，表示為去掉所有的腳標，得到電流I的磁場-定義式 OP表示任意的電流回路C在空間任意點P的磁感應強度。根據(jù)矢量迭加原理，回路C上的電流元 產(chǎn)生的磁場 -畢奧-薩伐爾定理體分布電流的磁場：體電流元面分布電流的磁場：面電流元線分布電流的磁場：線電流元矢性點源xyzIP(0,0,z)例： 計算半徑為a的電流圓環(huán)軸線上任意點的磁感應強度。解：由畢奧-沙伐爾定理由

12、于故3. 恒定磁場的散度和旋度 恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理利用 ，將B 改寫為 由畢-薩定理，磁感應強度再利用矢量恒等式(見本教程附錄)進一步將B 改寫為由于算符只對場點坐標(不帶撇)微分，故上式第二項為0，則取其散度散度定理磁通連續(xù)性原理(微分形式)(積分形式）無散場磁力線是無頭無尾的閉合線 恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理對磁感應強度取旋度，可得Stockes定理(環(huán)路定理)恒定磁場是有旋場，電流J就是恒定磁場的漩渦源 真空中恒定磁場的基本方程微分形式積分形式場的基本性質(zhì)：有旋、無散、磁感應線是閉合線、電流是磁場的漩渦源或2.5 媒質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)

13、的導電特性特征參量介電常數(shù)磁導率電導率-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(a) 加電場前(b) 加電場時1. 電介質(zhì)的極化-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+(c) 極化后極化后介質(zhì)內(nèi)部的場被“削弱”了：介質(zhì)被極化程度越高，其內(nèi)部場削弱的也越多。 極化強度極化強度矢量P： 描述介質(zhì)極化程度的物理量。定義式： 極化電荷密度 極化電荷體密度 在介質(zhì)內(nèi)任取一閉合面S，在S上取一面元dS,以dS為底，偶極子之正負電荷間距l(xiāng)為斜高構(gòu)

14、成如圖所示的體積元V。 顯然只有中心在V內(nèi)的偶極子才有正電荷穿出面元dS，則從面元dS穿出去的正電荷量：故從閉合面S穿出的正電荷量：-+-+而留在S內(nèi)的極化電荷量為極化電荷體密度。由于S及V任意，所以有若介質(zhì)被均勻極化，則P與位置無關，有 ，因此均勻極化時介質(zhì)內(nèi)部無體極化電荷。 第一個等號的理由？ 介質(zhì)分界面上的極化電荷面密度介質(zhì)1介質(zhì)2分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法向單位矢-+-+包含dS的薄層12從薄層右側(cè)面穿出的正電荷量P2右側(cè)面上(介質(zhì)2)的極化強度從薄層左側(cè)面穿入的正電荷量P1左側(cè)面上(介質(zhì)1)的極化強度而薄層內(nèi)的凈剩極化電荷量為極化電荷面密度，若介質(zhì)2是真空，則是介質(zhì)的極化強度 ：

15、 介質(zhì)1介質(zhì)2 介質(zhì)中的Gauss定理真空中的Gauss定理：是靜電場的通量源。存在電介質(zhì)時，極化產(chǎn)生的極化電荷P也是產(chǎn)生電場的通量源，故代入關系式 有定義電位移矢量D介質(zhì)中的Gauss定理或?qū)τ诰€性、各向同性介質(zhì)，一般有則電位移矢量D-電介質(zhì)的本構(gòu)關系 是自由電荷密度問題：有介質(zhì)時，靜電場的旋度方程是否也要修正？例：半徑為a、介電常數(shù)為的球形電介質(zhì)內(nèi)的極化強度 式中k為常數(shù)。 （1）計算極化電荷體密度和面密度； （2）計算介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度。解: (1) 極化電荷體密度球面上極化電荷面密度(2) 由介質(zhì)中的Gauss定理，介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷密度而即所以2. 磁介質(zhì)的磁化 分子電流模型i

16、S由于電子繞核運動，每個磁介質(zhì)分子等效于一個環(huán)形電流，稱分子電流，其磁特性可由磁偶極矩表示：和分子電流i的方向構(gòu)成右手螺旋S為分子電流所圍面元 介質(zhì)的磁化機理(a)磁化前(b)磁化時磁化后介質(zhì)內(nèi)部的磁感應強度:(c)磁化后磁化電流的場介質(zhì)為順磁體 介質(zhì)為抗磁體 磁化強度磁化強度矢量M ： 描述介質(zhì)磁化程度(i.e.分子磁矩取向程度)的物理量。定義式對介質(zhì)中體積V內(nèi)的所有分子求和。 磁化電流 介質(zhì)內(nèi)部的磁化電流體密度 介質(zhì)表面的磁化電流面密度由Stockes定理，流過介質(zhì)中任意曲面S的磁化電流 介質(zhì)表面的法向單位矢量 磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理真空中的環(huán)路定理：J是磁場的漩渦源。存在磁介質(zhì)時，磁化產(chǎn)

