2023-2024學年北京市房山區(qū)九年級上學期期中考試數(shù)學試卷含詳解

房山區(qū)中學2023-2024學年度第一學期期中學業(yè)水平調研

九年級數(shù)學

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.已知2x=3y（個20）,那么下列比例式中成立的是（）

A.=B.3C.?x3

D.-=~

y332232y

2.拋物線、=3+1的頂點坐標是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,1）D.

3.我國著名數(shù)學家華羅庚曾普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

4.如圖，在.ABC中，DE//BC,AD=3,DB=6,AE=2,則EC的長為（）

5.把二次函數(shù)y=3N的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函數(shù)表達式是

（）

A.y=3（x+2）2+1B.y=3（x+2）2-1

C.y=3（x-2）2-1D.y=3（x-2）2+l

6.已知蓄電池兩端電壓U為定值，電流/與R的函數(shù)關系為/=S.當/=3A時，片8Q,則當/=6A時，R

R

的值為（）

A.4QB.60C.8QD.10Q

7.若點5（2,%），。（4,%）在拋物線y=%2—4x+5上，則%,%，%的大小關系為（）

A.%<%<%B.y2m3C.%<%<%D.當<為<M

8.已知：在四邊形A3CD中，ABCD,?B90?,點E是線段上一點，且AE平分/氏4。，DE平分

^ADC,給出下面四個結論:

①石；②ZAEB=/EDC；③ABCD=BE-EC；?BEED=AEEC

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

D.①②③④

二、填空題（共16分，每題2分）

9.在函數(shù)丫=--—中，自變量x的取值范圍是

x-5

一「

10.己知y上1=一，x則+——y=.

x2x

11.請寫出一個圖象的頂點為（0,0）的二次函數(shù)的表達式：.

12.若兩個相似三角形的相似比是1：2,則它們的周長比是.

13.如圖，點。，E分別在△ABC的A5,AC邊上.只需添加一個條件即可證明△這個條件

可以是.（寫出一個即可）

D-

B

k

14.如圖，已知反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點A,且的面積為2,則左的值為

x

15.如圖，某中學綜合與實踐小組要圍成一個矩形菜園A3CD,其中一邊A。靠墻，其余的三邊A3,BC,

CD用總長為40米的柵欄圍成.設矩形A3CD的邊=x米，面積為S平方米.

（1）活動區(qū)面積S與X之間的關系式為；

（2）菜園A3CD最大面積是平方米.

16.二次函數(shù)丁=依2+陵+。（。/0）的圖象經(jīng)過4（0,3）,5（2,-1）,。（4,3）三點.

下面四個結論：

①拋物線開口向下；

②當x=2時，y取最小值—1；

③當機4-1時，一元二次方程OX?+法+。=相必有兩個不相等實根；

④直線y=fct+c（左W。）經(jīng)過點A,B,當Ax+c>ox?+bx+c時，x的取值范圍是0<x<2.

所有正確結論的序號是.

三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）

解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.如圖，AC,相交于點。，ZA=ZD.

求證：NAOB:NDOC.

18.若x:2=3:（x+5）,求x的值.

19.已知二次函數(shù)丁=f+2》一3.

口

4-

3-

2-

1-

1111__________1111A

一4一3—2T01234%

—1-

-2-

-3-

—4-

（1）求出二次函數(shù)圖象的對稱軸和與y軸的交點坐標；

（2）在平面直角坐標系中畫出圖象，請結合圖象直接寫出y<0時，x取值范圍.

20.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點.ABC和刀砂的頂點都在邊長為1的小正

方形的格點上.

(1)則NDEF=°,AC=；

(2)判斷與.。斯是否相似.若相似，請說明理由.

21.已知二次函數(shù)丁=依2+法+c(qw0)圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標》的對應值如下表:

XL-2-101234L

yL50-3-4-30nL

求這個二次函數(shù)的表達式及〃的值.

22.同學們在探究學習中發(fā)現(xiàn)：“三角形內角的角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例”.下

23.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+2圖象與反比例函數(shù)y=&(左WO)的圖象相交于點4(1,間.

X

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式；

k

(2)請結合圖象直接寫出一>九+2時，犬的取值范圍是

x

24.小宇在學習過程中遇到了一個函數(shù)丁=國+!(工/0).

