2022年高中數學第四講1數學歸納法練習含解析新人教版選修4-5

1、PAGE 4 -數學歸納法A級基礎鞏固一、選擇題1設f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3n1)(nN)，則f(n1)f(n)等于()A.eq f(1,3n2)B.eq f(1,3n)eq f(1,3n1)C.eq f(1,3n1)eq f(1,3n2) D.eq f(1,3n)eq f(1,3n1)eq f(1,3n2)解析：因為f(n)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3n1)，所以f(n1)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3n1)eq f(1,3n)eq f(1,3n1)eq f(1,3n2).所以f(n1)f(n)eq f(

2、1,3n)eq f(1,3n1)eq f(1,3n2).答案：D2在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為eq f(1,2)n(n3)條時，第一步檢驗第一個值n0等于()A1B2 C3D0解析：邊數最少的凸n邊形是三角形答案：C3在數列an中，已知a11，當n2時，anan12n1.依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3解析：由條件知：a2a122122，a3a223132，a4a324142，猜想ann2.答案：B4一個與自然數n有關的命題，當n2時命題成立，且由nk時命題成立推得當nk2時命題也成立，則()A該命題對于n2的自然數n都成立B該命題

3、對于所有的正偶數都成立C該命題何時成立與k取什么值無關D以上答案都不對解析：由題意當n2時成立可推得n4，6，8，都成立，因此該命題對所有正偶數都成立答案：B5對于數25，規(guī)定第1次操作為2353133，第2次操作為13333355，如此反復操作，則第2 011次操作后得到的數是()A25B250 C55D133解析：根據第1次，第2次操作規(guī)律，可知第3次操作為5353250，第4次操作為235303133，操作后得到的數呈周期性變化，周期為3次，2 01167031，故第2 011次操作后得到的數是133.答案：D二、填空題6用數學歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步

4、假設nk時等式成立，則當nk1時應得到_解析：因為nk時，命題為“12222k12k1”，所以nk1時為使用歸納假設，應寫成12222k12k2k12k，又考慮到目的，最終應為2k11.答案：12222k12k2k117觀察下列等式：132332，13233362根據上述規(guī)律，猜想132333435363_解析：已知等式可寫為：132332(12)2，13233362(123)21234)2，根據上述規(guī)律，猜想132333435363(126)2212.答案：2128用數學歸納法證明“nN*時，12222325n1是31的倍數”時，n1時的原

5、式是_，從k到k1時需添加的項是_答案：12222324，25k25k125k225k325k4三、解答題9用數學歸納法證明：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,16)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n2)eq f(n1,2n)(n2，nN)證明：(1)當n2時，左邊1eq f(1,4)eq f(3,4)，右邊eq f(21,22)eq f(3,4).所以等式成立(2)假設當nk(k2，kN)時，等式成立，即eq blc(rc)(avs4alco1

6、(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,16)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)eq f(k1,2k)(k2，kN)當nk1時，eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,16)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,k2)eq blcrc(avs4alco1(1f(1,（k1）2)eq f(k1,2k)eq f(（k1）21,（k1）2)eq f(（k1）

7、k（k2）,2k（k1）2)eq f(k2,2（k1）)eq f(（k1）1,2（k1）)，所以當nk1時，等式成立根據(1)和(2)知，對n2，nN時，等式成立10用數學歸納法證明n35n能被6整除證明：(1)當n1時，左邊13516，能被6整除，結論正確(2)假設當nk時，結論正確，即k35k能被6整除則(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2)，因為k35k能被6整除，(k1)(k2)必為偶數，3(k1)(k2)能被6整除，因此，k35k3(k1)(k2)能被6整除即當nk1時結論正確根據(1)(2)可知，n35n對于任何nN都能被6整除B

8、級能力提升1用數學歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)時，從“nk到nk1”左端需乘以的代數式為()A2k1 B2(2k1)C.eq f(2k1,k1) D.eq f(2k3,k1)解析：當nk時，等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)當nk1時，左邊(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比較nk和nk1時等式的左邊，可知左端需乘以eq f(（2k1）（2k2）,k1)2(2k1)答案：B2用數學歸納法證明34n152n1(nN)能被14整除，當nk1時，對于34(k1)152(k1)1應變形為_解析：3

9、4(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案：81 (34k152k1)5652k13已知正數數列an中，前n項和Sneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,an).(1)求a1，a2，a3，a4；(2)推測an的通項公式，并用數學歸納法加以證明解：(1)a11，a2eq r(2)1，a3eq r(3)eq r(2)，a4eq r(4)eq r(3).(2)aneq r(n)eq r(n1)a11，a2eq r(2)1，a3eq r(3)eq r(2)，a4eq r(4)eq r(3).猜想aneq r(n)eq r(n1)(nN)()當n1時，a1eq r(1)eq r(0)1，結論成立；()假設當nk(k1，kN)成立，即akeq r(k)eq r(k1).則ak1Sk1Skeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(ak1f(1,ak1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(akf(1,ak)eq f(1,2)eq blc(r