17、生的磁化電流JM也是產(chǎn)生磁場的漩渦源，故代入關系式有引入包含磁化效應的物理量-磁場強度矢量H：對于線性、各向同性磁介質(zhì)磁化率 是無量綱常數(shù)。對于順磁性物質(zhì)10-3的正數(shù)；抗磁性物質(zhì)10-6 - 10-5的負數(shù)。(磁場強度)則有-磁介質(zhì)的本構(gòu)關系對非鐵磁性材料引入磁場強度矢量之后，介質(zhì)中的環(huán)路定理寫為：或等式的右邊僅為傳導電流，磁化電流的影響則包含在磁場強度H中。例題：無限長線電流位于z軸，介質(zhì)分界面為平面，求磁化電流分布。解：由磁場強度的定義知由于電流呈軸對稱分布，可用安培環(huán)路定律求解磁場強度，其方向沿 方向。是離導線的距離o介質(zhì)中的磁化強度介質(zhì)內(nèi)的磁化電流介質(zhì)分界面(z=0)的磁化面電流o3

18、. 介質(zhì)的導電特性 對于線性、各向同性的導電介質(zhì)，介質(zhì)內(nèi)任意點的電流密度和電場強度成正比關系：(歐姆定律之微分形式、本構(gòu)關系) 稱為介質(zhì)的電導率，SI單位S/m 。 導電介質(zhì)的本構(gòu)關系理想導體: 強導電介質(zhì)(良導體)： 107 S/m理想介質(zhì): 0導電介質(zhì)分類鏈接：常見材料的電導率和相對介電常數(shù)說明：1) 只有理想導體內(nèi)的恒定電場為0；2) 在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)(是常量)內(nèi)，電場E和J的方向相同；材料電導率材料電導率相對介電常數(shù)銀6.17107海水581.0銅5.80107蒸餾水210-480.0金4.10107干土110-52.8鋁3.82107清水110-380.0黃銅1.57107石灰石110

19、-2青銅1.00107蠟110-114.0鐵1.00107聚乙烯110-132.2鎢1.82107石英110-175.0鎳1.45107橡膠110-153.0常見材料的電導率和相對介電常數(shù)有漏電的介質(zhì) 由于介質(zhì)的電導率有限，外電場迫使電荷在介質(zhì)中定向運動時要消耗電場能量，表現(xiàn)為發(fā)熱損耗(或焦耳熱)。 導電媒質(zhì)中的能量損耗關系小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為所以，單位體積的功率損耗(i.e.熱功率密度)為：(焦耳定律之微分形式)則體積V中的導電介質(zhì)消耗的功率(i.e.熱功率)：(焦耳定律之積分形式)例題： 一同心球形電容器的內(nèi)、外半徑a和b，其間媒質(zhì)的電導率為，求電容器的漏電電導。r解： 由于媒質(zhì)

20、的電導率不為0，故存在漏電電流，其方向沿徑向從內(nèi)導體流向外導體。 設流過半徑為r的同心球面的漏電電流I，則媒質(zhì)內(nèi)的電流密度和電場為：（電流球?qū)ΨQ分布）媒質(zhì)內(nèi)的損耗功率為：媒質(zhì)的漏電電阻：媒質(zhì)的漏電電導：介質(zhì)的電磁特性介質(zhì)的極化性質(zhì)介質(zhì)的磁化性質(zhì)介質(zhì)的導電特性特征參量介電常數(shù)磁導率電導率小結(jié)2.6 電磁感應和位移電流“電和磁之間相互關聯(lián)” 1831年法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應定律 變化的磁場產(chǎn)生電場 1862年麥克斯韋提出位移電流假說 變化的電場產(chǎn)生磁場 1864年麥克斯韋方程組，預言電磁波的存在 宏觀電磁現(xiàn)象的基本理論 1888年赫茲實驗證實了電磁波的存在 1901年馬可尼利用電波實現(xiàn)越洋通話1. 法

