《高等數(shù)學(xué)》空間向量與空間解析幾何課件

1、第7章 向量代數(shù)與空間解析幾何第7章 向量代數(shù)與空間解析幾何 知識(shí)目標(biāo)了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解空間直角坐標(biāo)系、向量的概念；會(huì)判斷平面與平面、直線與直線以及直線與平面間的關(guān)系；掌握向量的線性運(yùn)算、向量平行和垂直的條件、幾種常見的曲面方程；熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、平面與直線的各種方程. 知識(shí)目標(biāo)了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程； 能力目標(biāo) 通過(guò)幾何問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象能力.德育目標(biāo) 借助數(shù)形結(jié)合的思想，將研究問題的不同方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)與人文素養(yǎng). 能力目標(biāo) 通過(guò)幾何問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、7.1 空間向量及其線性運(yùn)算 了解空間向量的概念

2、,掌握空間向量的基本定理及其意義,建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具,利用空間向量的坐標(biāo)和相關(guān)運(yùn)算解決空間中的幾何問題.7.1 空間向量及其線性運(yùn)算 了解空間向量的概念,掌握空間向7.1.1 空間直角坐標(biāo)系 通常把x 軸和y 軸配置在水平面上,而z 軸則是鉛垂線.它們的正向通常符合右手法則,即以右手握住z 軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x 軸以90度轉(zhuǎn)向正向y 軸時(shí),大拇指的指向就是z 軸的正方向.過(guò)空間一個(gè)定點(diǎn)O,作三條相互垂直的數(shù)軸,它們都以O(shè) 為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位,這三條軸分別叫做x 軸(橫軸)、 y 軸(縱軸)、z 軸(豎軸),統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.這樣的三條坐標(biāo)軸就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系

3、Oxyz ,點(diǎn)O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)).7.1.1 空間直角坐標(biāo)系 通常把x 軸和y 軸配置在水平 這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦限.x、y、z 軸的正半軸的卦限稱為第I卦限.在xOy面的上方,從第I卦限開始，按逆時(shí)針方向先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第、卦限;第、卦限下面的空間部分依次稱為第、卦限.每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)平面,簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)面.x 軸與y 軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy面,類似地,有yOz面,zOx面.八封限 這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦限1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-

4、3，4） D（-2，-2，1）練 習(xí)2.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？ 指出下列各點(diǎn)的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)封限？練 習(xí)2.在空間中的任意一點(diǎn)P 與唯一一組有序數(shù)組x、y、z之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.點(diǎn)坐標(biāo)xyOxyzOPABC這組數(shù)就叫做點(diǎn)P 的坐標(biāo)，并依次稱x、y、z為點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),記為P (x,y,z).xyz (x,y,z)空間中的任意一點(diǎn)P 與唯一一組有序數(shù)組x、y、z之間建立起一兩點(diǎn)間距離（M1PQ都是直角三角形）任取空間兩點(diǎn) M1 ( x1, y1

5、, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),它們之間的距離為d = |M1M2|.過(guò)點(diǎn) M1 、M2 各作三個(gè)平面分別垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸,形成如圖的長(zhǎng)方體.（M1QM2 是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2( )PQz2y2x2兩點(diǎn)間距離（M1PQ都是直角三角形）任取空間兩點(diǎn) M1 (兩點(diǎn)間距離公式：特別地，點(diǎn) M ( x , y , z) 與原點(diǎn)O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離：兩點(diǎn)間距離公式：特別地，點(diǎn) M ( x , y , z) 與2.在y軸上找一點(diǎn)，使它與點(diǎn)A（3，1，0）和點(diǎn) B （-2，4，1）的距離相等. 練 習(xí)1.利用兩點(diǎn)間距離公式求下列兩點(diǎn)間距離. （1）

6、 A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）2.在y軸上找一點(diǎn)，使它與點(diǎn)A（3，1，0）和點(diǎn)練 習(xí)1.利7.1.2 向量的概念定義7.1 既有大小又有方向的量稱為向量(或矢量);向量的大小稱為向量的模.代數(shù)法表達(dá)方式幾何法用始點(diǎn)為A 終點(diǎn)為B 的有向線段 表示AB圖示用帶有箭頭的小寫字母 表示或用黑體字母 表示.(或 )記作向量向量的模(或 )(注：模長(zhǎng)是標(biāo)量)7.1.2 向量的概念定義7.1 既有大小又有方向的量稱為兩個(gè)基本向量模長(zhǎng)為零的向量.模長(zhǎng)為1的向量.(方向是任意的)零向量單位向量記作記作(方向未做規(guī)定)兩個(gè)基本向量模長(zhǎng)為零的向量.模長(zhǎng)為1的向量