下面是小宇對其探究的過程，請補充完整：

(1)對于函數(shù)%=工，當x<0時，％隨x的增大而減小，

X

對于函數(shù)%=卜|，當x<0時，為隨X的增大

而結合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)y,當％<o時，y隨x增大而

(3)過點(0,加)作平行于x軸的直線/,結合(1)(2)的分析，解決問題：

若直線/與函數(shù)y=N+工(xh0)的圖象有兩個交點，則機=.

X

25.如圖，在平行四邊形A3CD中，延長A。至點E,使。E=連接助交CD于點尸.

2

(1)求證：ABEsCFB；

(2)若CF=2,求AB的長.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-(a+l)x(aW0),若加(七,%),N(%,%)為拋物線上兩個不

同的點，設拋物線的對稱軸為％="

(1)當t=1時，求”的值；

(2)若對于之—g,都有必＜為，求”的取值范圍.

27.如圖，在_ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,過點A的射線與斜邊交于點D,CELAD于點E.

(1)求證：NBAD=ZACE；

(2)連接班，若滿足DC=2BD,AE=1,求跖的值.

28.定義：在平面直角坐標系xQy中，當點N在圖形/的內部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等

時，則稱點N為圖形”的“和諧點

叫I

4-

3-

_________P

-4-3-2-ix

BC

-2-

-3-

-4-

⑴如圖，矩形ABC。的頂點坐標分別是A（—L2）,C（3,-l）,D（3,2）,在點必（1,1）,

M2（2,2）,M（3,3）中，是矩形A5C?！昂椭C點”的是；

（2）點G（2,2）是反比例函數(shù)x=K圖象上的一個“和諧點，，，則該函數(shù)圖象上的另一個“和諧點””的坐標是

,直線G”的表達式是乂=；

19

（3）已知點A,8是拋物線y=—，（尤―1）一+5上的“和諧點”，點A在點B的左側，點。是拋物線的頂點，連

接AC,AB,BC,求點A,3的坐標，并直接寫出ABC的面積.

房山區(qū)中學2023-2024學年度第一學期期中學業(yè)水平調研

九年級數(shù)學

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.已知2x=3y（個20）,那么下列比例式中成立的是（）

x2xyxy%3

A.—=-B.—=—C.—=—D.-=一

y332232y

【答案】B

【分析】根據(jù)比例的性質求解即可.

x2

【詳解】解：A,

y3

；.3x=2y,故A不符合題意；

xy

B、*.*—=一,

32

/.2x=3y,故B符合題意；

cY-X

23

.?.3x=2y,故C不符合題意；

x3

2y

.?.孫=6,故D不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了比例的性質，掌握比例的性質是解題的關鍵.

2.拋物線、=3+1的頂點坐標是（）

A.（-1,0）B,（0,-1）C.（0,1）D,（1,0）

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握形如丁=加+左的頂點坐標為（0㈤是解題的關鍵.

【詳解】解：拋物線y=f+i的頂點坐標是（0,1）,

故選C.

3.我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割比可進行求解.

【詳解】解：0.618為黃金分割比，所以優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數(shù)；

故選A.

【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關鍵.

4.如圖，在「ABC中，DE//BC,AD=3,DB=6,AE=2,則EC的長為()

A.2B.4C.6D.9

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質，根據(jù)相似三角形的判定及性質即可求解，熟練掌握其判定及性質是

解題的關鍵.

【詳解】解：DE//BC1

:.AADE^AABC,

，處=空，即：^=3,

ABAC3+6AC

解得：AC=6,

\CE=AC-AE=6-2=4,

故選B.

5.把二次函數(shù)y=3N的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位，所得到的圖象對應的二次函數(shù)表達式是

()

A.y=3(x+2)2+1B.y=3(x+2)2-1

C.y=3(x-2)2-lD.y=3(x-2)2+l

【答案】C

【分析】直接利用平移規(guī)律”左加右減，上加下減”解題.

【詳解】解：,??二次函數(shù)丫=3尤2的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位，

；.y=3(x-2)2-1.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的平移，準確計算是解題的關鍵.

6.已知蓄電池兩端電壓U為定值，電流/與R的函數(shù)關系為/=下.當/=3A時，R=8C,則當/=6A時，R

的值為（）

A.4QB.60C.8QD.10Q

【答案】A

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用.利用待定系數(shù)法求出U的值，由此即可得.