21、拉第電磁感應定律另一方面，根據(jù)電動勢定義有 代表感應電場，S是回路C所張的曲面。感應電場是有旋場(旋渦狀)、非保守場。空間的總電場:代表靜電場時變場(隨時間變化，非靜態(tài)場)情況下，電場的環(huán)流：討論1) 若回路C靜止，磁場B隨時間變化Stockes定理表明: (a) 隨時間變化的磁場（漩渦源）將產(chǎn)生電場,若B是時間的非線性函數(shù)，則感應電場也是時間的函數(shù)。(b) 若B不隨時間變化，即恒定磁場，則上式過渡到：(靜電場的旋度方程)(c) 時變場情況下，電場E是有旋場，變化磁場是其源；在靜態(tài)場情況下，電場E是無旋場。討論2) 若回路C運動，磁場B恒定則回路運動引起的感應電動勢：+C討論3) 若回路C運動

22、，且磁場B隨時間變化感生電動勢動生電動勢電場的通量由于感應電場Ein是有旋的，其電場線是無頭無尾的閉合線，則時變場的情況下，電位移的通量：2. 位移電流時變磁場的旋度？(電荷守恒定律)因恒定磁場的旋度(安培定理)(J 恒定)故(時變場)將 代入電荷守恒定律:即顯然，項 和電流密度J 有相同的量綱，且與電位移D有關，故稱之為位移電流密度，記為(位移電流密度)則有另一方面( 廣義的安培環(huán)路定理 ) 位移電流的幾點說明： 位移電流代表電場隨時間的變化率，當電場發(fā)生變化時，會形成磁場的旋渦源(位移電流)，從而激起磁場。 時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導電流外，還有位移電流。位移電流是一種假

23、想電流，由麥克斯韋用數(shù)學方法引入，但在此假說的基礎上，麥克斯韋預言了電磁波的存在，而赫茲通過試驗證明了電磁波確實存在，從而反過來證明了位移電流理論的正確性。例題：海水的導電率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求當頻率為1MHz時，海水中的位移電流與傳導電流振幅的比值。解：設電場是隨時間正弦變化的位移電流密度傳導電流密度位移電流與傳導電流振幅的比值海水是一種良好的導電媒質(zhì)2.7 麥克斯韋方程組 麥克斯韋方程組由麥克斯韋于1864年總結(jié)出來的，是揭示時變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組；在時變電磁場中，電場和磁場相互激勵，形成統(tǒng)一不可分的整體。 麥克斯韋方程組由四個方程構(gòu)成，有微分和積分兩種表達方式。1.

24、 麥克斯韋方程組的積分形式(廣義的安培環(huán)路定理)(法拉第電磁感應定理)(磁通連續(xù)性原理)(高斯定理)2. 麥克斯韋方程組的微分形式變化的電場產(chǎn)生磁場變化的磁場產(chǎn)生電場磁通永遠連續(xù)，磁場是無散場存在正電荷的點發(fā)出電位移線；存在負電荷的點匯聚電位移線電磁波3. 關于麥氏方程的幾點說明因時變的電場和磁場可以相互激發(fā)，故它們能脫離場源（和）而存在；在離開場源的區(qū)域內(nèi)，電場和磁場都是無散有旋的，電力線和磁力線形成無頭無尾的閉合環(huán)，且相互交鏈，在空間形成電磁波傳播。偉大的預言！若場變量不隨時間變化，則麥氏方程過渡到靜態(tài)場的基本方程：因此靜態(tài)場只是時變場的特例。麥氏方程中只有個方程獨立，其中麥克斯韋第三方程

25、可以由第二方程導出，因為假定在過去或?qū)砟硞€時刻，的散度為，則總有. 麥氏方程的輔助方程本構(gòu)關系 麥氏方程組中只有個獨立方程（個旋度方程和個散度方程），總計個標量方程。而變量的數(shù)目有個（個矢量和個標量），總計個標量，因此要完全確定場量必須引入輔助方程介質(zhì)的本構(gòu)關系。麥氏方程的限定形式本構(gòu)關系(9個標量方程)2.8 電磁場的邊界條件 微分形式的麥氏方程要求場矢量必須處處可微，但在不同介質(zhì)的分界面上，存在電荷和電流分布，導致界面上的場矢量不連續(xù)，有突變，因此界面上不適用微分形式的麥氏方程（但積分形式的麥氏方程則仍然可用），故可利用積分形式的麥氏方程導出界面上的場矢量滿足的關系邊界條件來代替界面上的微分形式的麥氏方程。1. 邊界條件的一般形式abcd介質(zhì)2介質(zhì)1磁場強度H的邊界條件 在界面上取矩形閉合回路abcd，短邊長h 0，長邊平行界面,長度l，將麥氏第一方程應用于回路：介質(zhì)21abcd介質(zhì)2介質(zhì)1 是回路所圍面積S的法向單位矢，與繞行方向abcd成右螺關系因h0，第一項實際上是回路包圍的自由面電流，利用面電流公式(幻燈片9)，該項為右邊第二項因此利