7、.(方向是任意的)向量的三種關(guān)系模長(zhǎng)相等,方向相反的向量.相反向量記作模長(zhǎng)相等,方向相同的兩個(gè)向量.相等向量記作向量可以在空間中任意平移.注 與始點(diǎn)、終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；圖示圖示注向量的三種關(guān)系模長(zhǎng)相等,方向相反的向量.相反向量記作模長(zhǎng)相等方向相同或相反的非零向量.平行向量記作平行向量又可稱作共線向量.注零向量與任何向量都平行.圖示方向相同或相反的非零向量.平行向量記作平行向量又可稱作共線向7.1.3 向量的線性運(yùn)算向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的線性運(yùn)算7.1.3 向量的線性運(yùn)算向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的三角形法則運(yùn)算法則平等四邊行法則AB圖示圖示加法運(yùn)算CDABACCCA

8、三角形法則運(yùn)算法則平等四邊行法則AB圖示圖示加法運(yùn)算CDAB三角形法則運(yùn)算法則平等四邊行法則AB圖示圖示減法運(yùn)算CDABCCBDB三角形法則運(yùn)算法則平等四邊行法則AB圖示圖示減法運(yùn)算CDAB數(shù)乘運(yùn)算注 數(shù)乘運(yùn)算后的結(jié)果仍是一個(gè)向量.記作一個(gè)向量 與一個(gè)實(shí)數(shù) 的乘積.定理 向量 與向量 平行(或共線)的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù) 和 ,使得 .若有 成立,則稱向量 為原向量 同方向的單位向量.數(shù)乘運(yùn)算注 數(shù)乘運(yùn)算后的結(jié)果仍是一個(gè)向量.記作一個(gè)向量 例 題已知求： .解：例 題已知求： .解：向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，取與Ox軸、Oy軸、Oz軸同向的單位向量 .則稱 為向量 的分解

9、式； 稱為向量的坐標(biāo)式.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，取與Ox軸、Oy軸、O向量線性運(yùn)算規(guī)律坐標(biāo)式分解式 ( 為常數(shù))( 為常數(shù))向量線性運(yùn)算規(guī)律坐標(biāo)式分解式 ( 為常數(shù))( 為常數(shù)練 習(xí)1.已知兩點(diǎn)M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),試用坐標(biāo)式來(lái)表示向量 與 .2.已知 與 ,求向量 與 的坐標(biāo).練 習(xí)1.已知兩點(diǎn)M1 (0，1，2) 和M2 (1， -17.2 向量的數(shù)量積與向量積 掌握向量的數(shù)量積和向量積的定義，能夠靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律，并熟訓(xùn)練使用判斷向量平行或垂直的條件.7.2 向量的數(shù)量積與向量積 掌握向量的數(shù)量積和向量積的定7.2.1 向量的數(shù)量積引例 設(shè)一物體

10、在常力F 作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng) 到點(diǎn)M2,以S 表示位移 ,則力F 所做的功 為 ,其中 為F 與S 的夾角.M1M2FM1M2S7.2.1 向量的數(shù)量積引例 設(shè)一物體在常力F 作用下沿直特別地，時(shí),稱 與 垂直；記作：或時(shí),稱 與 平行或共線；記作：定義 任意兩個(gè)向量 , 的數(shù)量積(或內(nèi)積)是一個(gè)數(shù)量,記作 ,即 .定義 兩個(gè)非零向量 與 , 它們的夾角 稱為向量 與 的夾角,記作 .特別地，時(shí),稱 與 垂直；記作：或時(shí),稱 定義法坐標(biāo)法數(shù)量積的運(yùn)算方法定義法坐標(biāo)法數(shù)量積的運(yùn)算方法數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的運(yùn)算律例 題解： 例 題解： 向量夾角余弦公式向量夾角余弦公式