【詳解】解：由題意得：R”,

:當/=3A時，Q8O,

??.8上,

3

解得。=24,

―竺,

I

24

則當/=6A時，R=—=4（0）,

6

故選：A.

7.若點4（—1,弘），5（2,%），。（4,%）在拋物線y=x2—4x+5上，則%,為，%的大小關系為（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.%<%<M

【答案】D

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根

據(jù)點A,B,C到對稱軸的距離大小求解.

【詳解】解：y=x2-4x+5,

，拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-二土=2,

2x1

2-2<4-2<2-（-1）,

%<%<%?

故選：D.

8.已知：在四邊形A3CD中，ABCD,?B90?,點E是線段上一點，且AE平分DE平分

^ADC,給出下面四個結論：

①石；②ZAEB=/EDC；③ABCD=BE-EC；?BEED=AEEC

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

D

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)ABl。和AE平分44D,OE平分NA0C推出NZME+/ADE=90°即可證明石，可

證明①正確；根據(jù)NAED=90°推出NA￡5+NDEC=90°,根據(jù)4=90°推出NC=90°,從而推出

ZEDC+ZDEC=90°,即可推出NA￡B=N￡DC,可證明②正確；根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似判定

.AB￡S_ECD后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得至U比例式再推出ABCD=BEEC可證明③正確，④不正確；

即可選出正確答案.

【詳解】VABCD,

ZDAB+ZADC^Q0

:AE平分NH4D，OE平分NAZJC

NDAE=-/BAD,ZADE=-ZADC,

22

ZAEE>=90°,

:.AEVDE-,

故①正確；

VZAED=90°,

：.ZAEB+ZDEC=90°,

?：ABCD,ZB=90°,

：.ZC=90°,

:.ZEDC+ZDEC=90°,

ZAEB=ZEDC,

故②正確；

ZAEB=/EDC,ZB=ZC=90°

：.ABEs一ECD,

ABBEBEAE

.ELCD'CD~DE'

：.ABCD=BEEC,故③正確；

BE-瓦）=AE?CD故④不正確；

正確的有①②③.

故選：c.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行線的性質，角平分線定義，同角的余角相等和相

似三角形的判定方法與性質定理是解決問題的關鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.在函數(shù)丫=--—中，自變量x的取值范圍是.

x-5

【答案】x/5.

【詳解】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)分式分母不為。的條件，要使一'一在

x-5

實數(shù)范圍內有意義，必須x—5wOnxw5.

一「y1x+y

10.已知一二一,貝"---=.

x2x

3

【答案】-

2

【分析】由已知可得小y的關系，然后代入所求式子計算即可.

y1

【詳解】解：???』=大，

x2

x=2y9

.x+y_2y+y_3

x2y2'

3

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查了比例的性質和代數(shù)式求值，屬于基本題型，掌握求解的方法是關鍵.

11.請寫出一個圖象的頂點為（0,0）的二次函數(shù)的表達式：.

【答案】y=x2（答案不唯一）

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的頂點式“y=a（x—丸尸+左（左為常數(shù)，awO）”，

是解題的關鍵.

【詳解】解：.?二次函數(shù)的頂點式為：y=a（x-hY+k（左為常數(shù)，。/0）,

圖象的頂點為（0,0）的二次函數(shù)的表達式可以為：y=x2,

故答案：丁=必（答案不唯一）.

12.若兩個相似三角形的相似比是1：2,則它們的周長比是.

【答案】1：2

【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求得.

【詳解】解：???兩相似三角形的相似比為1：2,

，它們的周長比是1：2,

故答案為：1：2.

【點睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似比的性質，熟記性質是解題的關鍵.

13.如圖，點。，E分別在△ABC的A3,AC邊上.只需添加一個條件即可證明△ADES/XACB,這個條件

可以是.（寫出一個即可）

,_.,—一ADAE

【答案】NADE=/C或NAED=NB或——=—

ACAB

【分析】由已知得到NA是公共角，只需添加另一組角相等過夾角A的兩條邊成比例即可.

【詳解】INA=NA,

.,.當NADE=/(:或/AED=/B時，A￡>E^AACB；

ADAE

當一=——時，ADESAAACB；

ACAB

ADAE

故答案為：NADE=/C或/AED=/B或——=—

ACAB

【點睛】此題考查相似三角形的判定定理，熟記定理是解題的關鍵.

k

14.如圖，已知反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點A,且AOB的面積為2,則左的值為

x

【答案】4

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質可以得到的面積等于網(wǎng)的一半，由此可以得到它們的關系.

【詳解】解：依據(jù)比例系數(shù)/的幾何意義可得面積等于=2,

解得：k—±4，

..?反比例函數(shù)y=±（左為常數(shù)，左wO）的圖象在第一和第三象限,

X

.,.左=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查反比例系數(shù)4的幾何意義，熟練掌握過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標

軸圍成的矩形面積就等于W是解題的關鍵.

15.如圖，某中學綜合與實踐小組要圍成一個矩形菜園A3CD,其中一邊A。靠墻，其余的三邊A5，BC,

CD用總長為40米的柵欄圍成.設矩形A3CD的邊=尤米，面積為S平方米.

（1）活動區(qū)面積S與x之間的關系式為；

（2）菜園A3CD最大面積是平方米.

【答案】①.S=—2必+40x（0<x<20）②.200

【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，

（1）表示出BC,由矩形面積公式可得函數(shù)關系式；

（2）把面積S配成頂點式，由二次函數(shù)性質可得答案.

【詳解】解：（1）由題意得：BC=40-2x,

S=x（40-2x）=-2x2+40x,

V40-2x>0,解得尤<20,

???活動區(qū)面積S與x之間的關系式為S=-2x2+40x（0<x<20）；

解：（2）由（1）得：活動區(qū)面積S與x之間的關系式為S=-2f+40x,

-：S=-2x~+40%=-2（/-20%+100）+200=-2（%-10）2+200,

二當x=10時,S取最大值200,

菜園ABCD最大面積是200平方米；

16.二次函數(shù)丁=Q2+陵+。（。/0）的圖象經(jīng)過4（0,3）,5（2,-1）,C（4,3）三點.

下面四個結論：

①拋物線開口向下；

②當*=2時，y取最小值—1；

③當加4—1時，一元二次方程依2+bx+c=%必有兩個不相等實根；

④直線y=Ax+c（左w0）經(jīng)過點A,B,當Ax+c>℃2+bx+c時，式的取值范圍是0<x<2.

所有正確結論的序號是.

【答案】②④

【分析】將點45、C的坐標代入拋物線表達式，求出拋物線的表達式為y=/-4x+3,畫出函數(shù)圖象，進而求

解.

【詳解】將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得

c=3a=l

<4a+2b+c=-1,解得<b=—4,

16a+4b+c=3c=3

故拋物線的表達式為y=%2-4x+3,函數(shù)圖象如下：

①。=1>0,,故拋物線開口向上，故①錯誤，不符合題意；

②拋物線開口向上，頂點為（2,—1）,

當尤=2時，y取最小值—1，故②正確，符合題意；

③?.?函數(shù)的最小值為-1,

故加<一1時，直線丁=加和丁=公2+法+。有一個或沒有交點，

故一元二次方程依2+法+。=加無解或有兩個相等實根，故③錯誤，不符合題意；

④觀察函數(shù)圖象，直線丁=履+。仕/0）經(jīng)過點人,3,

當辰+。>濾+陵+。時，x的取值范圍是0<x<2,故④正確，符合題意；

故答案為：②④.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式（組）和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是確定函數(shù)圖象的交

點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關系，確定不等式的解.

三、解答題（共68分，第17-22題，每題5分，第23-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）

解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.如圖，AC,相交于點。，ZA=ZD.

B

C

\ow

D

A

求證：VAOB:NDOC.

【答案】見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握運用兩角對應相等的兩個三角形相似的判定方法是解題的關鍵.

【詳解】解：BD交于點。

：.ZBOA=ZDOC

VZA=ZD

：./\AOB^^DOC

18.若x:2=3:(x+5),求無的值.

【答案】％=-6,%=1

【分析】本題考查比例性質，分式方程的解法，一元二次方程方程的解法，先將比例式方程化為分式方程，再按

分式方程的解法求解即可.

【詳解】解：化為分式方程得：一=-^,

2x+5

化為整式方程得：尤(x+5)=6,

去括號得：x2+5x=6<

移項得：％2+5%一6=0，

因式分解得：(x+6)(x-l)=0,

解得：=—6,々=1,

經(jīng)檢驗：七=-6,%=1都是原方程的解.

19已知二次函數(shù)y=x?+2x-3.