11、7.2.2 向量的向量積FPOLQ7.2.2 向量的向量積FPOLQ向量積右手系規(guī)則圖示向量積模的幾何意義向量積右手系規(guī)則圖示向量積模的幾何意義分解式法坐標(biāo)法向量積的運(yùn)算方法分解式法坐標(biāo)法向量積的運(yùn)算方法例 題解：例 題解：向量積的性質(zhì)向量積的運(yùn)算律向量積的性質(zhì)向量積的運(yùn)算律向量的混合積向量的混合積想一想想一想7.3 平面與直線 平面和直線是幾何學(xué)中最基本的研究對(duì)象,是一些向量空間和幾何空間中某些對(duì)象的最基本原型,同時(shí)它們也是幾何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直線的代數(shù)表達(dá)形式以及點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系.7.3 平面與直線 平面和直線是幾何學(xué)中最基本的研究對(duì)象,7.3.1

12、 平面的方程平面的法向量7.3.1 平面的方程平面的法向量平面的點(diǎn)法式方程平面方程的表達(dá)式平面的一般式方程平面的點(diǎn)法式方程平面方程的表達(dá)式平面的一般式方程解：求過(guò)兩點(diǎn)M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，1),且平行于z軸的平面方程。例 題解：求過(guò)兩點(diǎn)M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，解：求過(guò)點(diǎn)M(1， -1，2),且與平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。例 題解：求過(guò)點(diǎn)M(1， -1，2),且與平面2x-y+3z+7=7.3.2 直線方程直線的點(diǎn)向式和參數(shù)方程直線方程的一般式直線方程的兩點(diǎn)式三種表達(dá)形式7.3.2 直線方程直線的點(diǎn)向式和參數(shù)方程直線方程的一

13、般式直M(x， y， z)LM0(x0 ， y0 ， z0)s=l， m， nM(x， y， z)M0(x0 ， y0 ， z0)直線的對(duì)稱式方程（或向式方程）：直線的參數(shù)方程：M(x， y， z)LM0(x0 ， y0 ， z0)s=直線的一般式方程 例題解：（兩個(gè)相交平面的交線來(lái)表示）直線的一般式方程 例題解：（兩個(gè)相交平面的交線來(lái)表示）直線的兩點(diǎn)式方程 直線的兩點(diǎn)式方程 7.3.3 直線與平面的相互位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系三 種 關(guān) 系7.3.3 直線與平面的相互位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系兩直線間兩平面的位置關(guān)系三種位置關(guān)系相交、平行、重合兩平面的位置

14、關(guān)系三種位置關(guān)系相交、平行、重合兩直線間的位置關(guān)系兩種位置關(guān)系異面、共面平行重合相交兩直線間的位置關(guān)系兩種位置關(guān)系異面、共面平行重合相交直線與平面的位置關(guān)系三種位置關(guān)系相交、平行、直線在平面上直線與平面的位置關(guān)系三種位置關(guān)系相交、平行、直線在平面上例 題解：解：例 題解：解：點(diǎn)到平面距離公式直線與平面的夾角點(diǎn)到平面距離公式直線與平面的夾角例 題解：注：上結(jié)論可作為公式應(yīng)用.例 題解：注：上結(jié)論可作為公式應(yīng)用.兩個(gè)平面間夾角注：可類似地定義兩條直線之間的夾角.兩個(gè)平面間夾角注：可類似地定義兩條直線之間的夾角.7.4 常見空間曲面 本章建立了作為點(diǎn)的軌跡的曲線與其方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面的

15、幾何問題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題，從而用代數(shù)的方法對(duì)一些曲線與曲面進(jìn)行研究創(chuàng)造了條件.通過(guò)本章節(jié)的學(xué)習(xí)，將逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間感，加強(qiáng)運(yùn)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力.7.4 常見空間曲面 本章建立了作為點(diǎn)的軌跡的曲線與其方程7.4.1 曲面的方程任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡.注：一般地，三元方程 的圖象都是空 間曲面.7.4.1 曲面的方程任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡.注：一7.4.2 常見的二次曲面及其標(biāo)準(zhǔn)方程柱面xzyoxzyoxzyo7.4.2 常見的二次曲面及其標(biāo)準(zhǔn)方程柱面xzyoxzyox橢球面zxoy橢球面zxoy雙曲面zxoy單葉雙曲面雙曲面zxoy單葉雙曲面雙曲面zxoy雙葉雙曲面雙曲面zxoy雙葉雙曲面拋物面橢圓拋物面zxoy拋物面橢圓拋物面zxoy拋物面zxoy雙曲拋物面拋物面zxoy雙曲拋物面本章小結(jié) 本章主要從空間向量入手，給出空間直角坐標(biāo)系、向 量的概念、表示方法、線性運(yùn)算及其數(shù)量