4-

3-

2-

1-

Illi________1111A

-4-3-2-101234%

-1-

-2-

—3-

—4~

(i)求出二次函數(shù)圖象的對稱軸和與y軸的交點坐標；

(2)在平面直角坐標系中畫出圖象，請結合圖象直接寫出y<0時，X的取值范圍.

【答案】(1)(0)-3)

(2)-3<x<l

【分析】(1)利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得出對稱軸；令x=0,可得代入拋物線解析式，解

方程即可得出與y軸交點坐標；

(2)根據(jù)圖象與X軸的交點坐標，可確定y<0時，尤的取值范圍.

【小問1詳解】

解：1y=x?+2x-3=(尤+1)2-4,

二次函數(shù)圖象的對稱軸為：x=-l,

當x=0時，y=-3,

,與>軸的交點坐標為(0,-3)；

【小問2詳解】

二次函數(shù)y=f+2x—3圖象的頂點坐標為(―L—4),對稱軸為直線x=—1,

當y=0時，f+2%—3=0，

解得：玉=—3,x2—1,

???二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標為(一3,0)或(1,0)；

圖象如下:

【點睛】本題考查了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標與拋物線解析式的關系，拋物線的頂點式：

y^a(x-h)-+k,頂點坐標為(/z,左)，對稱軸》=〃,，解題關鍵是根據(jù)數(shù)形結合的方法，判斷取值范圍.

20.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點.和一Q砂的頂點都在邊長為1的小正

(1)則NDEF=°,AC=；

(2)判斷.ABC與」)_即是否相似.若相似，請說明理由.

【答案】⑴135,275

(2)AABC:ADEF,理由見解析

【分析】本題考查了正方形對角線的性質，勾股定理解三角形及相似三角形的判定.

(1)根據(jù)正方形對角線性質，每條對角線平分一組對角，得到NDE7的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角定義即可得到

"EF的度數(shù)；利用勾股定理，即可求出AC的值，構造Rt_ACK利用勾股定理，是解題關鍵；

(2)方法一：根據(jù)正方形對角線長度等于正方形邊長的血倍，可求出對角線BC,OE的值，然后通過構造

RtAD77,利用勾股定理可求出OR的值，由此即可得到和Q砂三邊的值，根據(jù)相似三角形的判定

“三邊對應成比例，兩三角形相似”，即可證得結論；方法二：同方法一先求出BC,OE的值，由(1)可得到

“石戶的值，同理可求出/A5C的值，已知A5,EF的值，然后根據(jù)相似三角形判定“兩邊對應成比例且夾

角相等，兩三角形相似”，即可證得結論，熟練掌握以上相似三角形的判定是解題關鍵.

【小問1詳解】

解：如圖，令4x4的正方形頂點分別為A,H,I,K,

由題意得。E為邊長為1的小正方形的對角線，

.?."￡7=45°,

”即=180°—45。=135。，

由圖可知，AC是RtACK的斜邊，AK=4,CK=2,

AC=y/CK2+AK2=722+42=275?

【小問2詳解】

解：判斷：△ABC:ADEF,

解法一：

證明：為邊長為2的小正方形的對角線，OE為邊長為1的小正方形的對角線,

BC=272，DE=①，

由圖可得。歹是RtAD77的斜邊，77=3,DI=1,

.-.DF=7I+32=Vio，

又：A3=2,AC=2也,EF=2,

.AB_2_r-BC242_r-AC_245_

DE41EF2DFV10

ABBCAC

~DE~~EF~~DF，

△ABC:ADEF.

解法二：

證明：BC為邊長為2的小正方形的對角線，OE為邊長為1的小正方形的對角線,

BC=2A/2，DE=行，

又AB=2,EF=2,

-AB_2ABe_2叵_A

DE72EF2

.ABBC

~~DE~~EF，

BC,OE都是正方形的對角線，

:.NCBK=45。,ZDEI=45°,

???ZABC=ZDEF=180°-45°=135，

△ABC:/\DEF.

21.已知二次函數(shù)丁=依2+法+c(aw0)圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標V的對應值如下表:

XL-2-101234L

yL50-3-4-30nL

求這個二次函數(shù)的表達式及〃的值.

【答案】y=2x—3,n=5

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是根據(jù)選取的點設合適的二次函數(shù)解析式的形式.

【詳解】解：解法一：由題意，設二次函數(shù)的表達式為丁=以2+云+,3/0)

..?二次函數(shù)經(jīng)過點(0，-3),(1,—4),(2,—3)

-3=c

<-4=a+b+c

—3=4〃+26+c

a—\

解得<b=-2

c=-3

.二二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3.

2

當％=4時，n=4-2x4-3=5

解法二：由題意，設二次函數(shù)的表達式為y=Q(%-l)2-4(QwO).

??,二次函數(shù)經(jīng)過點(0，—3),

.\-3^^(0-1)2-4.

a=1.

...二次函數(shù)的表達式為y=(x—1)2—4.

即y=x2-2x-3.

當彳=4時，〃=(4—I)?—4=5

解法三：由題意，設二次函數(shù)的表達式為y=a(x+D(x—3)(a/0)

二?二次函數(shù)經(jīng)過點(1，—4),

—4=ci(l+1)(1—3).

,=1.

???二次函數(shù)的表達式為y=(x+i)(x-3).

即y=x2-2x-3.

當尤=4時，n=(4+1)(4—3)=5

22.同學們在探究學習中發(fā)現(xiàn)：“三角形內角的角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例”.下

【答案】見解析

【分析】方法一，過。作CE//ZM.交區(qū)4的延長線于E,利用平行線分線段成比例定理得到空=股，可得

AEDC

結論；

方法二：過點。作。MLA3于過點。作。N,AC于N,過點A作APLBC于尸，那么它們面積的比就等于底

的比即可得出結論.

【詳解】解：方法一：證明：如圖，過點C作CE〃&。與3A得延長線交于點E.

BD

?：CE//AD

：.Z1=Z2,N3=N4

?1,AD平分ZBAC

Zl=Z3

，/2=/4

：.AE=AC

:CE//AD

.ABBD

''AE~DC

■：AE=AC

.ABBD

"^c~15c

方法二：證明：如圖，過點。作。于過點。作。N_LAC于N,過點A作AP_L8C于P.

?1,平分NBAC

：.DM=DN

-ABDM-BDAP

'c△ABD__2___________2________

,△ACD-.ACDN-DCAP

22

'：DM=DN

.AB_BD

,~AC^~DC

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，角平分線的性質，掌握相似三角形的性質和角平分線的性質是解題的關

鍵.

23.在平面直角坐標系x0y中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=幺仕w0)的圖象相交于點A(l,m).

(2)請結合圖象直接寫出&＞x+2時，x的取值范圍是.

X

3

【答案】⑴y=-

(2)%＜-3或Ov九vl

【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，求反比例函數(shù)解析式，由函數(shù)圖像求不等式解集.

(1)把點代入y=x+2求得機的值，求出A點坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式;

(2)先求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個交點，再根據(jù)函數(shù)圖像即可求得.

【小問1詳解】

解：一次函數(shù)y=x+2的圖象與反比例函數(shù)y=X(4力0)的圖象相交于點A(l,m),

X

當x=l時，%=1+2=3,

.*.4(1,3),

「"=1x3=3,

???反比例函數(shù)的表達式為丁二三3；

X

【小問2詳解】

3

當x+2=—時，玉=1,x=-3,

x2

???一次函數(shù)與反比例函數(shù)的另一個交點為(—3,—1),

由圖象可知，當一＞尤+2時，%的取值范圍是1＜—3或0v九v1,

x

故答案為：元＜—3或0＜尤＜1.

24.小宇在學習過程中遇到了一個函數(shù)y=|x|—(x/0).

下面是小宇對其探究的過程，請補充完整:

(1)對于函數(shù)%=—，當％<0時，％隨天的增大而減小,

對于函數(shù)%=國，當了<0時，％隨x的增大

而結合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)y,當x<o時，y隨x的增大而

(2)當尤>o時，對于函數(shù)y與x的幾組對應值如下表：

j_25_

XL12

4~222

175_13529

y2

T2~6210

在平面直角坐標系中，畫出當x>o時函數(shù)y的圖象.

-1O

4-1-

(3)過點(0,〃。作平行于x軸的直線/,結合(1)(2)的分析，解決問題：

若直線/與函數(shù)y=W+H0)的圖象有兩個交點，則m=.

【答案】(1)減小；減小

(2)見解析(3)m=2

【分析】本題考查了函數(shù)的圖象和性質，解題的關鍵是：

(1)首先判斷出當x<0時，內的變化，根據(jù)兩部分的函數(shù)增減性一致即可分析；

(2)利用表格中的數(shù)據(jù)，描點，連線即可；

(3)根據(jù)(1)中結論判斷出直線/在y軸左側必定與函數(shù)y有一個交點，再找到直線/在y軸右側有一個交點時的

m值即可.

【小問1詳解】

解：對于函數(shù)%=忖，當x<0時，％=-%，

則為隨》的增大而減小，

...對于函數(shù)y,當無<0時，y隨x的增大而減小,

故答案為：減小，減小；

【小問2詳解】

如圖所示：

【小問3詳解】

由（1）可得：對于函數(shù)y,當％<o時，y隨x的增大而減小,

而丁=國+!（工/0）中，y值可以無限大，也可以無限小，

故直線I在y軸左側必定與函數(shù)y有一個交點，

則只需在y軸右側與函數(shù)y有一個交點即可，

如圖，當租=2時滿足題意，

綜上：m=2.

25.如圖，在平行四邊形A5CD中，延長AD至點使。石=，A。，連接BE交CD于點尸.

2

BC

(1)求證：ABE^CFB；

(2)若CF=2,求A3的長.

【答案】(1)見解析(2)AB=3

【分析】(1)由平行四邊行的性質可得Z4=NC,再證NE=NCBE,即可求證；

(2)可證△BCFs△EDF,可得竺=里,結合平行四邊形的性質，即可求解.

DFED

【小問1詳解】

證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ZA=ZC,AE//BC,

.\ZE=ZCBE,

:.△ABESMFB.

【小問2詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形

BC//AE,BC=AD,AB=CD,

:.ZE=ZCBE,ZC=ZCDE,

.'.△BCFSAEDF,

.CFBC

??--------,

DFED

DE=-AD,AD=BC,

2

:.DE=-BC,

2

...-C--F----B--C-----1,

DFED2

CF=2,

DF=1,CD—CF+DF—3,

AB=CD,

AB=3.

【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，相似三角形的判定及性質，掌握三角形相似的模型:

“A”字形和“X”字形的判定方法是解題的關鍵.

26.在平面直角坐標系x0y中，拋物線丁=加一（a+l）x（awO）,若以（七,%）,N（尤2，%）為拋物線上兩個不

同的點，設拋物線的對稱軸為1=/.

（1）當f=l時，求。的值；

（2）若對于玉>々g,都有％<%，求。的取值范圍.

【答案】（1）a=l

（2）--<67<0

2

【分析】（1）由題意可得拋物線的對稱軸為％=1,再利用拋物線的對稱軸公式x=-二回0=1可得。的值；

2a

（2）對于任意的xN-工，y隨x的增大而減小，分類討論a>0和時。的取值范圍，當a>0時不能滿足

2

xl>x2>-^,都有必<為，當時可以滿足對于X]>/?—g,都有％<%的條件，使得對稱軸

x=_-S+1）從而可求出a的取值范圍.

2a2

【小問1詳解】

拋物線的對稱軸為1=/,且/=1,

，對稱軸為：x=l,

即

2a

解得。=1.

【小問2詳解】

由題意可得，對于任意的y隨X的增大而減小，

2

①當a>0時，拋物線開口向上，對稱軸為x=_—（-+1）='+'~〉0,在對稱軸的左側滿足題意，而在對稱軸

2a22a

的右側七〉%>一2都有必〉〉2，故不符合題意；

②當〃<0時，對于任意的％之一,，》隨犬的增大而減小，

2

a<0

從而彳一（。+1）1，

、2a~~2

解得：—＜。＜0.

2

【點睛】此題考查了拋物線的對稱軸，解一元一次方程，拋物線的性質，利用拋物線增減性結合對稱軸列不等

式，掌握拋物線的性質和對稱軸公式是解題關鍵.

27.如圖，在A6C中，AB=AC,4c=90°,過點A的射線與斜邊交于點D,CELAO于點E.

(1)求證：NBAD=ZACE；

(2)連接班，若滿足。。=2班＞,AE=1,求跖的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)BE=41

【分析】(1)根據(jù)余角和互余的性質，即可證明結論；

(2)過點B作M，相＞,交延長線與點孔先證明ABF^CAE(AAS),得到4產(chǎn)=。￡,

BDBF